Cierre del módulo con los títulos de nobleza de QED: por qué es, sin competencia, la teoría más precisa jamás construida — y la lección más profunda que dejó al ser puesta a prueba: sus «constantes» dependen de la distancia a la que mires. Esa lección, invertida, será la llave de la fuerza fuerte en el próximo módulo.
Bhabha, la regla de medir
La dispersión Bhabha (e⁺e⁻ → e⁺e⁻) suma dos diagramas — aniquilación en canal s e intercambio en canal t — y el segundo esconde un regalo práctico: a ángulos pequeños el fotón intercambiado lleva t → 0, el propagador 1/t se dispara (el pico «Rutherford» del módulo II.4) y la sección eficaz se vuelve enorme y calculable con precisión QED. Combinación perfecta para un luminómetro: LEP contaba Bhabhas a ángulo pequeño (decenas de nb, más que el propio pico del Z) para medir su luminosidad, y con ella normalizar todo lo demás. La cadena de metrología del módulo II.3 — N = ∫L·σ — se calibraba con este proceso: cada medida de LEP lleva un Bhabha en el denominador. Møller (e⁻e⁻ → e⁻e⁻), su prima de canales t + u, hace el mismo papel en los aceleradores de blanco fijo.
El temblor del vacío: Lamb
En 1947, Willis Lamb midió que dos niveles del hidrógeno que Dirac declaraba exactamente degenerados (2S₁/₂ y 2P₁/₂) difieren en 1.058 MHz — una parte en dos millones de la transición óptica. Minúsculo e imposible de ignorar: la ecuación de Dirac sola no bastaba. La explicación fueron los lazos del módulo II.4 actuando sobre el átomo: el electrón tiembla contra las fluctuaciones del vacío y desdibuja mínimamente su órbita. El cálculo de Bethe (hecho en un tren, cuenta la leyenda, días después de la conferencia de Shelter Island) clavó el número y encendió la revolución de la QED renormalizada: los infinitos, bien facturados, predicen megahercios. Junto con el g−2 de Schwinger (módulo II.4), el Lamb shift es el certificado fundacional: los lazos son física medible.
La constante que no lo es
Y la lección final, la más conceptual del módulo. Entre los lazos hay uno con consecuencias filosóficas: la polarización del vacío — el fotón viajando fluctúa en pares e⁺e⁻ virtuales. El efecto: el vacío se comporta como un dieléctrico. Los pares virtuales se orientan alrededor de cualquier carga y la apantallan; lo que llamamos «la carga del electrón» es el valor visto desde lejos, a través de la nube. Sondear con más energía es penetrar la nube — y encontrar más carga. La constante de estructura fina corre:
El vacío de QED es un dieléctrico: los pares virtuales e⁺e⁻ se orientan alrededor de cualquier carga y la apantallan. Sondear con más energía es acercarse más — y ver más carga. El famoso 1/137 es solo el valor de lejos.
Penetrando la nube: cada década de energía descubre un poco más de carga desnuda. Nota el contraste que viene en el módulo II.7: la fuerza fuerte hace exactamente lo contrario — su vacío antiapantalla, su carga crece al alejarse, y de ahí el confinamiento.
Problema. El proceso patrón del artículo 02 lleva α². Comparar su sección eficaz en el pico del Z calculada con α(0) = 1/137,04 y con α(m_Z) = 1/128,95.
Solución. El cociente de secciones eficaces es el cociente de α al cuadrado:
Resultado. Un 13% de diferencia — cuando LEP medía con precisión de por mil. Usar el α «de las tablas» habría producido desacuerdos de decenas de desviaciones estándar y titulares falsos de nueva física. La moraleja para todo el Nivel III: en física electrodébil de precisión, cada acoplamiento se evalúa a su escala. Las constantes de la naturaleza tienen menos de constantes y más de funciones — con una excepción notable: las combinaciones que no corren (como la carga eléctrica total conservada) son los verdaderos pilares.
Ejercicios
¿Por qué un luminómetro debe usar un proceso calculable además de abundante? Explica el círculo vicioso que rompería usar el propio pico del Z para medir la luminosidad de LEP.
Solución
La luminosidad se despeja de N = ∫L·σ: hace falta conocer σ por otra vía que el propio experimento. Si midieras L con el pico del Z, y luego usaras esa L para medir σ_Z, habrías definido cada cosa en términos de la otra: circularidad perfecta, información cero. El Bhabha a ángulo pequeño rompe el círculo porque su σ viene de la teoría (QED pura, sin Z apenas, calculada a lazos con precisión de por mil). Regla general de metrología: toda cadena de medidas necesita un ancla externa — en los colisionadores e⁺e⁻, esa ancla es un cálculo.
El Lamb shift (1.058 MHz) es una fracción minúscula de la energía del nivel n = 2 del hidrógeno (−3,4 eV). Calcula esa fracción y compárala con el tamaño natural de las correcciones de un lazo, α/π. ¿Cuadra el orden?
