El módulo II.8 dejó el teorema contable: con tres generaciones, la CKM tiene exactamente una fase irreducible — un solo número complejo para toda la violación de CP de los quarks. Este artículo le da geometría. La unitariedad de la matriz impone que ciertas ternas de productos sumen cero, y una suma de tres complejos que da cero es, dibujada, un triángulo. El del sector b resulta tener los tres lados comparables: ángulos grandes, área máxima — el mapa del tesoro que guio treinta años de experimentos, y la razón de que los kaones den 10⁻³ donde los B darán 70%.
De la matriz al dibujo
Unitariedad: la columna d y la columna b de la CKM son ortogonales,
Tres complejos de tamaños parejos (los tres son de orden λ³ ≈ 0,01 — la jerarquía de Wolfenstein del II.8 lo garantiza solo para esta combinación) que suman cero: un triángulo con los tres ángulos gordos. Normalizando el lado V_cd V_cb* a la base, los vértices quedan en (0,0), (1,0) y el ápice (ρ̄, η̄) — y la coordenada η̄ es, esencialmente, la parte imaginaria de la CKM: η̄ ≠ 0 ⟺ hay violación de CP. Los ángulos tienen nombre propio: β en (1,0), γ en el origen, α en el ápice.
La fila d por la columna b de la CKM suma cero: tres números complejos que cierran un triángulo. Su vértice (ρ̄, η̄) lo persiguen medidas que no comparten nada — un anillo desde (0,0) (|V_ub|, desintegraciones), otro desde (1,0) (oscilaciones B y B_s) y el ángulo β (el canal dorado). Mueve el vértice hasta la única región que satisface las tres bandas. Si η̄ ≠ 0, el triángulo tiene área — y el universo, violación de CP.
Tres bandas de colores, tres físicas distintas: el anillo teal lo dibujan las desintegraciones b → u, el violeta las oscilaciones B⁰ y B_s (¡con el top en el lazo!), el ámbar la asimetría del canal dorado. Solo hay una región donde las tres se cruzan — llévalo allí.
Problema. Con el ápice medido (ρ̄ = 0,16, η̄ = 0,35), calcula los tres ángulos y comprueba la suma.
Resultado. Medidos por caminos independientes: β = 22,2° ± 0,7° (canal dorado, artículo 04), γ = 65,7° ± 3° (interferencias B → DK en LHCb), α = 92° ± 5° (B → ππ, ρρ). Suman 180° ± 6°: el triángulo cierra. Parece trivial — todo triángulo suma 180 — pero aquí cada ángulo viene de física distinta: si un cuarto quark o un gluino en un lazo torciera una de las medidas, la suma delataría al intruso. Es el test de cierre más elegante de la física de partículas.
Por qué el kaón susurra y el B grita
El mismo dibujo explica la jerarquía de efectos que el módulo lleva arrastrando. La violación de CP siempre entra por el invariante de Jarlskog, J = A²λ⁶η̄ ≈ 3×10⁻⁵ — el doble del área del triángulo sin normalizar. Pero lo que se mide es J dividido por las amplitudes del proceso. En el kaón, la mezcla pasa por elementos grandes de las dos primeras generaciones (λ, λ²): la fase queda diluida y sale ε ~ 10⁻³. En los mesones B, el canal entero vive en la tercera generación — las amplitudes ya son de orden λ³, tan pequeñas como la parte imaginaria — y la asimetría emerge de orden uno: sin2β = 0,70. Misma fase, distinto denominador. Por eso el plan de los 90 fue construir fábricas de B: donde la CP no es una grieta, sino la fachada.
Problema. Calcula J desde el triángulo (λ = 0,225, A = 0,81, η̄ = 0,35) y compáralo con su cota matemática máxima (J_max = 1/(6√3) ≈ 0,096).
