Si la física de partículas tuviera un metro patrón guardado en Sèvres, sería este proceso: un electrón y un positrón se aniquilan, el fotón virtual resucita como pareja de muones. Un solo diagrama, sin canales que interfieran, sin fuerza fuerte que ensucie. Contra él se calibran detectores, teorías y — como verá el módulo II.7 — el número de colores del universo. Hoy se calcula entero.
Del diagrama a |M|²
El diagrama: e⁺e⁻ se aniquilan (vértice 1), el fotón virtual viaja en canal s, y se materializa en μ⁺μ⁻ (vértice 2). Las reglas del artículo anterior dan la amplitud — dos vértices (factor e²) y el propagador del fotón (factor 1/s) — pero con espinores dentro: M depende de los espines de las cuatro partículas. Como los haces no vienen polarizados y el detector no mira espines, la receta es promediar sobre los iniciales y sumar sobre los finales. Ese paso (el «truco de Casimir»: convertir la suma de espines en una traza de matrices gamma) es el músculo técnico de Griffiths capítulo 7; aquí importa su resultado, que es de una limpieza ejemplar. En el régimen ultrarrelativista (√s ≫ mμ):
con θ el ángulo entre el electrón entrante y el muón saliente. Todo el cálculo — gammas, trazas, espinores — colapsa en una forma angular de dos términos.
La deuda del 4π/3
El resto es maquinaria conocida: la fórmula de sección eficaz 2 → 2 del módulo II.3 convierte ⟨|M|²⟩ en distribución angular, y la integral sobre el ángulo sólido da la sección eficaz total:
Problema. En el módulo II.3 estimamos σ ~ α²/s por análisis dimensional y prometimos el prefactor. Verificar la fórmula completa a √s = 10 GeV y contra el número mágico de los experimentales.
Solución. La integral del (1 + cos²θ) sobre el ángulo sólido da el 4π/3 (∫(1+cos²θ)dΩ = 16π/3, con el 4 del denominador ya puesto). Numéricamente:
Resultado. El 86,8 nb·GeV² que usamos «de prestado» en el módulo II.3 queda derivado: es 4πα²/3 en unidades humanas. La estimación de servilleta acertaba el orden porque la física era solo α²/s; el 4π/3 — un factor 4 — era geometría del espín. Deuda saldada, y con moraleja: el análisis dimensional te da el esqueleto; los espines, la carne.
La forma es el mensaje
El (1 + cos²θ) no es un detalle: es un mensaje doble. Primero, certifica el espín 1 del fotón — un mediador escalar daría muones repartidos planos, y el experimento vota curva. Segundo, su simetría adelante-atrás es frágil a propósito: si cualquier otro bosón neutro interfiere con el fotón, aparece un término ∝ cosθ que inclina la curva — la asimetría adelante-atrás. En 1982, PETRA midió A_FB ≈ −10% a √s = 34 GeV: el Z, todavía a 57 GeV de distancia de su polo, ya inclinaba la curva desde el más allá virtual — el propagador del módulo II.4 anunciándose antes del pico. Inclínala tú:
¿Hacia dónde salen los muones? QED pura predice 1 + cos²θ — la firma de un mediador de espín 1. Pero si otro bosón neutro interfiere con el fotón, la curva se inclina: más muones hacia delante que hacia atrás (o al revés). Esa inclinación fue la primera huella del Z años antes de poder fabricarlo.
Simetría perfecta adelante-atrás: el fotón no distingue sentidos. La forma 1 + cos²θ, confirmada en todos los colisionadores e⁺e⁻, es la firma directa de que el mediador tiene espín 1 — un mediador escalar daría la línea plana.
Ejercicios
Cerca del umbral la fórmula se corrige: σ(e⁺e⁻ → ℓ⁺ℓ⁻) lleva un factor β(3−β²)/2, con β la velocidad del leptón creado. Calcula ese factor para τ⁺τ⁻ a √s = 10 GeV (m_τ = 1,777 GeV) y decide si la Υ(4S), donde viven las fábricas de B, es también una fábrica de taus.
Solución
β = √(1 − 4m_τ²/s) = √(1 − 12,63/100) = 0,935, y el factor vale 0,935 × (3 − 0,874)/2 = 0,99: prácticamente uno. A 10 GeV los taus ya se producen a pleno rendimiento — cada fábrica de B es, de regalo, una fábrica de τ con la misma σ ≈ 0,9 nb que los muones. Así se midieron las propiedades del tau con precisión: de gorra, en el mismo haz. (La supresión β importa solo pegado al umbral: a √s = 3,6 GeV, β = 0,16 y el factor cae a 0,24.)
La asimetría A_FB cambia de signo al cruzar el pico del Z. Con lo que sabes del propagador (módulo II.4), explica por qué — piensa en el signo de 1/(s − m_Z²) a cada lado del polo.
Solución
El término de interferencia es proporcional al producto de la amplitud del fotón (real y positiva, ∝ 1/s) por la parte real de la del Z, ∝ 1/(s − m_Z²): negativa por debajo del polo, positiva por encima. La asimetría hereda ese signo: muones «hacia atrás» antes del pico (PETRA), «hacia delante» después (LEP-2). Un denominador cambiando de signo, visible en la geometría de los sucesos: el propagador no es un formalismo — se le ve la cara en el detector.
A √s = 10 GeV, la sección eficaz medida de e⁺e⁻ → hadrones es ≈ 3,1 nb. Exprésala en unidades del proceso patrón (σ_μμ = 0,87 nb). El cociente que obtienes tiene nombre propio y capítulo propio: ¿qué esperarías ingenuamente contando los quarks accesibles (u, d, s, c, b con sus cargas), y qué falta?
Solución
R = 3,1/0,87 ≈ 3,6. Cuenta ingenua: el fotón crea pares qq̄ en proporción a la carga al cuadrado — Σq² = (2/3)² + (1/3)² + (1/3)² + (2/3)² + (1/3)² = 11/9 ≈ 1,2. Falta un factor 3: el experimento da el triple de hadrones que la suma de cargas. Ese 3 es el número de colores de cada quark — la evidencia más directa y numérica de que el color existe, y la puerta por la que entra el módulo II.7. El proceso patrón no solo calibra: cuenta.
El proceso patrón está calculado, verificado y — vía su cociente R — apunta ya al siguiente módulo. Pero antes quedan los procesos con fotones de verdad en las patas: Compton, la aniquilación, y la simetría de cruce que los hermana. Siguiente artículo.