Hasta ahora solo hemos dibujado los diagramas más simples. Pero la serie perturbativa exige los siguientes: diagramas donde una partícula virtual se emite y se reabsorbe, formando un lazo cerrado. Y ahí el método se encuentra con su crisis fundacional: esas integrales dan infinito. Este cierre de módulo cuenta la crisis, la solución — más honesta de lo que su fama sugiere — y las dos moralejas: una precisión sin igual en la ciencia, y un aviso de dónde el método entero deja de funcionar.
El siguiente orden
Un lazo aparece en cuanto un diagrama contiene un ciclo cerrado: por ejemplo, la C virtual del canal t emitiendo y reabsorbiendo un par B durante el viaje. La conservación en los vértices ya no fija el momento que circula por el ciclo — la regla 5 del artículo 02 obliga a integrar sobre todos sus valores, incluidos momentos arbitrariamente grandes. Y muchas de esas integrales crecen sin límite:
Entre 1930 y 1947 esto fue la vergüenza de la física teórica: la teoría cuántica del electromagnetismo daba resultados infinitos en la segunda cifra de cualquier cálculo. Feynman, Schwinger y Tomonaga compartieron el Nobel por la salida.
La factura del infinito
La salida se llama renormalización, y conviene contarla sin el aura de truco sucio que a veces arrastra. La observación clave: la masa y la carga «desnudas» que escribes en la teoría no son observables. Nadie ha medido jamás un electrón sin su nube de fluctuaciones cuánticas; lo que la balanza mide ya incluye todos los lazos. La renormalización reorganiza la contabilidad: expresa cada predicción en términos de cantidades medidas (la masa física, la carga física), y en esa relación entre observables los infinitos se cancelan idénticamente. Lo que se pierde: la teoría ya no predice la masa del electrón — la toma como entrada. Lo que se gana: todo lo demás, con precisión ilimitada. El precio es honesto y el recibo, público.
Problema. El momento magnético del electrón debería ser g = 2 exactamente (lo dirá Dirac en el módulo II.5). Los lazos lo corrigen: a = (g−2)/2. Schwinger calculó en 1948 el primer orden: a = α/2π. Evaluarlo y comparar con la medida, a = 0,001 159 652 …
Solución.
Resultado. Tres cifras correctas con un solo lazo — el cálculo que convenció al mundo de que los infinitos estaban domados. Hoy la serie está calculada hasta cinco lazos (decenas de miles de diagramas, por ordenador) y teoría y experimento coinciden en más de diez cifras significativas: la predicción más precisa de la historia de la ciencia. El primo del muón — el g−2 del anillo del Nivel I.8 — es esta misma cantidad, con la sensibilidad a partículas nuevas amplificada por la masa (y su famosa anomalía, disuelta en 2025 cuando el cálculo fuerte mejoró). Los lazos no son un mal menor: son física real, medible, y la miramos con lupa precisamente porque cualquier partícula desconocida del universo circula por ellos.
Cuándo la escalera aguanta
Todo el edificio descansa en que cada orden extra sea menor que el anterior: correcciones ~(α/π)ⁿ. La aritmética de esa escalera — cuántos peldaños necesitas, cuándo se hunde — es el destino de cada teoría:
Cada orden extra de diagramas (un lazo más, dos vértices más) aporta una corrección ~(α/π)ⁿ. Mueve el acoplamiento y mira cómo baja la escalera: si cada peldaño encoge deprisa, con pocos diagramas basta; si no, la expansión entera se hunde.
Relojería: cada peldaño encoge más de dos órdenes de magnitud. Así funciona QED — con ~4 órdenes de diagramas se predice el momento magnético del electrón con más de diez cifras, la predicción más precisa de la ciencia.
