Los tres primeros artículos fotografiaron el protón por dentro; este cierra el módulo con la pregunta que la foto no responde: las masas. El módulo II.7 dejó dicho que el protón pesa Λ de QCD «vestida»; el III.2 añadió que los quarks pesan por Yukawa. Falta el personaje incómodo: el pión, 140 MeV donde todos sus parientes pesan 800. La respuesta la anticipó el módulo III.2 sin nombrarla — es el ejemplo estrella del teorema de Goldstone — y viene con premio doble: la nota pendiente del II.2 (la fórmula GMO de mesones en masas al cuadrado) se paga aquí, con una relación que convierte tres mesones en una báscula para pesar quarks.
La simetría que QCD tiene y el vacío esconde
Si los quarks u y d no pesaran nada, QCD tendría una simetría mayor que el isospín: las mitades zurda y diestra de cada quark ni se hablan (módulo II.5 — sin masa no hay término que las case), así que se pueden rotar por separado: SU(2)_L × SU(2)_R, la simetría quiral. Seis generadores. Pero el vacío de QCD no está vacío: el mismo régimen fuerte que confina llena el estado fundamental de pares quark-antiquark — el condensado ⟨q̄q⟩ ≠ 0 — y un condensado q̄q casa precisamente zurdas con diestras. El vacío rompe la simetría quiral espontáneamente, dejando intacto solo el isospín de Heisenberg (3 generadores). El censo del módulo III.2: 6 − 3 = 3 Goldstones. Tres mesones anómalamente ligeros, pseudoescalares (la rotación quiral lleva γ⁵ — paridad negativa), en triplete de isospín: π⁺, π⁰, π⁻. El mesón de Yukawa era un teorema.
Dos rupturas, dos vacíos, un mecanismo. El Modelo Estándar esconde simetrías dos veces: el condensado de Higgs (elemental, v = 246 GeV) rompe la electrodébil, y el condensado de QCD (compuesto, ⟨q̄q⟩ ≈ −(283 MeV)³) rompe la quiral. La segunda inspiró históricamente a la primera — Nambu cobró el Nobel de 2008 por traer los Goldstones a las partículas desde la superconductividad. Y en ambas, la desviación de lo exacto delata algo: allí los lazos del top; aquí, las masas de los quarks.
GMOR: la báscula de quarks
Los quarks reales pesan un poco (Yukawa, módulo III.2), así que la simetría quiral no era exacta y los piones no salen exactamente sin masa: son pseudo-Goldstones. La relación de Gell-Mann–Oakes–Renner (1968) cuantifica el «casi» al orden más bajo:
con f_π = 92 MeV la constante de desintegración del pión (medida en π → μν, módulo II.8). La estructura es lo importante: la masa al cuadrado del Goldstone es lineal en lo que rompe la simetría. De ahí la raíz — m_π ∝ √m_q — y de ahí, por fin, la nota del módulo II.2: para los mesones pseudoescalares, lo natural (lo lineal en masas de quarks) son los cuadrados de las masas. La fórmula GMO del camino óctuple funcionaba en m² porque estaba pesando quarks sin saberlo.
Problema. Con m_π⁰ = 135,0 MeV y las masas de quarks m_u + m_d = 6,8 MeV (MS̄, 2 GeV), extrae B y el condensado.
Resultado. El vacío de QCD contiene un condensado de densidad (283 MeV)³ — unos 3 pares por fm³, del orden de Λ de QCD al cubo, como debía. Nota la palanca: 6,8 MeV de quarks fabrican 135 MeV de pión, porque la raíz amplifica lo pequeño (√(6,8×2.680) = 135). El pión es un instrumento de precisión para masas de quarks que ningún detector puede ver sueltas.
Problema. El kaón cambia un d por un s: m_K² = (m_s + m_u)·B. Con m_s = 93,4 MeV, predice m_K. Y con la GMO en m² del octete (3m_η² = 4m_K² − m_π²), predice m_η.
Resultado. Dos masas de quarks (6,8 y 93) más un condensado reproducen tres mesones al 2–3% — sistema sobredeterminado, test superado. Y un misterio del zoo, disuelto: los quarks del kaón pesan 14 veces más que los del pión (95,6/6,8), pero m_K/m_π = 3,7 — porque la jerarquía entra bajo raíz: √14 = 3,7 ✓. El espectro ligero no es una lista: es la tabla de pesos de los quarks, leída a través de una raíz cuadrada.
Los mesones pseudoescalares son los Goldstones de la simetría quiral — con masa solo porque los quarks la rompen un poco a mano. La relación GMOR: m² = (masa de quarks) × B, con B = 2.680 MeV fijado por el condensado de QCD, ⟨q̄q⟩ ≈ −(283 MeV)³. Ajusta las masas de los quarks y encuentra nuestro universo (marcas: π 135, K 494, η 548).