Solución
hν = 4,14×10⁻¹⁵ eV·s × 1,058×10⁹ Hz = 4,4×10⁻⁶ eV. Fracción: 4,4×10⁻⁶/3,4 ≈ 1,3×10⁻⁶. El tamaño ingenuo α/π ≈ 2,3×10⁻³ sobreestima: el desplazamiento lleva factores extra de α² (la escala atómica misma es α²m) y logaritmos — el orden fino es α³ln(1/α) relativo. La lección del ejercicio no es el número exacto sino el método: antes de calcular un lazo, estima su tamaño con potencias de α; si el experimento ve algo mucho mayor, no son lazos — es otra cosa. Así se triaje la «nueva física» a diario.
Explica el apantallamiento con las manos: ¿por qué los pares virtuales e⁺e⁻ alrededor de una carga negativa reducen la carga vista desde lejos? ¿Y qué tendría que hacer un medio para antiapantallar?
Solución
Cada par virtual es un dipolo momentáneo: el extremo positivo se orienta hacia la carga central negativa, el negativo hacia fuera. Vista desde lejos, la carga central queda envuelta en una corteza de signo contrario que cancela parte de su campo — exactamente como un dieléctrico ordinario. Antiapantallar exigiría que el medio reforzara el campo al alejarse: que los propios mediadores llevaran la carga que transmiten y la desparramaran. El fotón es eléctricamente neutro y no puede; los gluones llevan color, y ahí — módulo II.7 — se rompe la analogía y nace la libertad asintótica.
QED queda completa: un vértice, un catálogo de procesos calculados, lazos convertidos en instrumento y una constante que corre. El próximo módulo toma la misma plantilla — cambia la carga por el color, el fotón por ocho gluones — y descubre que ese único cambio invierte el signo del vacío y encierra a los quarks para siempre. La QCD elemental espera.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| El vértice, y solo uno | i e γμ, con e = √(4πα) ≈ 0,303 y α = e²/4π = 1/137 | art. 01 — el α del I.3, en versión amplitud |
| El resto del diccionario | u entrando, ū saliendo, v para antipartículas; propagador del fotón −i gμν/q² (sin masa: el denominador de Coulomb); del fermión, i(γ·q + m)/(q² − m²) | art. 01 — las reglas se montaron en II.4 |
| Por qué el vértice nunca actúa solo | Un electrón libre no puede emitir un fotón real: la masa invariante final (m² + 2pe·pγ) excede la inicial. Alguna pata ha de ser virtual — y por eso toda probabilidad de QED lleva α² o más | art. 01 y ej. 1 |
| El catálogo de dos vértices | e⁺e⁻→μ⁺μ⁻ (canal s) · e⁻μ⁻→e⁻μ⁻ (t) · Bhabha (s+t) · Møller (t+u) · Compton (s+u) · aniquilación e⁺e⁻→γγ (t+u) | art. 01 |
| Quién tiene qué canal | Canal s solo si las entrantes pueden aniquilarse en un fotón; canal u solo si las salientes son idénticas e indistinguibles | art. 01, ej. 2 |
| Luz contra luz | γγ → γγ no tiene vértice: el diagrama mínimo es un lazo de electrón con cuatro vértices, probabilidad ∝ α⁴ ≈ 3×10⁻⁹. ATLAS lo observó en 2017 en colisiones ultraperiféricas de plomo | art. 01, ej. 3 |
| El proceso patrón | ⟨|M|²⟩ = e⁴(1 + cos²θ) en el régimen √s ≫ mμ | art. 02 — aquí «importa su resultado»; se fabrica con trazas en el anexo B, art. 03 |
| La deuda del 4π/3, pagada | dσ/dΩ = (α²/4s)(1 + cos²θ) ⟹ σ = 4πα²/(3s) = 86,8 nb·GeV²/s | art. 02, ej. 1 — cobra lo que el II.3 tomó «de prestado» |
| La servilleta, auditada | 0,87 nb a √s = 10 GeV, exactamente el valor medido. El análisis dimensional daba el esqueleto; los espines, la carne (un factor 4) | art. 02, ej. 1 |
| Qué certifica la forma angular | El 1 + cos²θ acredita el espín 1 del fotón: un mediador escalar daría muones repartidos planos | art. 02 |
| Asimetría adelante-atrás | QED pura da AFB = 0; la interferencia γ–Z añade un término ∝ cosθ. PETRA midió −10% a √s = 34 GeV, con el Z todavía a 57 GeV de su polo | art. 02 — su origen algebraico (el ε de las trazas) está en el anexo B, art. 03, ej. 3 |
| Por qué AFB cambia de signo | La interferencia va con la parte real de 1/(s − mZ²): negativa por debajo del polo, positiva por encima. Al propagador se le ve la cara en el detector | art. 02, ej. 2 |