QED, con α = 1/137, es el paraíso perturbativo. La fuerza débil, parecido. La QCD es la tragedia anunciada: su acoplamiento corre — crece al bajar la energía (Nivel I.3) — y en torno a 1 GeV la escalera colapsa. No es que los diagramas estén mal: es que ninguna suma finita de ellos aproxima el confinamiento. Por eso la masa del protón no se calcula con diagramas sino con retículo (fuerza bruta computacional), y por eso el módulo II.7 tendrá un sabor distinto: la QCD perturbativa arriba, y abajo el territorio donde mandan otros métodos.
Ejercicios
El término de dos lazos del momento magnético es ~(α/π)² con coeficiente de orden uno. Estima su tamaño y cuántas cifras decimales «compra» respecto al término de Schwinger.
Solución
(α/π)² = (0,00232)² ≈ 5,4×10⁻⁶: unas 2,6 cifras más de precisión (el coeficiente exacto resulta ser −0,328…). Cada orden compra lo mismo — esa regularidad geométrica es la que viste en el interactivo, y la razón de que «5 lazos» equivalga a «~12 cifras». También explica el coste: el número de diagramas crece factorialmente, así que cada cifra extra es exponencialmente más cara. La precisión de QED no es gratis: es minería.
La teoría de Fermi tiene acoplamiento dimensionful: G_F (energía⁻²). Sus correcciones crecen como G_F·E²: estima a qué energía se vuelven de orden uno — el punto donde la teoría anuncia su propia muerte — y compárala con lo que había allí.
Solución
A ~300 GeV la teoría de Fermi viola la unitariedad (probabilidades > 1): imposible que fuera la historia completa hasta ahí. Y en efecto: antes de llegar, a 80 y 91 GeV, esperaban el W y el Z — y a 246 GeV, el vacío de Higgs. Un acoplamiento con dimensiones es una profecía de nueva física con fecha aproximada. (El lector malicioso preguntará: ¿y la gravedad, con su G de Newton dimensionful? Esa profecía apunta a 10¹⁹ GeV — la escala de Planck del Nivel I.8.)
¿Por qué la renormalización no puede «predecir la masa del electrón», y qué clase de preguntas sí puede responder con precisión arbitraria? Formúlalo en una frase que le explicarías a un escéptico.
Solución
Porque la masa medida es la suma de una masa desnuda inobservable y de correcciones divergentes: la teoría solo controla la suma, así que la toma del experimento — una vez — y a cambio responde todo lo demás: cómo esa masa se manifiesta en cualquier otro proceso, a cualquier precisión. La frase para el escéptico: «la teoría no te dice cuánto pesa el electrón, pero con su peso medido te predice su magnetismo con doce cifras — dime qué otra construcción humana relaciona dos números tan lejanos tan bien». La renormalización no esconde infinitos: renuncia a preguntas mal planteadas para contestar perfectamente las bien planteadas.
Módulo cerrado: dibujos que calculan, reglas que cobran, propagadores con dos vidas, e infinitos con factura. Todo entrenado en un universo de juguete sin espín — y ese es exactamente el límite que toca romper. Las partículas reales de la materia tienen espín ½, antipartícula y una ecuación propia que es, probablemente, la más bella de la física. El módulo II.5 es de Dirac.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Qué es un diagrama | Una integral disfrazada: cada pata externa, vértice y línea interna aporta un factor, y el producto es la contribución a M. Es topología, no cronología | art. 01 — un solo diagrama incluye todas las ordenaciones temporales |
