Cuando un proceso necesita dos vértices, entre ellos viaja una partícula virtual — y su propagador, i/(q² − m²), se convierte en el protagonista de la amplitud. Este artículo lo persigue por sus dos hábitats: cuando q² puede alcanzar m² (y entonces explota: así nacen las resonancias) y cuando no puede jamás (y entonces decide el alcance de la fuerza). Al final del artículo, dos misterios del Nivel I — la regla de Yukawa y la debilidad de la fuerza débil — habrán quedado reducidos a un denominador.
Dos diagramas, una amplitud
El proceso estrella del juguete: A + A → B + B. Ningún vértice convierte A en B directamente; hace falta que las dos A intercambien una C virtual. Y hay dos maneras topológicamente distintas de cablearlo: la C conecta cada A entrante con la B de su lado — o con la del lado contrario. Las reglas del artículo anterior dan, para la suma:
donde t = (p₁−p₃)² y u = (p₁−p₄)² son — deuda del módulo II.1, pagada — las variables de Mandelstam: el cuadrimomento al cuadrado que lleva la C en cada cableado. Detalle de importancia máxima: se suman las amplitudes, no las probabilidades. Al elevar |M|² aparecerá un término cruzado — la interferencia entre los dos diagramas — sin análogo clásico. La cuántica no suma sucesos: suma flechas.
Canal s: el propagador que explota
En procesos tipo A + B → A + B existe además el cableado donde las dos partículas entrantes se funden en una sola C virtual que luego se rompe: el canal s, con propagador 1/(s − m_C²). Y aquí q² = s es positivo y barrible: subiendo la energía del haz puedes acercar s a m_C² cuanto quieras. El propagador crece sin freno… hasta que la naturaleza pone el freno que ya conoces: si C es inestable, su masa lleva la anchura incorporada (m_C² → m_C² − i m_C Γ_C), y el cuadrado de la amplitud se convierte en
— exactamente el perfil de Breit-Wigner del módulo II.3. No era una fórmula empírica: una resonancia es un propagador rozando su polo, y la Γ que le impide explotar es la misma con la que el mediador muere. El pico del Z, el bulto del Δ, la revolución del J/ψ: denominadores.
El mismo factor, dos destinos. En canal s, q² barre valores positivos y puede alcanzar el polo q² = m²: nace una resonancia. En canal t, q² es negativo y el polo es inalcanzable: el propagador solo dicta el alcance de la fuerza.
El pico está exactamente en √s = m y su anchura a media altura es Γ: esta curva es la Breit-Wigner del módulo II.3. Una resonancia no es más que un propagador rozando su polo — y la anchura que evita el infinito es la misma Γ con la que el mediador muere. Todo cuadra porque todo es lo mismo.
Canal t: el propagador que decide alcances
En el canal t la historia se invierte: el cuadrimomento transferido es espacialoide (q² = t < 0 siempre), el polo es inalcanzable y el propagador se limita a castigar: cuanto mayor el momento transferido Q² = −t, o cuanto más pesado el mediador, menor la amplitud. De ahí salen, ya sin misterio, dos resultados fundacionales del Nivel I:
Problema. A energías bajas (Q² ≪ m_W²), el propagador del W es 1/(q² − m_W²) ≈ −1/m_W²: una constante. La interacción parece un contacto puntual de intensidad G_F ∝ g²/m_W². La relación exacta es G_F/√2 = g²/(8m_W²). Evaluarla con g = 0,65 (el acoplamiento débil medido) y m_W = 80,4 GeV.
Solución.
Resultado. El valor medido es 1,166×10⁻¹¹ MeV⁻²: coincide al 1%. Léelo despacio, porque es uno de los grandes momentos del curso: g = 0,65 no es pequeño — es mayor que la carga eléctrica (e = 0,30). La fuerza débil no es débil: es corta. Toda su fama de debilidad era el m_W² del denominador — un propagador aplastado por 80 GeV de masa. El Nivel I.3 lo contó como metáfora; esta línea lo demuestra.
Y el segundo resultado: la transformada de Fourier de 1/(Q² + m²) es el potencial e−mr/r — el potencial de Yukawa. La «regla del alcance» r ~ 1/m con la que el Nivel I.3 estimaba masas de mediadores no era una analogía afortunada: era la sombra del propagador en el espacio de posiciones. En el límite m → 0 (el fotón), el potencial se vuelve 1/r y el alcance infinito: Coulomb es el caso particular sin masa.
Ejercicios
Para A + B → A + B en el modelo ABC, dibuja (o describe) los dos diagramas de orden g² y di qué canales son. ¿Por qué no existe el canal t aquí?
Solución
Canal s: A y B se funden en una C virtual que vuelve a romperse en A + B (vértices ABC ✓ dos veces). Canal u: la A entrante emite una C virtual y se convierte en la B saliente; la C es absorbida por la B entrante, que se convierte en la A saliente. El canal t exigiría que la A siguiera siendo A tras emitir (vértice AAC) — y ese vértice no existe en el modelo. Qué canales contribuyen es una propiedad de la teoría, no del proceso: el diccionario de vértices decide qué cableados son legales.
Para dispersión elástica con mediador sin masa, |M|² ∝ 1/t². Con t = −4p²sin²(θ/2) (módulo II.1), deduce la dependencia angular de dσ/dΩ y di dónde la has visto antes.
Solución
Es la fórmula de Rutherford — la del pan de oro de 1911 con la que empezó el Nivel I.1. El famoso sin⁻⁴(θ/2), que Rutherford derivó con órbitas clásicas, es en lenguaje moderno el cuadrado de un propagador sin masa en canal t: casi todos los proyectiles pasan de largo (t ≈ 0: propagador enorme, dispersión hacia delante) y muy de vez en cuando uno rebota (t grande: propagador diminuto). La primera observación de la física de partículas, explicada por su última maquinaria.
La aproximación de contacto de Fermi sustituye 1/(Q² + m_W²) por 1/m_W². (a) Estima el error relativo de esa aproximación en la desintegración del muón (Q² ≤ m_μ²). (b) ¿A qué energías deja de valer la teoría de Fermi, y qué pasó históricamente al llegar a ellas?
Solución
(a) Error ~ m_μ²/m_W² = (105,7/80.379)² ≈ 2×10⁻⁶: por eso la teoría de Fermi, escrita en 1934 sin saber que el W existía, describe la desintegración del muón con seis cifras. (b) Cuando Q² ~ m_W², es decir, a transferencias de decenas de GeV: ahí el propagador completo se hace visible. Los experimentos de neutrinos de los 70 empezaron a notar la desviación, y en 1983 el CERN produjo el W real — el polo del propagador, por fin en canal s. Una teoría efectiva no es una teoría equivocada: es una teoría que declara honestamente hasta dónde llega.
El diccionario está completo y sus dos entradas con física — vértice y propagador — entendidas. Queda el capítulo incómodo: ¿qué pasa con los diagramas de orden superior, esos lazos cerrados donde el momento interno no está fijado por nada? Respuesta corta: infinitos. Respuesta larga — y la historia de cómo la física aprendió a facturarlos — en el cierre del módulo.