El módulo II.4 dejó una fórmula cargada de futuro: G_F/√2 = g²/8m_W² — la constante de Fermi no es fundamental, es un acoplamiento dividido por una masa al cuadrado. En 1973 los tres ingredientes de la derecha quedaron medidos por separado: g = e/sinθ_W, con e de toda la QED y el ángulo de las corrientes neutras de Gargamelle. Despejar m_W era aritmética de servilleta. Este artículo hace esa cuenta, acompaña al CERN a comprobarla, y termina con el truco más fino de la física de precisión: usar los decimales para ver partículas que aún no existen — y con la grieta que todo este triunfo deja abierta.
La servilleta de 1973
Despeja m_W de la fórmula de Fermi usando g = e/sinθ_W y e² = 4πα:
Problema. Con α = 1/137, G_F = 1,166×10⁻⁵ GeV⁻² (vida del muón, módulo II.3) y sin²θ_W = 0,231, predice m_W y m_Z.
Resultado. Medido: 80,37 y 91,19 GeV — la servilleta acierta al 3–4%. ¿Y ese 3%? No busques mejor ángulo: es que α no vale 1/137 a 90 GeV. Con la α que corre del módulo II.6, α(m_Z) = 1/129, el numerador sube a 38,44 GeV y salen m_W = 80,0 y m_Z = 91,2 GeV: el Z clavado, el W a un 0,5%. Dos módulos del Nivel II (la carrera de α y el contacto de Fermi) cerrando juntos una predicción del III — y el 0,5% restante del W no es ruido: es la señal de los lazos débiles, protagonista del final del artículo.
G_F (de la vida del muón, módulo II.3), α (de toda la QED) y sin²θ_W (de las corrientes neutras): con esos tres números, m_W = 37,28/sinθ_W y m_Z = m_W/cosθ_W. Así se anunciaron las masas antes de 1983. Ajusta el ángulo — y cuando te quedes a un 3%, prueba a dejar que α corra.
Dos masas, un ángulo: la razón m_W/m_Z = cosθ_W no depende de α ni de G_F — es la predicción más limpia de la teoría (el «parámetro ρ = 1»). Busca el ángulo que ponga las dos barras sobre sus marcas.
La máquina construida para dos partículas
En 1976, con las masas anunciadas en ~80 y ~90 GeV, nadie tenía energía ni de lejos: el mayor colisionador e⁺e⁻ llegaba a 8 GeV. Carlo Rubbia propuso una herejía práctica: convertir el sincrotrón SPS del CERN — una máquina de blanco fijo — en un colisionador protón-antiprotón de √s = 546 GeV. Los quarks y antiquarks de dentro llevarían ~1/6 de la energía (el reparto partónico que el módulo III.3 hará cuantitativo): justo lo bastante para fabricar un W. El obstáculo era fabricar y domar antiprotones: se producen a millares dispersos, y hay que juntarlos en un haz fino. La solución fue el enfriamiento estocástico de Simon van der Meer: medir electrónicamente la desviación media del haz y corregirla en la vuelta siguiente, millones de veces, hasta comprimir la nube de antiprotones en un pincel. Ingeniería estadística al servicio de una servilleta teórica.
Problema. En su primera campaña (1982), UA1 integró L ≈ 18 nb⁻¹. Con σ·BR(pp̄ → W → eν) ≈ 0,5 nb a √s = 546 GeV y una eficiencia de selección ~65%, ¿cuántos W → eν esperaban?
Resultado. UA1 anunció exactamente seis sucesos W → eν en enero de 1983 (UA2 añadió cuatro), con m_W ≈ 81 ± 5 GeV: donde la servilleta decía. En mayo cayó el Z → e⁺e⁻ (media docena de sucesos, m_Z ≈ 95 ± 3 GeV). El Nobel llegó en 1984 — dieciocho meses después del descubrimiento, de los más rápidos de la historia — para Rubbia y van der Meer: la propuesta y la técnica. La aritmética es la del módulo II.3 (sucesos = L·σ), con luminosidades minúsculas: el LHC integra 18 nb⁻¹ cada pocos segundos.
Cómo se pesa un W que no se ve entero. El W → eν no deja masa invariante: el neutrino escapa (módulo I.5). Se pesa por cinemática de borde: el electrón hereda como máximo p_T ≈ m_W/2 ≈ 40 GeV, y el espectro se apila contra ese borde (el «pico jacobiano») — una versión a 90 GeV del borde del espectro beta con el que Pauli descubrió el neutrino. La masa transversa refina el truco y sigue siendo, hoy, cómo se mide m_W.
