Hasta ahora los fotones de QED eran virtuales — mensajeros internos de los diagramas. Este artículo los saca a las patas externas: la dispersión Compton (γe → γe), que en 1923 zanjó el debate sobre si la luz golpea como partícula, y la aniquilación (e⁺e⁻ → γγ), que ya conociste trabajando en los escáneres PET. Y entre ambas, una de las ideas más elegantes del formalismo: son el mismo cálculo.
Compton: la luz que golpea
La cinemática la fija el módulo II.1 (conservación del cuadrimomento, sin QED): el fotón dispersado un ángulo θ sale con energía
— el corrimiento que Compton midió en 1923 y que valió el argumento definitivo: una onda clásica no pierde energía al desviarse; un proyectil, sí. La dispersión Compton es además la protagonista silenciosa de los detectores del Nivel I.5: en un calorímetro, los fotones de energía media pierden su energía mayoritariamente a golpes de Compton. Juega con la fórmula:
Un fotón golpea un electrón en reposo y sale desviado un ángulo θ con menos energía — la diferencia se la lleva el electrón. Mueve el ángulo y la energía del haz: la fórmula que gobierna cada espectro gamma del planeta.
Reparto intermedio. Nota que la fórmula solo usa cinemática relativista (módulo II.1) — pero la probabilidad de cada ángulo la da QED: los dos diagramas de este artículo, sumados e interferidos.
Problema. Una fuente de ¹³⁷Cs emite fotones de 662 keV. En el espectro de un detector aparece un pico en 662 y una «meseta» que muere abruptamente en cierta energía. Calcularla.
Solución. La meseta son electrones Compton; su máximo es el rebote a 180°:
Resultado. El borde de Compton a 478 keV — probablemente el número más medido en las prácticas de física nuclear del planeta. Todo estudiante que calibra un detector de NaI está comprobando, sin que se lo digan, la cinemática relativista del módulo II.1 aplicada al vértice de QED. Y una consecuencia curiosa de la fórmula: por energético que sea el fotón incidente, el rebotado a 180° nunca supera m_e/2 ≈ 256 keV.
La dinámica: dos diagramas con electrón virtual
La probabilidad de cada ángulo la pone QED: dos diagramas — el electrón absorbe y luego emite (canal s), o emite y luego absorbe (canal u) — con un electrón virtual de por medio. El resultado completo es la fórmula de Klein-Nishina (1929, uno de los primeros triunfos de la teoría de Dirac); su límite de baja energía es un clásico con nombre propio:
La sección eficaz de Thomson — la «sombra electromagnética» de un electrón libre ante luz suave. Es el área con la que los fotones del Sol empujan los electrones de la corona, la opacidad que retuvo la luz del universo hasta la recombinación (el fondo cósmico del Nivel I.8 se liberó cuando esta σ dejó de encontrar electrones libres), y el denominador de media astrofísica.
La simetría de cruce: un cálculo, tres procesos
Mira los diagramas de Compton (γe → γe) y de la aniquilación (e⁺e⁻ → γγ): son la misma topología con patas giradas — donde uno tiene el fotón entrando, el otro tiene el positrón saliendo. La simetría de cruce eleva esa observación a teorema: la amplitud es una única función de las variables de Mandelstam, y «cruzar» una pata equivale a intercambiar s, t y u. Compton, la aniquilación e⁺e⁻ → γγ y la creación de pares γγ → e⁺e⁻: tres procesos, una función. El PET del módulo pasado y el borde del cesio de este artículo son la misma matemática evaluada en regiones distintas del plano de Mandelstam — la clase de economía que hace sospechar que el formalismo sabe más de lo que se le enseñó.
Ejercicios
En cualquier espectro gamma de laboratorio aparece un «pico de retrodispersión» cerca de 200 keV, casi independiente de la fuente. Calcula la energía de un fotón de 662 keV (y de uno de 1.332 keV) retrodispersado a 180° en el blindaje, y explica la coincidencia.
Solución
662 → 184 keV; 1.332 → 1.332/(1+5,213) = 214 keV. Para E ≫ m_e/2, la fórmula satura en m_e/2 = 256 keV: todo fotón energético rebotado a 180° vuelve con ~180-250 keV, lleve lo que lleve. Por eso el pico de retrodispersión — fotones que rebotaron en la pared y volvieron al detector — vive siempre en la misma vecindad. Es la saturación del interactivo, apareciendo como artefacto universal en cada espectro del mundo.
Verifica numéricamente la sección de Thomson: σ = (8π/3)·α²/m_e², con α = 1/137 y m_e = 0,511 MeV. (Conversión del módulo II.3: 1 GeV⁻² = 0,389 mb.)
Solución
0,665 barns ✓. Nota la estructura: es la σ ~ α²/(escala)² del módulo II.3, con la masa del electrón como única escala disponible (fotón suave: s no cuenta). Grande, para lo que acostumbra la disciplina — casi un barn — porque el electrón es ligero: la sombra electromagnética crece con 1/m². Por eso los electrones dominan la opacidad del universo y los protones, 1836 veces más pesados, apenas contribuyen.
Usa la simetría de cruce como detector de errores: un colega calcula γγ → e⁺e⁻ y obtiene una sección eficaz que crece sin límite con la energía. Sin rehacer su cálculo, ¿qué dos comprobaciones baratas ofrecen los procesos cruzados?
Solución
Primera: el cruce a Compton — la misma función amplitud debe reproducir Klein-Nishina, que decrece a alta energía como (ln s)/s; un crecimiento sin límite en una región contradice el comportamiento conocido en la otra. Segunda: el cruce a la aniquilación, cuya σ medida (en PET y en colisionadores) también cae con s. Si la única función madre debe agachar la cabeza en dos de sus tres caras, no puede dispararse en la tercera. La simetría de cruce convierte «repite el cálculo» en «consulta al primo» — y es una de las herramientas de control de calidad más usadas de la profesión.
El catálogo de dos vértices está recorrido. Queda el piso de arriba: los lazos de QED, que ya no son una amenaza (módulo II.4 los facturó) sino el instrumento de precisión definitivo — y una última sorpresa: la constante de estructura fina no es constante. Cierre de módulo.