Regla de oro · Artículo 02

La regla de oro

Toda vida media es un producto de dos factores: la amplitud al cuadrado (la física) y el espacio fásico (la contabilidad de maneras de morir). Con la fórmula en la mano, pesamos fuerzas — y predecimos la vida del muón desde una constante de 1934.

El artículo anterior mide anchuras; este las calcula. La receta universal la dio Fermi y la disciplina la venera con nombre de leyenda: la regla de oro. Su estructura es lo importante — todo ritmo cuántico es el producto de dos factores independientes, y saber cuál de los dos domina en cada caso es la mitad del oficio.

Los dos factores

La regla de oro de Fermi dice que el ritmo de cualquier transición es

Γ  =  ∣M∣2⏟dinaˊmica  ×  (espacio faˊsico)⏟cinemaˊtica.\Gamma \;=\; \underbrace{|\mathcal{M}|^2}_{\text{dinámica}} \;\times\; \underbrace{(\text{espacio fásico})}_{\text{cinemática}}.

La amplitud M es donde vive la física: qué fuerza actúa, con qué constante de acoplamiento, con qué propagador — es lo que los diagramas de Feynman calcularán a partir del módulo II.4. El espacio fásico es pura cinemática del módulo II.1: cuántas maneras hay de repartir el cuadrimomento entre los productos. La moraleja operativa: más maneras de morir = morir más deprisa — y un canal casi cerrado (p* → 0) muere despacio aunque la fuerza sea intensa.

La fórmula exacta para dos cuerpos

Para una desintegración 1 → 2 la integral del espacio fásico se hace entera y queda una fórmula de bolsillo:

Γ=S ∣M∣28π p∗M2,\Gamma = \frac{S\,|\mathcal{M}|^2}{8\pi}\,\frac{p^*}{M^2},

donde M es la masa de la madre, S = 1/2 si las hijas son idénticas (como en π⁰ → γγ) y p* es — deuda pagada — exactamente el momento de Källén del módulo II.1: el que las tres masas fijan sin dejar libertad.

Comprobaciones: por qué la fórmula tiene esta pinta

Dimensiones. En unidades naturales Γ es una energía y, para tres partículas en juego, |M|² tiene dimensiones de energía². El cociente p*/M² aporta energía⁻¹: energía² × energía⁻¹ = energía ✓.

Umbral. Si m₁ + m₂ → M, entonces p* → 0 y Γ → 0: un canal exactamente en el umbral no mata, por fuerte que sea el acoplamiento. Es el estrangulamiento del espacio fásico — lo veremos actuar en el ejercicio 3.

Partículas idénticas. El S = 1/2 evita contar dos veces el mismo estado final (γ a la izquierda y γ a la derecha es el mismo suceso). Es el mismo tipo de contabilidad honesta que el espín en los multipletes: los estados se cuentan, no se estiman.

Pesar una fuerza con la báscula de Fermi

Ejemplo resuelto 1 · Δ → Nπ contra Λ → Nπ: la fuerza, en cifras

Problema. Dos bariones muriendo al mismo estado final (nucleón + pión): la Δ (M = 1232, Γ = 117 MeV, p* = 227 MeV) y la Λ (M = 1116, Γ(pπ⁻) = 1,6×10⁻¹² MeV, p* = 101 MeV — la V del módulo II.1). Extraer |M| en ambos casos.

Solución. Invirtiendo la fórmula, |M|² = 8πΓM²/p*:

∣MΔ∣=8π×117×12322227≈4,4 GeV,∣MΛ∣=8π×1,6×10−12×11162101≈0,7 keV.|\mathcal{M}_\Delta| = \sqrt{\frac{8\pi \times 117 \times 1232^2}{227}} \approx 4{,}4\ \text{GeV}, \qquad |\mathcal{M}_\Lambda| = \sqrt{\frac{8\pi \times 1{,}6\times 10^{-12} \times 1116^2}{101}} \approx 0{,}7\ \text{keV}.

Resultado. Mismo estado final, momentos de salida parecidos — y amplitudes separadas por un factor seis millones. Ese factor es la diferencia entre la fuerza fuerte y la fuerza débil (con el peaje extra de ΔS = 1), medida limpiamente porque el espacio fásico, casi igual en ambos casos, se cancela en la comparación. El lema del Nivel I — «la vida media delata al asesino» — queda hoy ascendido: la regla de oro separa al asesino (la amplitud) de la oportunidad (el espacio fásico), y lo pesa.

El muón, desde una constante de 1934

Ejemplo resuelto 2 · La vida del muón en tres líneas

Problema. Para una desintegración débil de tres cuerpos como μ → eνν̄, la regla de oro (con la integral de espacio fásico de tres cuerpos hecha) da la fórmula cerrada Γ = G_F²m⁵/(192π³). Con la constante de Fermi G_F = 1,166×10⁻¹¹ MeV⁻², predecir la vida del muón.

Solución.

Γμ=(1,166×10−11)2×(105,66)5192 π3=3,0×10−16 MeV  ⟹  τ=6,58×10−223,0×10−16=2,2 μs.\Gamma_\mu = \frac{(1{,}166\times 10^{-11})^2 \times (105{,}66)^5}{192\,\pi^3} = 3{,}0\times 10^{-16}\ \text{MeV} \;\Longrightarrow\; \tau = \frac{6{,}58\times 10^{-22}}{3{,}0\times 10^{-16}} = 2{,}2\ \mu\text{s}.