Ver el top sin producirlo
Con LEP (17 millones de Z) y la teoría a nivel árbol clavada al 0,3%, los residuos se volvieron señal. Las predicciones electrodébiles reciben correcciones de lazos — las burbujas cuánticas del módulo II.4 — y esos lazos contienen todas las partículas que se acoplan al W y al Z, estén o no al alcance del acelerador. El parámetro rho ρ = m_W²/(m_Z²cos²θ_W), que a nivel árbol vale exactamente 1, recibe del doblete (t, b) una corrección que crece con el cuadrado de la masa del top — el castigo por romper la simetría del doblete más que nadie:
Problema. Evalúa Δρ para m_t = 172,6 GeV. ¿Era medible para LEP, con precisión del ~0,1%?
Resultado. Un +0,9% — nueve desviaciones de LEP: el top era inocultable en los decimales. Invirtiendo el argumento, el ajuste electrodébil de 1994 predijo m_t = 178 ± 20 GeV sin haber producido un solo top; en 1995 el Tevatrón lo encontró en 176 ± 13. Es el ρ = 1,01 que calculaste en el artículo 02, explicado. El mismo juego, repetido con el Higgs (cuya huella en los lazos es logarítmica, más tenue), acotó m_H < ~160 GeV años antes de 2012: encontrado en 125. La física de precisión ve el futuro — y el W sigue en ello: la anomalía de CDF de 2022 (80.434 MeV) que el Nivel I.8 daba por contradicha sigue huérfana de explicación: CMS midió en 2024 80.360 ± 10 MeV — con ATLAS y LHCb del lado del Modelo Estándar intacto.
La grieta en el trofeo
Hagamos balance del módulo. Una simetría local SU(2)_L × U(1)_Y dedujo los mensajeros y sus acoplamientos (artículo 01); un ángulo mezcló los neutros y predijo el Z entero (artículos 02–03); tres números anunciaron las masas y la precisión vio al top en los decimales (este artículo). Y sin embargo, el edificio entero descansa sobre una contradicción que el Ejercicio 3 del artículo 01 dejó armada: la misma simetría que dicta los acoplamientos prohíbe las masas. Un término m²W_μW^μ rompe la invariancia gauge exactamente igual que rompería la del fotón — y m_W son ochenta mil millones de eV. Peor aún: las masas de los fermiones también están prohibidas, porque un término de masa casa la mitad zurda con la diestra (módulo II.5), y ambas viven en representaciones distintas de SU(2)_L. La teoría más precisa de la historia es, literalmente, una teoría de partículas sin masa describiendo un mundo que pesa.
Módulo III.1 completo — y una deuda enorme. La salida tiene nombre desde el Nivel I.7: un campo que llena el vacío y del que las masas son fricción aparente, no propiedad intrínseca. Pero ahora tienes el lenguaje para exigir la versión adulta: cómo un doblete escalar rompe SU(2)_L × U(1)_Y dejando exactamente un fotón sin masa, por qué ρ = 1 sale gratis, de dónde vienen los 246 GeV, y qué significa «el vacío elige». Ruptura espontánea de simetría y mecanismo de Higgs: módulo III.2.
Ejercicios
La razón m_W/m_Z = cosθ_W no depende de α ni de G_F. Calcúlala con las masas medidas (80,37 y 91,19 GeV) y extrae el sin²θ_W «de masas». Compáralo con el 0,2315 de las asimetrías de LEP. ¿Deberían coincidir?
Solución
cosθ_W = 80,37/91,19 = 0,8814 → sin²θ_W = 1 − 0,777 = 0,223. No coincide con 0,2315 — y no debe: a nivel árbol serían idénticos, pero los lazos corrigen cada observable de forma distinta, así que «el ángulo de masas» y «el ángulo de acoplamientos» difieren un ~4%. Esa diferencia no es un defecto: es la señal — dentro vive el Δρ del top que acabas de calcular. En física de precisión, la pregunta «¿cuánto vale sin²θ_W?» exige siempre la contrapregunta «¿medido en qué observable?» — como α exigía «¿a qué escala?» (módulo II.6).
El Tevatrón (√s = 1,96 TeV) producía W con σ·BR(W → eν) ≈ 2,7 nb. ¿Qué luminosidad integrada necesitaba para el millón de W → eν con el que se miden masas de precisión? ¿Y cuántos «1982 de UA1» (18 nb⁻¹) son eso?
