La teoría más precisa merece una hoja sin red. Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas. Necesitarás la cinemática Compton del artículo 03, la distribución del proceso patrón — y para el problema 5, haber pasado por el taller de trazas o estar dispuesto a fiarte de su resultado final.
La hoja
En Compton, el electrón se lleva la máxima energía cuando el fotón rebota hacia atrás. (a) Demuestra que T_max = E·(2E/m)/(1 + 2E/m) y evalúala para los fotones de 662 keV del ¹³⁷Cs: debe darte 478 keV — el «borde Compton» que ve cualquier espectrómetro de laboratorio. (b) Comprueba la contabilidad con el ejercicio del artículo 03: borde (478) + pico de retrodispersión (184) = 662. ¿Es casualidad? (c) Demuestra que el fotón retrodispersado nunca supera m/2 = 256 keV, por energética que sea la fuente.
Pista
(a) Usa la fórmula de Compton del artículo 03 con θ = 180° y resta. (b) No: son el mismo suceso contado desde las dos partículas finales — la suma es conservación de la energía. (c) Haz E → ∞ en E′(180°): el límite es m/2. Por eso el pico de retrodispersión «casi no depende de la fuente».
El positronio (e⁺e⁻ ligado) tiene dos estados base: para (espines opuestos, C = +1) y orto (espines paralelos, C = −1). El fotón tiene C = −1 y la conjugación de carga se conserva en QED. (a) Deduce a cuántos fotones está obligado a decaer cada uno. (b) Las vidas medidas son 0,125 ns (para) y 142 ns (orto): un factor ~1.100. ¿Qué precio en α explica el grueso de ese factor, y por qué no sale exactamente 137? (c) ¿Por qué ninguno puede decaer a un fotón?
Pista
(a) C(nγ) = (−1)ⁿ: para → 2γ, orto → 3γ. (b) Un vértice más cuesta α ≈ 1/137; el resto — un factor ~8 de espacio fásico de tres cuerpos y números π — completa el cociente: el cálculo exacto de QED reproduce el valor medido. (c) El problema del vértice solitario del artículo 01: un fotón real único no conserva el cuadrimomento de un sistema en reposo con masa.
A las energías del Z, α ya no vale 1/137,04 sino ≈ 1/128,9 (artículo 04). El proceso patrón lleva α²: calcula cuánto cambia σ(e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻) a √s = m_Z por usar la α correcta: debe darte ~+13%. ¿Qué le pasaría a cualquier predicción electrodébil de precisión — las del III.1 — si alguien usara la α «de bolsillo»?
Pista
(137,04/128,9)² − 1. Trece por ciento no es un matiz: LEP medía a la décima de por ciento. El running de α es la corrección virtual más barata de entender (apantallamiento, artículo 04) y la primera que cualquier ajuste electrodébil incorpora — el interactivo del III.1.4 tiene un interruptor exactamente para esto.
A √s = 161 GeV (LEP2), un e⁺e⁻ puede radiar un fotón inicial y chocar efectivamente en el pico del Z. (a) Demuestra que la energía del fotón que lo consigue es E_γ = (s − m_Z²)/(2√s) y evalúala: debe darte ~55 GeV. (b) ¿Por qué este «retorno radiativo» convierte a cualquier colisionador de alta energía en una fábrica de Z gratuita? (c) ¿Dónde busca el experimentalista ese fotón — y por qué muchas veces no lo encuentra aunque esté?
Pista
(a) Exige (p₁+p₂−k)² = m_Z² con k sin masa y colineal. (b) La σ del Z en pico es enorme (problema 5 de la hoja del II.3): radiar cuesta α, pero el premio compensa. (c) El fotón sale pegado al tubo del haz — colineal —, donde no hay detector: se delata solo como desbalance longitudinal. Belle II lo usa a diario para buscar física nueva ligera.
El taller de trazas (B.3) obtiene para e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻: ⟨|M|²⟩ = 2e⁴(t² + u²)/s². (a) Aplica la simetría de cruce s ↔ t para escribir ⟨|M|²⟩ de la dispersión e⁻μ⁻ → e⁻μ⁻. (b) Comprueba el límite: ¿qué pasa cuando t → 0 (dispersión hacia delante), y por qué eso es física correcta y no un error? (c) ¿Qué proceso del I.1 es este límite con nombres de 1911?
Pista
(a) Intercambia s ↔ t: sale 2e⁴(s² + u²)/t². (b) El 1/t² diverge hacia delante: es el alcance infinito del fotón sin masa — la misma divergencia de Rutherford, que se regula porque ningún blanco real está desnudo (apantallamiento atómico). (c) La dispersión de Rutherford del I.1, con α² delante: la fórmula de 1911 vive dentro de la QED como un límite.
En e⁻e⁻ → e⁻e⁻ (Møller) los dos electrones finales son idénticos: el detector no puede saber cuál salió a θ y cuál a π−θ. (a) Deduce qué simetría exacta debe tener dσ/dΩ respecto de θ = 90° y por qué la amplitud necesita dos diagramas (canales t y u) para cumplirla. (b) ¿Qué significa esto en la práctica: qué región angular basta con medir? (c) ¿Por qué Bhabha (e⁺e⁻) no tiene esa simetría, y qué canal tiene a cambio?
Pista
(a) Intercambiar los dos electrones finales es t ↔ u, es decir θ ↔ π−θ: la sección eficaz debe ser invariante, y solo la suma de ambos diagramas lo es. (b) Medir θ > 90° sería contar lo mismo dos veces — la mitad del hemisferio contiene toda la información. (c) En Bhabha las partículas finales son distintas (e⁻ ≠ e⁺): se pierde la simetría y se gana el canal s de aniquilación — el reparto de canales del ejercicio del artículo 01.
Fin de la hoja. QED con las manos: bordes que suman, átomos de materia-antimateria, constantes que corren y simetrías que corrigen exámenes. El «Resumen en frío» del artículo 04 guarda las fórmulas; el taller de trazas, las demostraciones.