Dos diales de quarks, tres mesones medidos: el sistema está sobredeterminado, y que exista solución (búscala) es un test de que los pseudoescalares son de verdad Goldstones con m² ∝ m_q. De regalo, la η comprueba la fórmula GMO del camino óctuple — en masas al cuadrado, como prometió el módulo II.2.
El retículo: QCD sin red de seguridad
Todo lo anterior es teoría de la simetría — elegante, pero ¿quién calcula el 938 del protón desde el lagrangiano de QCD? Desde 2008, la QCD en el retículo responde: discretiza el espacio-tiempo en una malla, integra por Montecarlo, y extrae el espectro sin suponer α_s pequeño. El resultado histórico (colaboración BMW, 2008): las masas de los hadrones ligeros — protón, ρ, Λ, Ω… — reproducidas al 1–4% desde primeros principios, con solo las masas de quarks y α_s como entrada. La afirmación del módulo II.7 («el 99% de tu masa es energía de QCD») dejó de ser un eslogan: es el resultado de un cálculo con barras de error. El desglose del protón, de hecho, asigna solo ~40 MeV a las masas de los quarks ligeros — el resto es dinámica: energía cinética confinada y campo de gluones.
Ejercicios
La GMO de los bariones (módulo II.2) funcionaba lineal en m, y la de los mesones pseudoescalares exige m². Con lo aprendido, explica la diferencia estructural.
Solución
Los pseudoescalares son (pseudo-)Goldstones: su masa² nace de la ruptura explícita, m² ∝ m_q — sin masas de quarks serían exactamente cero. Para ellos, lo lineal en m_q es m². Los bariones no son Goldstones: su masa base (~1 GeV) es dinámica de QCD (Λ vestida), y las masas de quarks son una perturbación aditiva — cada s de más suma ~150 MeV, lineal en m. Misma fuente (m_q), distinto papel: constitutivo para los Goldstones, correctivo para los demás. La «peculiaridad honesta» del módulo II.2, saldada.
La ruptura quiral debería dar un noveno pseudo-Goldstone (la simetría axial U(1)_A también parece rota). El candidato, la η′, pesa 958 MeV — ni remotamente ligera. Conecta esta anomalía con otro «nueve que eran ocho» del curso.
Solución
La U(1)_A no es una simetría verdadera de QCD cuántica: la rompe la anomalía — efectos de gluones (topológicos) que sobreviven aunque los quarks no pesen nada. Sin simetría, sin Goldstone: la η′ recibe una masa grande directamente del vacío gluónico. Es el pariente profundo del «8 y no 9» de los gluones del módulo II.7: ambos noves fantasma mueren por la estructura no abeliana de QCD. (La misma anomalía, en versión electromagnética, es la que permite el π⁰ → γγ ∝ N_c² con que el II.7 contó colores — las anomalías quitan un Goldstone y a cambio firman los mejores tests del color.)
Cierre de módulo y de la QCD del curso. Junta las piezas: ¿qué fracción de la masa del protón ponen (a) las Yukawas del Higgs, (b) el condensado y la dinámica de QCD? ¿Y de qué depende entonces que exista la química?
Solución
(a) ~40 MeV de 938: un 4% — eso es todo lo que el Higgs pone en tu báscula. (b) El 96% restante es QCD pura: confinamiento y condensado, que existirían igual con quarks sin masa. Pero la química depende de los dos pequeños: m_e (Higgs) fija el tamaño de los átomos, y m_u + m_d (Higgs) fija la masa del pión y con ella el alcance nuclear, la ligadura del deuterio y la quema estelar (el dial quiral). Moraleja final del módulo: la masa la pone QCD, pero las condiciones de vida las ponen los parámetros diminutos del Higgs. El peso es del condensado; la forma, del vacío electrodébil — y con esa simetría se cierra QCD profundo.
Módulo III.3 completo. El protón, abierto en canal: los partones existen (escalado), tienen espín 1/2 y cargas fraccionarias (Callan-Gross, 5/18), reparten su momento con un 46% para los gluones, derivan con logaritmos que miden α_s (DGLAP, HERA) — y su lado no-perturbativo esconde la simetría quiral rota cuyo Goldstone es el pión, con la GMO en m² saldada y el retículo cerrando la contabilidad al 1%. Siguiente módulo: los neutrinos cuantitativos — oscilaciones con matemática completa y la matriz PMNS (III.4).