Solución
L = N/(σ·BR) = 10⁶/2,7 nb⁻¹ = 3,7×10⁵ nb⁻¹ ≈ 0,4 fb⁻¹ — que el Tevatrón integró hacia 2004. Son ~20.000 campañas de 1982: el factor que separa «descubrir» (6 sucesos) de «pesar al 0,01%» (millones). La escalera de unidades del módulo II.3 (nb⁻¹ → fb⁻¹) es la biografía completa de la física del W: cuarenta años subiendo tres órdenes de magnitud en paciencia.
Cierre de módulo. La anchura del W se calcula igual que la del Z pero con un solo acoplamiento (g²/8 por canal, sin mezcla de ángulo): Γ(W → eν) = G_F·m_W³/(6√2π) ≈ 227 MeV. Usa el conteo de canales del artículo 01 para predecir Γ_W total, y compárala con la medida (2.085 ± 42 MeV).
Solución
Nueve canales efectivos con la propina QCD en los seis de quarks: Γ_W = 227 × (3 + 6×1,038) = 227 × 9,23 = 2.095 MeV — dentro del error experimental. Fíjate en la simetría del cierre: el módulo empezó contando canales para repartir un W (Ejemplo 2 del artículo 01) y termina usando la misma cuenta para pesar su anchura absoluta. Vida media: τ_W = ħ/Γ = 3×10⁻²⁵ s — el mensajero prestado del Nivel I.3, ahora con todas sus cifras calculadas desde la simetría. No queda nada libre… salvo el origen de las masas. III.2 te espera.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| El principio de gauge | Exige que la simetría se pueda elegir en cada punto y la derivada deja de ser invariante: hace falta un campo compensador. La fuerza no se añade a mano, se deduce | art. 01 |
| La derivada covariante de U(1) | Dμ = ∂μ + iqAμ, con Aμ → Aμ − ∂μα. El desajuste se cancela exactamente, al precio de un Aμ acoplado con vértice iqγμ | art. 01, derivación — el vértice de QED de II.6 no era un modelo afortunado: era la única opción |
| Dos regalos de rigor | Universalidad (todo lo de carga q usa el mismo vértice: no hay electromagnetismos privados) y masa exactamente nula, porque m²AμAμ no es invariante | art. 01 — la cota mγ < 10⁻¹⁸ eV de I.2 no es suerte experimental: es una simetría en acción |
| Contar mensajeros sin mirar el detector | U(1): 1 generador. SU(N): N² − 1. Luego 1 fotón + 3 bosones débiles + 8 gluones = 12 bosones de gauge | art. 01, ej. resuelto 1 — el «8 y no 9» que II.7 justificaba con el singlete blanco sale aquí de la estructura del grupo |
| Isospín débil y sus escaleras | Los fermiones zurdos van en dobletes con T³ = +1/2 arriba y −1/2 abajo (las primas son las mezclas CKM de II.8); los diestros son singletes con T = 0, invisibles para el W. Y W± = (W¹ ∓ iW²)/√2 suben o bajan T³ en una unidad | art. 01 — el isospín de Heisenberg (II.2) reciclado, pero exacto y quiral; y los W± son los I± del isospín fuerte, por lo que toda corriente cargada cambia la carga en ±1 |
| Universalidad puesta a prueba | 3 canales leptónicos + 2×3 hadrónicos, con la propina QCD ×1,038 en los de quarks: BR(W→ℓν) = 1/9,23 = 10,8%. Medido: 10,7 (e), 10,6 (μ), 11,4 (τ) | art. 01, ej. resuelto 2 — contar canales sigue siendo la herramienta más rentable de la caja (II.3) |
| Hipercarga débil y carga eléctrica | Y = 2(Q − T³), constante dentro de cada doblete (−1 los leptones zurdos, +1/3 los quarks zurdos) ⇒ Q = T³ + Y/2 | art. 01 — misma forma que la Gell-Mann–Nishijima de II.2, pero de una simetría exacta y local, no aproximada y global (art. 02, ej. 2) |
| La primera generación, auditada | Y(eR) = −2, Y(uR) = +4/3, Y(dR) = −2/3. Salen siete estados, no ocho: el νR tendría T³ = 0, Q = 0 y por tanto Y = 0 — ciego a las tres simetrías de gauge | art. 01, ej. 1 — el neutrino estéril de II.5: si existe, ninguna fuerza del Modelo Estándar puede verlo |