| La cadena completa | teoría → reglas de Feynman → M → regla de oro → Γ y σ → lo que mide el detector | art. 01 — el eslabón de fe que quedaba desde II.3 |
| Externas contra internas | Las externas cumplen E² = p² + m²; las internas están fuera de la capa de masas (q² ≠ m²), no son observables, y el propagador mide cuánto se alejan de la legalidad | art. 01 |
| El universo ABC | Tres escalares A, B, C sin espín ni carga y un solo vértice donde se encuentran los tres, con acoplamiento g | art. 01 — ninguna partícula real es así; toda la estructura del cálculo real está ahí |
| Las cinco reglas | (1) etiqueta momentos · (2) −ig por vértice · (3) i/(qj² − mj²) por línea interna · (4) conservación del cuadrimomento en cada vértice · (5) integra los internos; lo que queda es −iM | art. 02 — la física está en dos entradas: el vértice cobra g, el propagador cobra la virtualidad |
| Leyes de conservación que emergen solas | A → B + B es imposible a todo orden: contar patas exige V impar (por A) y V par (por B) a la vez | art. 01, ej. 1 — el número leptónico y el bariónico de I.4, en miniatura y sin ponerlos a mano |
| El primer cálculo íntegro del curso | Con mA = 500, mB = 300, mC = 100 MeV y g = 10 MeV: M = g, p* = 137,5 MeV, Γ = |M|²p*/(8πmA²) = 2,2×10⁻³ MeV ⇒ τ = 3,0×10⁻¹⁹ s | art. 02, ej. resuelto 1 — II.1 (cinemática), II.3 (regla de oro) y II.4 engranando por primera vez |
| El mismo circuito, otras masas | mA = 1.000, mB = mC = 400 MeV, g = 50 MeV ⇒ p* = 300 MeV, Γ = 0,030 MeV, τ = 2,2×10⁻²⁰ s | art. 02, ej. 1 |
| Qué significa «g pequeño» | En ABC, g tiene dimensiones de energía: el parámetro real de la expansión es g²/m². En el ejemplo, (10/500)² = 4×10⁻⁴ | art. 02 — la diferencia con los acoplamientos adimensionales decide el art. 04 |
| El espacio fásico tiene derecho de veto | Cuando mA → mB + mC, p* → 0 y τ → ∞: inmortalidad por estrangulamiento cinemático, no por acoplamiento débil | art. 02, ej. 2 — es el D*⁺ de II.3 (margen de 5,9 MeV, anchura de 83 keV) |
| Estabilidad = callejón sin salida | B y C son eternos no por falta de interacción (sienten la misma g), sino por aritmética de masas | art. 02, ej. 3 — el electrón (el cargado más ligero) y el protón (el barión más ligero) de I.2 |
| Dos diagramas, una amplitud | A + A → B + B: M = g²[1/(t − mC²) + 1/(u − mC²)], con t = (p₁−p₃)² y u = (p₁−p₄)². Se suman amplitudes, y el término cruzado es interferencia sin análogo clásico | art. 03 — paga las variables de Mandelstam prometidas en II.1 |
| Canal s: el propagador que explota | Aquí q² = s es positivo y barrible. Con C inestable, mC² → mC² − i mCΓC y sale |M|² ∝ 1/[(s − mC²)² + mC²ΓC²] | art. 03 — la Breit-Wigner de II.3 no era empírica: una resonancia es un propagador rozando su polo |
| Canal t: el propagador que castiga | t < 0 siempre (momento transferido espacialoide): el polo es inalcanzable y la amplitud cae con Q² = −t y con la masa del mediador | art. 03 |
| GF era un propagador aplastado | A Q² ≪ mW², 1/(q² − mW²) ≈ −1/mW². Con GF/√2 = g²/(8mW²), g = 0,65 y mW = 80,4 GeV sale 1,16×10⁻¹¹ MeV⁻² frente a 1,166×10⁻¹¹ medido | art. 03, ej. resuelto 1 — la derivación completa desde la simetría llega en III.1 |
| La débil no es débil: es corta | g = 0,65 es mayor que la carga eléctrica e = 0,303. Toda su fama de debilidad estaba en el mW² del denominador | art. 03 — I.3 lo contó como metáfora; esta línea lo demuestra |
