Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas. Convenios del módulo: acoplos del Z g_V = T³ − 2Q·sin²θ_W y g_A = T³, la fórmula de anchuras Γ_f = 331,8·N_c·(g_V² + g_A²) MeV, y sin²θ_W = 0,231 (efectivo) salvo que el problema diga otra cosa — que es justo de lo que va el primero.
La hoja
Calcula sin²θ_W «on-shell»: 1 − m_W²/m_Z², con m_W = 80,37 y m_Z = 91,19 GeV. Debe darte 0,223 — pero el módulo usa 0,231 para los acoplos. (a) ¿Son errores? ¿Cuál usa cada cosa? (b) ¿Qué física vive exactamente en la diferencia (un 3,5%)? (c) ¿Por qué esa diferencia fue, en los 90, una predicción de la masa del top?
Pista
Son dos definiciones del mismo parámetro a distinto orden: la on-shell viene de las masas; la efectiva, de los acoplos medidos en el pico del Z. La diferencia son correcciones de lazo — dominadas por el top (la misma historia que la nota g = 0,65/0,63 del III.2.2). Ajustando esa diferencia, LEP «pesó» el top años antes del Tevatrón: la máquina de predecir del artículo 04.
El intercambio de un Z entre los electrones y el núcleo viola paridad también en un átomo de sobremesa. La «carga débil» de un núcleo es, a orden árbol, Q_W ≈ Z(1 − 4sin²θ_W) − N. (a) Evalúala para el cesio (Z = 55, N = 78): debe darte ≈ −73,8 (el experimento, con sus correcciones, da −72,6 ± 0,4). (b) ¿Por qué el término de los protones casi se anula — y qué mide entonces el átomo, en la práctica? (c) ¿Qué tiene de heroico medir esto en una mesa, y qué rango de Q² del Z explora frente a LEP?
Pista
(a) 1 − 4×0,231 = 0,076: el protón pesa poco en Q_W — el átomo cuenta neutrones con el Z. (b) En el cesio (Boulder, 1997) apareció como una asimetría minúscula (~10⁻⁶) al excitar la transición prohibida 6S→7S interfiriéndola con un campo eléctrico auxiliar; en talio o bismuto, como una rotación de la polarización de la luz. Heroísmo de espectroscopía en ambos casos. (c) Q² ~ (MeV)² contra (91 GeV)²: el mismo acoplo probado con 9 órdenes de distancia en energía — y coincide. Pocas teorías sobreviven a un test así.
La asimetría de polarización del Z con electrones es A_e = 2g_V g_A/(g_V² + g_A²). (a) Evalúala con sin²θ_W = 0,231: debe darte ≈ 0,15. (b) Repítela con 0,223: sale ≈ 0,21 — ¡un 40% de cambio por un 3,5% en el ángulo! ¿De dónde sale esa palanca? (c) Con ella, explica por qué el experimento SLD, con 30 veces menos Z que LEP pero haz polarizado, compitió de tú a tú en sin²θ_W.
Pista
g_V del electrón = −1/2 + 2sin²θ_W ≈ −0,04: está casi en cero porque sin²θ_W ronda 1/4. Cualquier cosa proporcional a g_V es una lupa sobre el ángulo. La moraleja experimental: elegir el observable adecuado vale por un orden de magnitud de estadística — un tema que reaparece en la hoja del III.6.
LEP2 midió m_W escaneando el umbral de e⁺e⁻ → W⁺W⁻. (a) Calcula la velocidad β de los W a √s = 161 GeV con m_W = 80,37: debe darte β ≈ 0,06. (b) Cerca del umbral σ ∝ β: estima con eso cuánto cambiaría σ si m_W bajara 100 MeV (β² es lineal en s/4 − m_W²) — te saldrá un efecto enorme, ~35%. (c) La sensibilidad real de LEP fue ~20 veces menor (σ = 3,67 ± 0,85 pb dio m_W ± 0,21 GeV). ¿Qué propiedad del W, bien conocida por este módulo, difumina el umbral y se come la palanca?
Pista
(a) β = √(1 − 4m_W²/s). (b) δ(β²) = 8m_W·δm_W/s duplica β² con solo 100 MeV: el umbral nítido sería un medidor brutal. (c) Γ_W = 2,1 GeV: los W nacen fuera de capa repartidos en ±2 GeV y el escalón se convierte en rampa — la anchura del artículo 04 devorando la sensibilidad. Aun así fue una medida limpia: dependía de la energía de máquina (conocida a MeVs, mareas incluidas), no del calorímetro.
Calcula R_b = Γ(Z → bb̄)/Γ(Z → hadrones) con la fórmula del módulo (b: T³ = −1/2, Q = −1/3; suma los cinco quarks accesibles): debe darte ≈ 0,22 (la medida moderna: 0,2158). (a) ¿Por qué el b tiene el Γ más grande de los quarks tipo down? (b) A mediados de los 90, LEP midió R_b ≈ 0,2205 ± 0,0016, ~3σ sobre el SM: reconstruye por qué medio mundo pensó en supersimetría. (c) ¿En qué acabó — y qué lección de «oficio» deja para las anomalías del fronteras/04?
Pista
(a) Mismos acoplos que d y s: la diferencia es sutil — el vértice Zbb̄ recibe una corrección específica del top (su pareja de isospín). Por eso R_b era el canal sensible a física nueva acoplada a la tercera familia. (b y c) Mejor etiquetado de b (vértices de silicio) + más estadística → 0,2158, en el SM clavado. Una 3σ con sistemáticos difíciles es una hipótesis de trabajo, no un descubrimiento: exactamente el estatuto que fronteras/04 da a las tensiones de hoy.
Para que la teoría cuántica sea consistente (sin «anomalías»), las hipercargas de cada generación deben conspirar. Verifica las dos sumas con los multipletes del artículo 01 (doblete de quarks Y = 1/3 ×3 colores, doblete leptónico Y = −1, y los singletes u_R: 4/3, d_R: −2/3, e_R: −2): (a) la suma de Y sobre todos los zurdos menos los diestros se anula; (b) la suma de Y³ (con la misma regla de signos) también. (c) Saborea el resultado: ¿qué le pasaría al Modelo Estándar si existieran quarks sin leptones — y qué sugiere esto sobre por qué N_c = 3?
Pista
(a) Zurdos: 3×2×(1/3) + 2×(−1) = 0. (b) Cubos: los quarks aportan 3×[2×(1/3)³ − (4/3)³ − (−2/3)³] y los leptones 2×(−1)³ − (−2)³ = +6: comprueba que se cancelan solo gracias al 3 del color. Quarks sin leptones (o N_c ≠ 3) = teoría inconsistente: las familias completas no son estética, son supervivencia. Es el argumento más profundo del curso a favor del 3 — más que R y que el π⁰ juntos.
Fin de la hoja. El ángulo con dos caras, el Z escondido en un átomo y las hipercargas conspirando: la teoría electrodébil probada desde los MeV hasta los 100 GeV. La ruptura que hace posible todo esto — y su hoja — te esperan en el III.2.