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| El mismo experimento, tres veces | Rutherford 1911 (el núcleo, por los rebotes duros), Hofstadter años 50 (el tamaño del protón, por la suavidad), MIT-SLAC 1968 (los puntos de dentro). Solo cambió la energía | art. 01 |
| Factor de forma | F(Q²) es la transformada de Fourier de la distribución de carga: puntual ⟹ F = 1 a toda Q²; extenso ⟹ cae, y la velocidad de la caída mide el tamaño | art. 01 |
| El protón tiene tamaño | r ≈ 0,84 fm (Hofstadter, Nobel 1961); su factor de forma es el dipolo F(Q²) = (1 + Q²/0,71 GeV²)⁻² | art. 01 |
| Cuánto castiga la extensión | F(5 GeV²) = 1/65 ⟹ σelástica ∝ F² suprimida ×1/4.200. Que la inelástica a la misma Q² no mostrara supresión comparable fue el drama de 1968 | art. 01, ej. 1 |
| El idioma del DIS | Q² = −q² = 4EE′sin²(θ/2), el aumento del microscopio (resolución ħc/Q) · ν = E − E′, la energía entregada | art. 01 |
| x de Bjorken | x = Q²/(2Mν), entre 0 y 1; W² = M² + 2Mν − Q² = M² + Q²(1−x)/x. Elástico es x = 1 exactamente; «profundo» exige Q² ≫ 1 GeV² y W ≳ 2 GeV | art. 01 y ej. 1 |
| Un suceso de SLAC, disecado | E = 20 GeV, E′ = 8 GeV, θ = 10° ⟹ Q² = 4,9 GeV², ν = 12 GeV, x = 0,22, W = 4,3 GeV; resolución ħc/Q = 0,09 fm, un décimo de protón | art. 01, ej. 2 |
| Por qué hay que huir de las resonancias | Producir una Δ(1232) con Q² = 1 GeV² pide ν = 0,87 GeV y x = 0,61: ahí el fotón excita una vibración colectiva del protón, no entrevista a un constituyente | art. 01, ej. 2 — la Δ es del II.2 |
| Escalado de Bjorken | A x fija, la respuesta del protón no depende de Q²: sin factor de forma, sin tamaño ⟹ los dispersores son puntuales. El hecho fundacional del módulo (Nobel 1990) | art. 01 |
| La regla del microscopio | Q = ħc/d = 0,197/d[fm] GeV. Rutherford 10 fm → Hofstadter 1 fm → SLAC 0,1 fm (Q² ≈ 6 GeV²) → HERA 10⁻³ fm (Q² ≈ 39.000 GeV²), y los quarks siguen sin enseñar tamaño | art. 01, callout y ej. 3 |
| x cinemática = x de reparto | Si el partón golpeado sale casi sin masa, (ξP + q)² ≈ 0 da ξ = Q²/(2P·q) = x: la variable de Bjorken es su fracción de momento | art. 02 |
| La función de estructura | F₂(x) = x Σq eq²[q(x) + q̄(x)] = x[(4/9)(u+ū) + (1/9)(d+d̄) + (1/9)(s+s̄) + …] | art. 02 — es el vértice de QED (II.6) con carga fraccionaria |
| Callan-Gross | F₂ = 2xF₁ ⟺ partones de espín ½ (con espín 0 saldría F₁ = 0, sin término magnético); medido, 2xF₁/F₂ ≈ 1. Versión medible: R = σL/σT → 0 para espín ½ y → ∞ para espín 0, y SLAC midió R ≈ 0,2 ya en los 70 | art. 02, callout y hoja, prob. 1 — tercer voto, junto a R (II.7) y a los chorros |
| La balanza de 5/18 | El W cuenta quarks a tarifa plana y el fotón los pesa por carga²: sobre blanco isoescalar, F₂e/F₂ν = (eu² + ed²)/2 = 5/18 = 0,28. Gargamelle lo midió en 1974 | art. 02, ej. 1 — las cargas 2/3 y −1/3 del II.2, pesadas dentro del protón |
| El presupuesto del protón | De ∫F₂epdx ≈ 0,18 y ∫F₂endx ≈ 0,12 salen fu = 0,36 y fd = 0,18: los quarks cargan el 54% del momento | art. 02, ej. 2 |
| El socio silencioso | El 46% restante lo lleva algo sin carga eléctrica pero con momento: los gluones, descubiertos por contabilidad en 1972, siete años antes de los tres chorros de PETRA | art. 02, ej. 2 — mismo truco con que Pauli inventó el neutrino (I.6), pero fallando el momento en vez de la energía |
| Reglas de suma | ∫(u − ū)dx = 2 y ∫(d − d̄)dx = 1: la resta cancela el mar y cuenta la valencia. Carga: (2/3)(2) + (−1/3)(1) = +1 ✓. El «uud» son literalmente estas dos integrales | art. 02, ej. 2 |
| Quién manda a x grande | Con solo valencia, F₂en/F₂ep = (4d + u)/(4u + d) vive entre 1/4 y 4; el experimento da → 1/4 cuando x → 1, luego d/u → 0: el que se lleva casi todo el momento es un u | art. 02, ej. 1 |