| Yukawa, deducido | La transformada de Fourier de 1/(Q² + m²) es el potencial e−mr/r. Con m → 0 queda 1/r: Coulomb es el caso particular sin masa | art. 03 — la «regla del alcance» de I.3 era la sombra del propagador en el espacio de posiciones |
| Rutherford, releído | Con mediador sin masa, |M|² ∝ 1/t² y con t = −4p²sin²(θ/2): dσ/dΩ ∝ 1/[16p⁴sin⁴(θ/2)] | art. 03, ej. 2 — el sin⁻⁴(θ/2) del pan de oro de 1911 (I.1) es el cuadrado de un propagador en canal t |
| Hasta dónde vale el contacto | Error de sustituir el propagador por 1/mW² en la muerte del muón: mμ²/mW² = (105,7/80.379)² ≈ 2×10⁻⁶ | art. 03, ej. 3 — seis cifras buenas de una teoría escrita en 1934 sin saber que el W existía |
| Los lazos | El momento que circula por un ciclo cerrado no lo fija ningún vértice: hay que integrar sobre todos sus valores, incluidos los arbitrariamente grandes — y muchas de esas integrales divergen | art. 04 — la vergüenza de la física teórica entre 1930 y 1947 |
| Renormalizar, sin aura de truco | La masa y la carga «desnudas» no son observables: nadie ha medido un electrón sin su nube. Se expresa cada predicción en función de lo medido, y en esa relación los infinitos se cancelan | art. 04 — la trastienda moderna (toda teoría es efectiva) está en el anexo A.3 |
| La predicción más precisa de la ciencia | a = (g−2)/2. Schwinger (1948): a = α/2π = (1/137,036)/2π = 0,0011614, frente a 0,001 159 652… medido. Tres cifras con un solo lazo; hoy más de diez con cinco lazos | art. 04, ej. resuelto 1 — el g = 2 de partida es de Dirac (II.5); el primo del muón es el g−2 de I.8 |
| Lo que compra cada orden | α/π = 0,0023 ≈ 10⁻²·⁶: dos cifras y media por peldaño ⇒ ~4 órdenes para 10 cifras. Dos lazos: (α/π)² ≈ 5,4×10⁻⁶ | art. 01 ej. 3 y art. 04 ej. 1 — el número de diagramas crece factorialmente: cada cifra es exponencialmente más cara |
| Cuándo se hunde la escalera | QED con α = 1/137 es el paraíso perturbativo; la QCD a ~1 GeV, con αs ~ 1, no la aproxima ninguna suma finita de diagramas | art. 04 — de ahí que la masa del protón se calcule con retículo y no con dibujos (II.7) |
| El acoplamiento con dimensiones profetiza | Las correcciones de Fermi crecen como GF·E² y llegan a orden uno en E ~ 1/√GF = 1/√(1,166×10⁻⁵ GeV⁻²) ≈ 293 GeV | art. 04, ej. 2 — antes de llegar estaban el W (80), el Z (91) y el vacío de Higgs (246 GeV); el mismo cartel lo cuelga GN en 10¹⁹ GeV |
| La frase para el escéptico | La teoría no te dice cuánto pesa el electrón — lo toma del experimento una vez —, pero con ese peso te predice su magnetismo a doce cifras | art. 04, ej. 3 — renormalizar es renunciar a preguntas mal planteadas para contestar perfectamente las bien planteadas |
| Alcance del mensajero | r ~ ħc/mC: con mC = 100 MeV, 197,3/100 ≈ 2 fm | hoja 05, problema 2 — la cuenta exacta con la que Yukawa predijo el pión en 1935 (I.3) |
| Regla de suma de Mandelstam | s + t + u = m₁² + m₂² + m₃² + m₄²: de las tres variables solo dos son independientes | hoja 05, problema 3 — esa redundancia es un detector de erratas en cualquier cálculo, incluidos los del taller de trazas |
| Superrenormalizable, renormalizable, efectiva | ABC con [g] = masa se apaga solo a alta energía (g²/E² → 0); QED con α adimensional vive en el filo; Fermi con [GF] = masa⁻² explota a ~300 GeV | hoja 05, problemas 5 y 6 — la caja del ABC pesa g²/(16π²m²) ~ 10⁻⁴: converge aún mejor que QED |