| El grupo | SU(2)L × U(1)Y, con cuatro mensajeros: W⁺, W⁻, W³ y B. Y ninguno de los dos neutros es todavía el fotón | art. 01 |
| La rotación de Weinberg | A = B·cos θW + W³·sin θW · Z = W³·cos θW − B·sin θW | art. 02 — la luz que te llega es una superposición de dos campos que nunca verás por separado |
| Un solo requisito la fija | Que A se acople como e·Q a todos los fermiones ⇒ g·sin θW = g′·cos θW = e y tan θW = g′/g. Además e = g·g′/√(g²+g′²), la fórmula de dos resistencias en paralelo | art. 02, derivación — comprobación con el ν zurdo: e(1/2) + e(−1/2) = 0 ✓, el fotón no lo ve por construcción |
| Los dos diales de la naturaleza | Con e = 0,303 y sin²θW = 0,231: g = 0,303/0,481 = 0,63 y g′ = 0,303/0,877 = 0,35 | art. 02, ej. resuelto 1 — la carga débil es el doble de la eléctrica; a energías ≫ mW la «débil» es la más fuerte de las dos |
| Acoplamientos del Z, sin margen | gVf = T³f − 2Qfsin²θW · gAf = T³f · intensidad global gZ = g/cos θW = √(g²+g′²) | art. 02 |
| La tabla, con sin²θW = 0,231 | ν: gV = gA = +0,500 · e/μ/τ: −0,038 y −0,500 · u/c: +0,192 y +0,500 · d/s/b: −0,346 y −0,500 | art. 02 — el neutrino se acopla a plena potencia (por eso el Z contó familias en II.3) y el electrón tiene gV casi cero |
| El cero accidental como amplificador | ΔgV = 2·Δsin²θW: un 0,4% en el ángulo mueve gV un 5% y las asimetrías (∝ gV²) un ~10%. Amplificación ×12 | art. 02, ej. resuelto 2 — así se llegó a sin²θeff = 0,23153 ± 0,00016; compara con la casi-cancelación GIM que pesó el charm (II.8) |
| Alcance de la corriente neutra | ħc/mZ = 197,3 MeV·fm / 91.188 MeV = 2,2×10⁻³ fm | art. 02, callout — tras la mezcla hay dos corrientes neutras, y toda interacción entre fermiones neutros es su suma interferente |
| El parámetro ρ | ρ = mW²/(mZ²·cos²θW) = 1 a nivel árbol. Con las masas medidas y cos²θW = 0,769: 1,010 | art. 02, ej. 3 — que valga 1 no es automático: depende de cómo se generen las masas, y es una pista enorme para III.2. El 1% sobrante es el top |
| Gargamelle, 1973 | νμ + e⁻ → νμ + e⁻: un electrón de 385 MeV que arranca solo, sin que nada visible lo toque. Un suceso, más cientos hadrónicos sin muón | art. 03 — la rendija era el neutrino, la única partícula que el fotón no tapa; el fondo neutrónico casi lo tumba |
| Medir el ángulo contando muones que faltan | Rν = σNC/σCC = 1/2 − sin²θW + (20/27)sin⁴θW. Con sin²θW = 0,23: 0,31, y lo medido era 0,31 | art. 03, ej. resuelto 1 — así se supo sin²θW ≈ 0,22–0,24 años antes de ver un W o un Z reales |
| La deuda de II.3, saldada | Γ(Z→ff̄) = GFmZ³/(6√2π)·Nc(gV² + gA²) = 331,8 MeV × Nc(gV² + gA²), con Nc = 3 para quarks | art. 03 — las anchuras que II.3 daba como datos ya no lo son: son T³, Q y un ángulo |
| Las anchuras, especie a especie | Γν = 166 · Γe = 83,4 · Γu = 286 · Γd = 368 MeV. Con ×1,038 en los quarks: Γhad = 1.740 y Γtot = 2.488 MeV | art. 03, ej. resuelto 2 — LEP mide 1.744,4 ± 2,0 y 2.495,2 ± 2,3: el nivel árbol acierta al 0,3%, y reconstruye la fórmula Γtot = 1.996 + 167·Nν de II.3 |
| El test más limpio | Rℓ = Γhad/Γee = 1.740/83,4 = 20,9 frente a 20,77 ± 0,03 medido. Sin la propina QCD saldría 20,1, a más de veinte desviaciones | art. 03, ej. 1 — en el cociente se cancelan GF, mZ³ y la luminosidad: es una de las mejores medidas de αs en el Z |
| Asimetría adelante-atrás | AFB = (3/4)AeAμ, con Af = 2gVgA/(gV² + gA²). Con sin²θW = 0,231: Ae = 0,151 y AFB = 0,017; medido 0,0171 ± 0,0010 | art. 03, ej. resuelto 3 — el mismo observable valía −10% en PETRA por interferencia γ–Z (II.6): misma física, tres regímenes |