Resultado. El valor medido es 2,197 μs. La constante G_F se midió en desintegraciones beta nucleares en los años 30; metida en la regla de oro predice la vida de una partícula de otra familia con tres cifras. Es el arco «la lentitud de la beta mide v = 246 GeV» del Nivel I.7, ahora con las matemáticas a la vista — porque G_F ∝ 1/v², y esta fórmula es el eslabón que faltaba.

De la fórmula del muón sale gratis una ley de escala famosa: para cualquier desintegración débil de tres cuerpos, Γ ∝ Q⁵ — la regla de Sargent. Quince órdenes de magnitud de anchuras débiles, colgando de una sola pendiente. Encuéntrala:

La regla de Sargent: encuentra el exponente

Tres desintegraciones débiles de tres cuerpos — del tau, del muón y del neutrón — separadas por quince órdenes de magnitud en anchura. Ajusta el exponente de Γ ∝ Qⁿ (la recta pivota sobre el muón) y descubre qué potencia del presupuesto energético dicta el espacio fásico.

Exponente n Γ ∝ Q^3,0
10⁻²⁴10⁻²⁰10⁻¹⁶10⁻¹²Γ (MeV)110¹10²10³Q, energía disponible (MeV)τ → e ν ν̄μ → e ν ν̄n → p e ν̄
n3,0
desvío medio2,78 décadas

Demasiado plano: con esa potencia el neutrón moriría en milisegundos. Sube el exponente — el espacio fásico premia el presupuesto energético con más fuerza que eso.

Ejercicios

Ejercicio 1

El Modelo Estándar predice para el Higgs Γ_H = 4,1 MeV. (a) Calcula su vida y su cτ. (b) El pico γγ del módulo I.5 tiene una anchura de ~2.000 MeV en el histograma. ¿Qué estás viendo: la anchura del Higgs o la del detector?

Solución

(a) τ = 6,58×10⁻²²/4,1 = 1,6×10⁻²² s; cτ = 3×10⁸ × 1,6×10⁻²² ≈ 5×10⁻¹⁴ m — cincuenta femtómetros: el Higgs muere pegado al vértice. (b) La del detector: la resolución en energía de los calorímetros (~1-2%) ensancha el pico natural de 4,1 MeV hasta ~2 GeV, un factor 500. Por eso medir Γ_H directamente en el LHC es (casi) imposible y se recurre a métodos indirectos. Moraleja de instrumentista: la anchura que ves es la mayor de las dos — la de la partícula o la de tu máquina.

Ejercicio 2

Predice la vida del leptón tau sin calcular nada nuevo: usa la del muón (2,197 μs), la regla de Sargent con las masas (m_μ = 105,7, m_τ = 1.776,9 MeV) y el dato de que el canal eνν̄ es solo el 17,8% de las muertes del tau. Compara con el valor medido, 2,90×10⁻¹³ s.

Solución
ττ=τμ(mμmτ) ⁣5×BR(τ→eννˉ)=2,197×10−6×(0,0595)5×0,178=2,9×10−13 s.\tau_\tau = \tau_\mu \left(\frac{m_\mu}{m_\tau}\right)^{\!5} \times \mathrm{BR}(\tau\to e\nu\bar\nu) = 2{,}197\times 10^{-6} \times (0{,}0595)^5 \times 0{,}178 = 2{,}9\times 10^{-13}\ \text{s}.

Clavado a la tercera cifra. Fíjate en la lógica: la quinta potencia escala el canal electrónico del tau desde el muón (misma física débil, distinto presupuesto), y el BR convierte esa anchura parcial en vida total. Dos números de tabla y una pendiente — así de lejos llega el espacio fásico bien entendido.

Ejercicio 3

El D*⁺ (2.010,3 MeV) decae fuertemente a D⁰π⁺ (1.864,8 + 139,6 MeV) y sin embargo su anchura es ridícula para la fuerza fuerte: 83 keV. (a) Calcula p* con la fórmula de Källén. (b) ¿Quién estranguló al D*?

Solución

(a) La suma de masas finales es 2.004,4 MeV — el canal sobrevive por solo 5,9 MeV. El momento de Källén da p* = 39 MeV. (b) El espacio fásico: comparado con la ρ → ππ (p* = 362 MeV), el D* tiene 9 veces menos momento de salida, y para desintegraciones en onda p la amplitud misma crece con p* (Γ ~ p*³): (362/39)³ ≈ 800 — la mayor parte del factor ~1.800 entre las anchuras de ρ y D*, sin invocar ninguna diferencia de fuerza. Un canal fuerte casi cerrado mata despacio: el estrangulamiento del umbral en estado puro, y la razón de que el D* sea una de las partículas «fuertes» más longevas del zoo.

Ya calculamos ritmos de muerte. La otra mitad del negocio es el ritmo de encuentro: cuando dos haces se cruzan, ¿cuántas veces por segundo ocurre la reacción que buscas? La respuesta tiene su propia magnitud — la sección eficaz — y su propia aritmética industrial. Siguiente artículo.