| El factor de umbral | σ(e⁺e⁻→ℓ⁺ℓ⁻) gana β(3 − β²)/2. Para τ⁺τ⁻ a 10 GeV: β = 0,935 ⟹ 0,99 (toda fábrica de B es fábrica de τ). A √s = 3,6 GeV: β = 0,16 ⟹ 0,24 | art. 02, ej. 1 — se deriva en el anexo B (art. 03, ej. 2 y hoja, prob. 5) |
| R, la puerta al color | σ(hadrones)/σμμ = 3,1/0,87 ≈ 3,6 a 10 GeV, frente a Σq² = 4/9+1/9+1/9+4/9+1/9 = 11/9 ≈ 1,2: falta un factor 3 | art. 02, ej. 3 — ese 3 es el módulo II.7 entero |
| Compton: la cinemática | E′ = E/[1 + (E/me)(1 − cosθ)] — pura conservación del cuadrimomento, sin QED | art. 03 (la fija el II.1) |
| El borde Compton del ¹³⁷Cs | De 662 keV: el fotón a 180° sale con 184 keV y el electrón se lleva Tmáx = 662 − 184 = 478 keV | art. 03, ej. resuelto y hoja, prob. 1 |
| Y por qué el pico de retrodispersión no depende de la fuente | E′(180°) satura en me/2 ≈ 256 keV: 662 → 184 keV, 1.332 → 214 keV. De ahí el artefacto universal a ~200 keV en todo espectro gamma | art. 03, ej. 1 |
| Sección eficaz de Thomson | σ = (8π/3)(α²/me²) = 0,665 b — la sombra electromagnética del electrón libre. Comprobación: α²/me² = 204 GeV⁻², ×8π/3 ×0,389 mb = 665 mb | art. 03 y ej. 2 |
| Por qué el electrón domina la opacidad | σ ∝ 1/m²: el protón, 1.836 veces más pesado, apenas contribuye | art. 03, ej. 2 |
| Simetría de cruce | Compton, e⁺e⁻ → γγ y γγ → e⁺e⁻ son una sola función de s, t, u evaluada en tres regiones: convierte «repite el cálculo» en «consulta al primo» | art. 03 y ej. 3 |
| Bhabha como luminómetro | A ángulo pequeño el canal t lleva t → 0, el propagador 1/t se dispara y la σ es enorme y calculable: LEP medía su luminosidad contando Bhabhas. Cada medida de LEP lleva uno en el denominador de N = ∫L·σ | art. 04 |
| Por qué el ancla ha de ser externa | Medir L con el propio pico del Z y luego σZ con esa L sería circular: la σ del luminómetro tiene que venir de la teoría | art. 04, ej. 1 |
| El Lamb shift | 2S1/2 y 2P1/2, exactamente degenerados según Dirac, difieren en 1.058 MHz (1947). Los lazos son física medible | art. 04 |
| Su tamaño, estimado | hν = 4,14×10⁻¹⁵ × 1,058×10⁹ = 4,4×10⁻⁶ eV sobre los 3,4 eV del nivel n = 2: 1,3×10⁻⁶. El α/π ≈ 2,3×10⁻³ ingenuo sobreestima; el orden fino es α³ln(1/α) relativo | art. 04, ej. 2 — el método (estimar el lazo antes de calcularlo) es el triaje diario de «nueva física» |
| Polarización del vacío | Los pares e⁺e⁻ virtuales orientan sus dipolos y apantallan la carga: lo que llamamos «la carga del electrón» es el valor visto desde lejos | art. 04 |
| α no es constante | α(0) = 1/137,04 → α(mZ) = 1/128,95 | art. 04 |
| Y cobra el 13% | (137,04/128,95)² = 1,13 en cualquier sección eficaz con α², cuando LEP medía al por mil: usar el α de tablas habría dado decenas de σ de «nueva física» falsa | art. 04, ej. resuelto y hoja, prob. 3 |
| El contraste servido | Antiapantallar exigiría mediadores que llevaran la carga que transmiten. El fotón es neutro y no puede; los gluones llevan color y sí | art. 04, ej. 3 — es la puerta de entrada al II.7 |
| El positronio, átomo de nada | C(nγ) = (−1)n ⟹ para (C = +1) → 2γ, orto (C = −1) → 3γ. Vidas: 0,125 ns y 142 ns, factor ~1.100 = un vértice de más (α ≈ 1/137) por ~8 de espacio fásico de tres cuerpos | hoja, prob. 2 |
| Retorno radiativo | Radiando Eγ = (s − mZ²)/(2√s) — unos 55 GeV a √s = 161 — cualquier colisionador alto es una fábrica de Z gratis. El fotón se va pegado al tubo del haz y solo se delata por desbalance | hoja, prob. 4 |
| El patrón en invariantes | ⟨|M|²⟩ = 2e⁴(t² + u²)/s²; cruzando s ↔ t sale e⁻μ⁻ → e⁻μ⁻ con 2e⁴(s² + u²)/t², cuyo 1/t² divergente hacia delante es Rutherford 1911 viviendo dentro de QED | hoja, prob. 5 — la traza que lo produce está en el anexo B, art. 03 |
| La simetría de Møller | Los dos electrones finales son idénticos ⟹ dσ/dΩ ha de ser simétrica respecto de θ = 90°, y solo la suma de los diagramas t y u lo consigue: basta medir medio hemisferio | hoja, prob. 6 |