Las reglas del juego — Particulario

Este artículo hace algo que ningún otro del curso ha hecho todavía: calcular un observable desde cero. Sin ajustar a datos, sin extraer nada de una tabla — solo la teoría (el vértice ABC con su constante g), las reglas de Feynman y la regla de oro del módulo II.3. El resultado será la vida media de la partícula A de nuestro universo de juguete, en segundos.

Las reglas, en limpio

Para el modelo ABC, la receta completa que convierte un diagrama en su amplitud cabe en cinco líneas. Son las reglas de Feynman del juguete:

1. Etiqueta los cuadrimomentos: externos p₁…pₙ, internos q₁…qⱼ, con flechas. 2. Por cada vértice, escribe −ig. 3. Por cada línea interna de masa mⱼ, escribe el propagador i/(qⱼ² − mⱼ²). 4. En cada vértice, impón conservación del cuadrimomento (una delta de Dirac). 5. Integra sobre los momentos internos, descarta la delta global de conservación — y lo que queda es −iM.

Los factores i y los signos son contabilidad para que las piezas encajen entre órdenes; la física está en dos de las entradas: el vértice cobra g (la intensidad de la interacción) y el propagador cobra el precio de la virtualidad (protagonista absoluto del próximo artículo). Míralo funcionar pieza a pieza:

Montar una amplitud, regla a regla

Las reglas de Feynman del modelo ABC, aplicadas pieza a pieza: cada elemento del dibujo es un factor, y el producto es la amplitud M. Recorre los pasos.

Paso 1 · El diagrama

Una A entra y muere en el único vértice del modelo, dejando una B y una C. Un solo vértice: orden g.

M = ¿?

El primer cálculo completo del curso

Ejemplo resuelto 1 · La vida media de A, en segundos

Problema. En un universo ABC con m_A = 500, m_B = 300, m_C = 100 MeV y g = 10 MeV, calcular la vida media de A.

Paso 1 — la amplitud. El único diagrama tiene un vértice y ninguna línea interna: −iM = −ig, es decir, M = g. La amplitud más simple posible: una constante.

Paso 2 — la cinemática (módulo II.1). El momento de Källén de las hijas:

p^* = \frac{\sqrt{[500^2 - 400^2][500^2 - 200^2]}}{2\times 500} = \frac{\sqrt{90.000 \times 210.000}}{1.000} = 137{,}5\ \text{MeV}.

Paso 3 — la regla de oro (módulo II.3).

\Gamma = \frac{|\mathcal{M}|^2\,p^*}{8\pi\,m_A^2} = \frac{10^2 \times 137{,}5}{8\pi \times 500^2} = 2{,}2\times 10^{-3}\ \text{MeV} \;\Longrightarrow\; \tau = \frac{6{,}58\times 10^{-22}}{2{,}2\times 10^{-3}} = 3{,}0\times 10^{-19}\ \text{s}.

Resultado. La partícula A vive 0,3 attosegundos. Detente un momento en lo que acaba de pasar: tres módulos de este nivel — cinemática, regla de oro, reglas de Feynman — engranando por primera vez para producir un número físico desde una teoría. Es exactamente el circuito con el que el Modelo Estándar predice cada anchura que LEP o el LHC miden; solo que allí la M no es una constante, sino el contenido de los módulos II.5 y II.6.

Qué significa que g sea «pequeño»

Una sutileza honesta antes de seguir. En el modelo ABC, g tiene dimensiones de energía (compruébalo en la fórmula: para que Γ salga en MeV, g debe ir en MeV). Entonces «g pequeño» ¿comparado con qué? Con las energías del problema: el parámetro real de la expansión es del tipo g²/m², adimensional. En nuestro ejemplo, g²/m_A² = (10/500)² = 4×10⁻⁴ — una serie de relojería. Las teorías reales (QED, QCD, la débil) tienen acoplamientos adimensionales de nacimiento, y esa diferencia — que parece un tecnicismo — decidirá en el artículo 04 qué teorías predicen hasta el infinito y cuáles anuncian su propia fecha de caducidad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Rehaz el cálculo completo con otro universo: m_A = 1.000, m_B = m_C = 400 MeV, g = 50 MeV. (Källén se simplifica con hijas de masas iguales: p* = √(m_A²/4 − m_B²).)

Solución

p* = √(250.000 − 160.000) = 300 MeV. La anchura:

\Gamma = \frac{50^2 \times 300}{8\pi \times 10^6} = 0{,}030\ \text{MeV} \;\Longrightarrow\; \tau = 2{,}2\times 10^{-20}\ \text{s}.

Nota el juego de escalas: g² es 25 veces mayor que en el ejemplo y p* el doble, pero m_A² es 4 veces mayor — cada pieza de la fórmula tira en su dirección. Hacer estas cuentas hasta que salgan solas es exactamente el entrenamiento que Griffiths receta.

Ejercicio 2

¿Qué le pasa a la vida de A si m_A se acerca a m_B + m_C desde arriba? ¿Y qué partícula real del curso vive exactamente esa situación?

Solución

p* → 0, luego Γ → 0 y τ → ∞: una partícula inestable pero casi inmortal, no porque su acoplamiento sea débil, sino porque su canal está estrangulado. Es exactamente el D*⁺ del módulo II.3 (margen de 5,9 MeV, anchura de 83 keV) — y ahora tienes la fórmula que lo dice: en el límite del umbral, la intensidad de la fuerza (g) se vuelve irrelevante frente al factor cinemático p*. El espacio fásico tiene derecho de veto.

Ejercicio 3

Haz el censo de estabilidad del universo ABC con las masas del ejemplo (500, 300, 100): ¿qué partículas son absolutamente estables y por qué? ¿Cuál es el análogo en nuestro universo?

Solución

A → B + C es el único proceso permitido por masas (500 > 400): A es inestable. B necesitaría B → A + C (300 < 600: prohibido) y C, C → A + B (100 < 800: prohibido); además el ejercicio del artículo 01 elimina los canales «raros» a todo orden. B y C son estables para siempre: no por falta de interacción (sienten la misma g), sino por pura aritmética de masas. Es la estabilidad del electrón (el cargado más ligero) y del protón (el barión más ligero) en nuestro universo: no hay adónde caer. La estabilidad no es una virtud — es un callejón sin salida.

Sabemos cobrar vértices. La pieza con más física del diccionario es la otra: el propagador, ese factor i/(q² − m²) que en un canal fabrica resonancias y en el otro decide el alcance de las fuerzas. El próximo artículo le saca las dos caras — y de paso paga la deuda de Mandelstam.