Las desintegraciones tienen su Γ; los choques tienen su σ. La sección eficaz responde a la pregunta industrial de la disciplina: si lanzo este haz contra este blanco, ¿cuántas veces por segundo ocurre la reacción que me interesa? Es un área — el tamaño efectivo que el blanco ofrece a esa reacción — y su aritmética decide el diseño, el coste y el calendario de todos los experimentos del planeta.
Un área efectiva
La imagen clásica funciona sorprendentemente bien para la fuerza fuerte: dos protones «se tocan» si pasan a menos de la suma de sus radios, ~2,4 fm, así que σ ~ π(2×1,2 fm)² ≈ 180 mb — y la sección eficaz inelástica pp medida en el LHC es ~80 mb: la geometría ingenua acierta el orden de magnitud (sobreestima ~2×, porque no todo roce geométrico acaba en colisión inelástica). La unidad es el barn (10⁻²⁴ cm², bautizada con humor de guerra: un núcleo de uranio es «grande como un granero»), y la fuerza fuerte opera en milibarns porque es, literalmente, geometría nuclear. Las demás fuerzas no tocan: actúan a distancia con acoplamientos débiles, y sus secciones eficaces son áreas mucho menores que cualquier tamaño físico — nb, pb, fb: la escalera que bajaremos en este artículo.
La aritmética industrial: tasa = L·σ
En un colisionador, el papel del «flujo sobre el blanco» lo hace la luminosidad: cuántas oportunidades por cm² y por segundo fabrican los haces al cruzarse. Todo lo demás es una multiplicación:
Problema. Con L = 2×10³⁴ cm⁻²s⁻¹ y un año de haz (10⁷ s), calcular: colisiones inelásticas por segundo (σ = 80 mb), bosones de Higgs por segundo y por año (σ = 60 pb), y cuántos acaban en el canal γγ (BR = 0,23%).
Solución. Inelásticas: 2×10³⁴ × 8×10⁻²⁶ = 1,6×10⁹ por segundo. Higgs: 2×10³⁴ × 6×10⁻³⁵ = 1,2 por segundo; en el año, ∫L = 2×10⁴¹ cm⁻² = 200 fb⁻¹ y
En γγ: 1,2×10⁷ × 0,0023 ≈ 27.000 al año.
Resultado. Doce millones de Higgs al año — y sin embargo costó medio siglo, porque nacen enterrados en 1,6×10⁹ colisiones por segundo de fondo: una parte en 10⁹ de la producción. Las cifras del Nivel I.5 (el trigger despiadado, el pico sobre el fondo) salen todas de esta multiplicación — que ahora puedes hacer tú:
Toda la estadística de un colisionador cabe en una multiplicación: la luminosidad L (cuántas oportunidades por cm² y por segundo) por la sección eficaz σ (cuánto «mide» el proceso). Elige un proceso del LHC y mueve la luminosidad — del arranque de 2010 al HL-LHC.
Uno por segundo a luminosidad nominal — y aun así costó encontrarlo: solo 1 de cada 435 decae a γγ, y el fondo no perdona (Nivel I.7).
El tamaño de cada fuerza, sin calcular nada
Lo más útil del análisis dimensional en unidades naturales: una sección eficaz es (energía)⁻², así que para un proceso puntual a energía √s la única escala disponible es s misma — y el acoplamiento pone el prefactor. Para un proceso electromagnético, dos vértices dan α²:
Problema. Estimar σ(e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻) a √s = 10 GeV con pura dimensionalidad, y comparar con el valor exacto.
Solución. σ ~ α²/s con un factor de orden uno (el cálculo completo del módulo II.6 dará 4π/3):
Resultado. El valor medido a 10 GeV es 0,87 nb. La estructura σ = 86,8 nb/s[GeV²] es exacta para QED puntual, y de ella cuelga una ley cruel: los procesos puntuales mueren como 1/s. Cada salto de energía de un colisionador encarece los sucesos interesantes — por eso la luminosidad tiene que crecer con el cuadrado de la ambición.
El mismo juego con la fuerza débil a baja energía: el acoplamiento efectivo es G_F (dimensiones de energía⁻², módulo I.7), así que σ ~ G_F²·s. Para un neutrino de 1 GeV contra un nucleón (s − m² ≈ 1,9 GeV²) sale σ ~ 3×10⁻³⁸ cm² — el orden de magnitud correcto (medido: 0,7×10⁻³⁸ cm² por nucleón). La escalera completa, a una energía de GeV: fuerte ~ decenas de mb, electromagnética ~ nb-μb, débil ~ 10⁻³⁸ cm² — doce órdenes de magnitud que el Nivel I contaba con metáforas y ahora salen de α, G_F y una regla dimensional.
Ejercicios
Los cuatro experimentos de LEP acumularon juntos ∫L ≈ 570 pb⁻¹ en torno al pico del Z, donde σ(e⁺e⁻ → hadrones) ≈ 30 nb. ¿Cuántos Z hadrónicos recogieron? (El número explica la precisión legendaria de LEP.)
Solución
N = 570 pb⁻¹ × 30.000 pb = 1,7×10⁷ Z — los famosos 17 millones. Con esa estadística, magnitudes como la masa y la anchura del Z quedaron medidas al nivel de 10⁻⁵ y 10⁻³ respectivamente, y de la anchura — siguiente artículo — salió contado el número de familias de neutrinos del universo.
Con la ley σ_μμ = 86,8 nb/s[GeV²], calcula la sección eficaz puntual en el pico del Z (√s = 91,2 GeV) y en una futura fábrica de Higgs (√s = 240 GeV). ¿Qué implica para la luminosidad que necesitan las máquinas nuevas?
Solución
A 91,2 GeV: 86,8/8.317 = 0,0104 nb = 10,4 pb. A 240 GeV: 86,8/57.600 = 1,5 pb. Del ~1 nb de los años 70 a picobarns: tres órdenes de magnitud perdidos por pura cinemática 1/s. Consecuencia de diseño: FCC-ee promete luminosidades cien veces mayores que LEP — no por lujo, sino porque la física puntual se encoge con el cuadrado de la energía y hay que compensarla a base de oportunidades.
El plomo tiene ~6,8×10²⁴ nucleones/cm³. Calcula el recorrido libre medio λ = 1/(nσ) de (a) un neutrino de 1 GeV (σ ≈ 0,7×10⁻³⁸ cm²) y (b) un neutrino solar de pocos MeV (σ ~ 10⁻⁴⁴ cm²). ¿Reconoces el segundo resultado?
Solución
(a) λ = 1/(6,8×10²⁴ × 0,7×10⁻³⁸) = 2,1×10¹³ cm ≈ 2×10¹¹ m — de la Tierra al Sol, y pico. (b) λ = 1/(6,8×10²⁴ × 10⁻⁴⁴) ≈ 1,5×10¹⁹ cm ≈ 15 años luz: el legendario «año luz de plomo» del Nivel I.6, que resulta quedarse corto en un orden de magnitud. Nota la dependencia: σ_débil ∝ s, así que el neutrino de GeV «solo» necesita una unidad astronómica. Por eso los detectores de neutrinos de acelerador son kilotones y los de neutrinos solares, kilotones con paciencia de años.
Γ para morir, σ para chocar — y una sola pieza que las une: en ambas, la física vive en |M|² y la cinemática en el espacio fásico. Queda el fenómeno donde las dos caras se encuentran: cuando una colisión fabrica una partícula inestable y la sección eficaz dibuja, literalmente, la anchura de su muerte. La resonancia — y la que contó las familias del universo — cierra el módulo.