El universo ABC es pequeño pero da para una hoja entera. Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas. La única regla del juego sigue siendo la del módulo: cada vértice une exactamente una línea A, una B y una C, y cuesta un factor g.
La hoja
Clasifica: ¿cuáles de estos procesos ocurren a orden g² (dos vértices) y cuáles necesitan g⁴ o más? (a) B + B → C + C; (b) A + B → A + B; (c) B + C → B + C; (d) B + B → B + B. Para los de orden g², di qué partícula viaja por el propagador y en qué canal (s, t o u).
Pista
Dibuja dos vértices y cuenta patas externas. En (a) el mediador es A, y hay dos diagramas — canales t y u, porque las dos C finales son idénticas. En (d), prueba a conectar cuatro B con dos vértices ABC y mira qué te sobra: necesitarás un lazo o más vértices.
La fuerza entre dos B mediada por C tiene alcance ~ħ/(m_C·c). Con m_C = 100 MeV, evalúalo: debe darte ~2 fm. ¿Qué partícula real del curso jugó exactamente este papel — masa parecida, alcance parecido — y en qué año se predijo con este mismo razonamiento?
Pista
ħc = 197,3 MeV·fm hace el trabajo. La historia está en el I.3: un mensajero de ~100 MeV para una fuerza de ~2 fm fue la predicción de Yukawa (1935), y el ABC con m_C ~ m_π es su maqueta fiel.
Para cualquier proceso 2 → 2 con momentos p₁p₂ → p₃p₄, demuestra la regla de suma s + t + u = m₁² + m₂² + m₃² + m₄², con s = (p₁+p₂)², t = (p₁−p₃)², u = (p₁−p₄)². Verifícala en A + B → A + B elástico en el CM y explica su uso práctico: ¿cuántas de las tres variables son independientes en un 2 → 2?
Pista
Expande los tres cuadrados, suma, y usa conservación p₁+p₂ = p₃+p₄ junto con pᵢ² = mᵢ². Solo dos variables son independientes (por ejemplo s y el ángulo): la tercera viene gratis — y esa redundancia es un detector de erratas en cualquier cálculo, incluidos los del taller de trazas.
Considera B + C → B + C pasando por A en el canal s. (a) Escribe el propagador y localiza a qué √s la amplitud se dispara. (b) Con la anchura Γ_A del ejemplo del artículo 03, estima el cociente |M(√s = m_A)|²/|M(√s = 2m_A)|² usando el denominador de Breit-Wigner (m² − s)² + m²Γ². (c) ¿Qué proceso del curso real es este dibujo con otros nombres?
Pista
En el pico el denominador vale m²Γ² — minúsculo si Γ ≪ m; lejos, (m²−s)² manda. El cociente es enorme: eso es una resonancia, la Δ del II.2 o el Z del II.3, fabricada aquí con piezas de juguete. El módulo II.3 la miró desde fuera (σ contra √s); ahora sabes qué la produce por dentro.
En el ABC la amplitud de un 2 → 2 a orden g² es ~g²/(algo con unidades de masa²). (a) Deduce de ahí que g tiene unidades de masa (energía). (b) Concluye cómo escala el efecto de la interacción a energías E ≫ masas: ¿crece o se apaga? (c) Contrasta con la teoría de Fermi del artículo 04, donde G_F ~ 1/masa² hacía crecer las correcciones como G_F·E². ¿Cuál de las dos teorías se rompe a alta energía y cuál se vuelve trivial?
Pista
La amplitud 2 → 2 es adimensional (convención del módulo): si el propagador aporta 1/E², g² debe aportar masa². Entonces g²/E² → 0 al subir E: el ABC se apaga solo. Fermi era el espejo: acoplamiento 1/masa² y explosión a ~300 GeV. La QED, con α adimensional, vive justo en el filo entre ambas — y ese filo es el tema del anexo A.3.
Para A + B → A + B existe, a orden g⁴, el diagrama «caja»: cuatro vértices, cuatro propagadores internos formando un rectángulo. (a) Dibújalo (o descríbelo sin ambigüedad: qué partícula corre por cada lado). (b) ¿Por qué exige integrar sobre un momento interno k que nadie fija? (c) Estima su tamaño relativo frente al diagrama árbol: ~g²/(16π²·masa²), y evalúa ese cociente con los números del módulo (g = 50 MeV, masas ~centenares de MeV). ¿Converge la escalera del ABC mejor o peor que la de QED (α/π ≈ 0,2%)?
Pista
(b) La conservación en cada vértice deja un momento circulante libre: es la definición de lazo del artículo 04. (c) Con g²/(16π²m²) ~ 50²/(158·300²) ~ 10⁻⁴, el ABC converge aún más rápido que QED — las teorías con acoplamiento de unidades de masa positiva («superrenormalizables») son las más mansas del zoológico de teorías. La QCD del II.7 será el caso opuesto y más interesante.
Fin de la hoja. El universo ABC ya no es un juguete: es un laboratorio de ideas — canales, resonancias, lazos, análisis dimensional — que el resto del curso usa con partículas de verdad. La versión con espinores y vértices reales te espera en el taller de trazas.