| Por qué el neutrino separa quark de antiquark | El fotón va con e² y no los distingue. El W elige sabor y quiralidad (vía W⁺ solo d → u y ū → d̄) y, contra antiquarks, V−A impone (1−y)² frente a plana contra quarks | art. 02, ej. 3 — el electrón hace la foto, el neutrino pone los nombres |
| Violaciones de escalado | Al subir Q² se resuelve más radiación: F₂ baja a x grande (la valencia reparte su momento) y sube a x pequeño (el enjambre engorda). Las cuantifican las ecuaciones DGLAP | art. 03 |
| Los ritmos medidos | ~−8% por década de Q² a x = 0,4 y ~+25% por década a x = 0,01; el pivote donde ganancias y pérdidas se cruzan está en x ≈ 0,15–0,2 — que es la regla de suma de momento en cámara logarítmica | art. 03, ej. 1 y ejercicio 1 |
| Tercera extracción de αs | Ajustando el patrón completo: αs(mZ) = 0,1156 ± 0,0021 — compatible con el 0,118 de los chorros (II.7) y de Rℓ en el Z (III.1) | art. 03, ej. 1 |
| Potencia o logaritmo | Regla de oficio para leer datos: una potencia de Q² delata un tamaño (el factor de forma cae así porque el protón mide 0,8 fm); un logaritmo delata puntos que radian, porque la radiación no tiene escala propia | art. 03, ej. 3 |
| HERA | El único colisionador electrón-protón de la historia (DESY, 1992–2007): 27,5 GeV contra 920 ⟹ √s = 318 GeV, Q² hasta ~40.000 GeV² y x hasta 10⁻⁵ | art. 03 |
| Lo que ahorra un colisionador | Igualar HERA con blanco fijo pediría E = s/2mp = 318²/1,876 ≈ 54 TeV de linac — casi tres mil veces el de SLAC | art. 03, ej. 2 |
| Deuda del III.1, pagada | Fabricar un W a √s = 546 GeV exige √(x₁x₂) = 80/546 = 0,15, justo la cresta de la valencia: Rubbia no eligió esa energía por capricho, puso el W sobre la joroba de x·u(x) | art. 03, callout |
| Las PDF son el plano del LHC | El Higgs nace en un 87% por fusión de gluones, con √(x₁x₂) = 125/13.600 ≈ 0,009: la zona que más engorda al mirarla. HERA la cartografió, el LHC la cosecha | art. 03, ej. 2 |
| Simetría quiral | Con mu = md = 0, QCD tendría SU(2)L×SU(2)R (6 generadores). El condensado ⟨q̄q⟩ ≠ 0 casa zurdas con diestras y la rompe al isospín (3): quedan 3 pseudo-Goldstones, pseudoescalares y en triplete — los piones | art. 04 — el censo del III.2, cobrado |
| GMOR (1968) | mπ² = (mu + md)·B, con B = |⟨q̄q⟩|/fπ² y fπ = 92 MeV: la masa al cuadrado del Goldstone es lineal en lo que rompe la simetría, luego mπ ∝ √mq | art. 04 |
| La báscula, evaluada | Con mπ⁰ = 135,0 MeV y mu + md = 6,8 MeV (MS̄ a 2 GeV): B = 135²/6,8 = 2.680 MeV y |⟨q̄q⟩| = B·fπ² ≈ (283 MeV)³ ≈ 3 pares por fm³ | art. 04, ej. 1 — 6,8 MeV de quark fabrican 135 de pión porque la raíz amplifica |
| Verificada con el kaón y la η | mK = √(95,6 × 2.680) = 506 MeV (medido 494, +2%); con 3mη² = 4mK² − mπ², mη = 565 (medido 548, +3%). Sistema sobredeterminado, test superado | art. 04, ej. 2 — con ms = 93,4 MeV |
| La raíz que explica el zoo ligero | Los quarks del kaón pesan 14 veces los del pión (95,6/6,8), pero mK/mπ = 3,7 — porque √14 = 3,7 | art. 04, ej. 2 |
| La nota del II.2, saldada | La GMO de mesones va en masas al cuadrado porque son Goldstones (m² ∝ mq: constitutivo); la de bariones va lineal porque su masa base es dinámica de QCD y las masas de quark son una perturbación aditiva | art. 04, ej. 1 |
| El noveno Goldstone que no está | La η′ pesa 958 MeV porque la U(1)A no es simetría de la QCD cuántica: la rompe la anomalía. Pariente profundo del «ocho y no nueve» de los gluones (II.7) | art. 04, ej. 2 |
| El retículo cierra la contabilidad | Colaboración BMW, 2008: espectro de hadrones ligeros al 1–4% desde primeros principios, con solo las masas de quark y αs de entrada. Del protón, solo ~40 MeV de 938 (un 4%) son masas de quark | art. 04 y ej. 3 |