| Por qué el Z no cambia de sabor | Sus acoplamientos dependen solo de T³ y Q, y d, s y b los tienen idénticos: la matriz es proporcional a la identidad, y la rotación CKM la deja intacta (V†·1·V = 1) | art. 03, ej. 2 — el GIM de II.8 elevado a teorema: las FCNC no están suprimidas por casualidad, están prohibidas por estructura |
| Un cerrojo que sigue cerrado | Un cuarto neutrino ligero con medio acoplamiento (gV = gA = 1/4) aportaría 1/4 de anchura estándar ⇒ Nν = 3,25, o ~30σ sobre el 2,984 ± 0,008 medido | art. 03, ej. 3 — la anchura invisible no solo contó familias: acota cualquier partícula ligera que hable con el Z |
| La servilleta de 1973 | mW² = πα/(√2 GF sin²θW) ⇒ mW = 37,28 GeV/sin θW y mZ = mW/cos θW | art. 04 — despejando de GF/√2 = g²/(8mW²) de II.4, con g = e/sin θW |
| Las masas, predichas | Con α = 1/137: 77,5 y 88,4 GeV (3–4% corto). Con la α que corre, α(mZ) = 1/129, el numerador sube a 38,44 y salen 80,0 y 91,2 frente a 80,37 y 91,19 medidos | art. 04, ej. resuelto 1 — dos módulos del Nivel II (la carrera de α de II.6 y el contacto de Fermi de II.4) cerrando juntos una predicción del III |
| Seis sucesos | UA1 en 1982: 18 nb⁻¹ × 0,5 nb × 0,65 ≈ 6 sucesos W → eν, con mW ≈ 81 ± 5 GeV. En mayo de 1983 cayó el Z (mZ ≈ 95 ± 3). Nobel en 1984 | art. 04, ej. resuelto 2 — sucesos = L·σ de II.3; el LHC integra esos 18 nb⁻¹ cada pocos segundos |
| Cómo se pesa un W que escapa a medias | El electrón hereda como máximo pT ≈ mW/2 ≈ 40 GeV, y el espectro se apila contra ese borde. Masa transversa: mT² = 2pTepTν(1 − cos Δφ) | art. 04, callout — un borde jacobiano a 90 GeV, versión adulta del espectro beta con el que Pauli descubrió el neutrino |
| Ver el top sin producirlo | Δρ ≈ 3GFmt²/(8√2π²) = 0,009 con mt = 173 GeV: un +0,9%, nueve desviaciones de LEP | art. 04, ej. resuelto 3 — el ajuste electrodébil de 1994 predijo mt = 178 ± 20 GeV; el Tevatrón encontró 176 ± 13 en 1995. Es el ρ = 1,01 del art. 02, explicado |
| El ángulo tiene dos caras | «On-shell» 1 − mW²/mZ² = 0,223 frente al efectivo 0,2315: un 3,5% de diferencia donde viven los lazos | art. 04 ej. 1 y hoja 05 problema 1 — «¿cuánto vale sin²θW?» exige la contrapregunta «¿medido en qué observable?», como α exigía «¿a qué escala?» (II.6) |
| La anchura del W, cerrada | Γ(W→eν) = GFmW³/(6√2π) = 227 MeV; ×(3 + 6×1,038) = 2.095 MeV frente a 2.085 ± 42 medidos ⇒ τW = ħ/Γ = 3×10⁻²⁵ s | art. 04, ej. 3 — el módulo abre contando canales para repartir un W y cierra usando la misma cuenta para pesar su anchura absoluta |
| El Z dentro de un átomo de cesio | QW ≈ Z(1 − 4sin²θW) − N: con Z = 55 y N = 78, −73,8 (medido −72,6 ± 0,4). Como 1 − 4×0,231 = 0,076, el protón casi no cuenta: el átomo cuenta neutrones con el Z | hoja 05, problema 2 — el mismo acoplo probado a Q² ~ (MeV)² y a (91 GeV)²: nueve órdenes de distancia, y coincide |
| La conspiración de las hipercargas | ΣY y ΣY³ sobre zurdos menos diestros se anulan — y solo gracias al 3 del color: los quarks aportan −6 y los leptones +6 | hoja 05, problema 6 — quarks sin leptones, o Nc ≠ 3, dan una teoría inconsistente: el argumento más profundo del curso a favor del 3 |
| La grieta en el trofeo | La misma simetría que dicta los acoplamientos prohíbe las masas: m²WμWμ rompe la invariancia igual que la rompería para el fotón. Y mW son 8×10¹⁰ eV frente a la cota de 10⁻¹⁸ del fotón: casi treinta órdenes de «excepción» | art. 01 ej. 3 y art. 04 — también las masas de los fermiones están prohibidas (II.5). Es exactamente la deuda que paga III.2 |