Resultado. Tres diezmilésimas del máximo posible: la CKM viola CP con el freno de mano puesto — no porque la fase sea pequeña (γ = 66° es enorme), sino porque el área lleva el peaje λ⁶ de la jerarquía de mezclas. Ahí está, en un solo número, la insuficiencia cosmológica del artículo 02: el universo necesitaba un área generosa y la CKM es un triángulo grande solo en sus proporciones, no en su tamaño. La PMNS, sin jerarquía que la encoja, puede llegar a J ~ 0,03: mil veces esta área (módulo III.4) — la esperanza vive en el otro sector.
Ejercicios
Recupera el recuento del II.8 y complétalo: para N generaciones, la matriz de mezcla tiene N(N−1)/2 ángulos y (N−1)(N−2)/2 fases. Evalúa N = 2 y N = 3, y explica en una frase por qué el triángulo es propiedad exclusiva de tres generaciones.
Solución
N = 2: 1 ángulo (Cabibbo), 0 fases — matriz real, triángulos degenerados en líneas, CP intacta. N = 3: 3 ángulos, 1 fase — y los triángulos de unitariedad ganan área. Con dos generaciones la relación de ortogonalidad tiene solo dos términos: V_ud V_us* = −V_cd V_cs*, dos vectores opuestos — un «triángulo» plano siempre, elija la naturaleza los números que elija. El área requiere un tercer sumando: la existencia misma del dibujo es el teorema de Kobayashi-Maskawa en versión geométrica.
Hay seis relaciones de ortogonalidad (seis triángulos), todas con la misma área J/2 — pero solo «el» triángulo del sector b se dibuja en los seminarios. Estima los lados del triángulo d·s (columnas d y s): V_ud V_us* ~ λ, V_cd V_cs* ~ λ, V_td V_ts* ~ λ⁵. ¿Qué forma tiene y qué sistema físico lo mide?
Solución
Dos lados de orden λ ≈ 0,22 y uno de λ⁵ ≈ 0,0005: un triángulo aplastadísimo — dos brazos casi opuestos y una altura de dos partes en mil sobre la base. La altura relativa, ~J/λ² ~ 10⁻³, ¡es el ε del kaón! El sistema K⁰K̄⁰ mide exactamente este triángulo espachurrado: misma área J que el del b (todas las áreas son iguales), pero escondida en una aguja. El «10⁻³ del kaón contra 70% del B» del texto es, geométricamente, la diferencia entre mirar la misma área en un triángulo flaco o en uno gordo.
En el interactivo, la banda violeta (Δm_d/Δm_s) depende del cociente de oscilaciones B⁰/B_s. ¿Por qué usar el cociente y no Δm_d solo? (Pista: el módulo III.3 y los cálculos hadrónicos.)
Solución
Δm_d ∝ |V_td|² por factores hadrónicos (la caja vive dentro de mesones: constantes de desintegración, parámetros de bolsa — QCD no perturbativa del III.3, con errores del 10–15% en el retículo). En el cociente Δm_d/Δm_s casi toda esa suciedad se cancela (los factores de B⁰ y B_s difieren solo por SU(3) de sabor, ξ = 1,20 ± 0,02) y queda |V_td/V_ts|² casi limpio → el radio R_t del interactivo. Es la misma jugada que R_ℓ en el Z (módulo III.1) o f_K/f_π en Cabibbo (II.8): cuando la teoría no sabe calcular el absoluto, mide un cociente donde lo incalculable se va. Regla de oro del oficio.
Lo que llevas. Unitariedad → triángulos; el del sector b tiene lados parejos (todos λ³) y ángulos medidos que cierran: β = 22°, γ = 66°, α = 92°, con el ápice en (0,16, 0,35). El área común a todos los triángulos es J ≈ 3×10⁻⁵ — CP pequeña por jerarquía, no por timidez de la fase — y la geometría explica el susurro del kaón y el grito del B. Falta escuchar el grito: relojes de picosegundo, colisionadores torcidos a propósito y la asimetría del 70%. Artículo 04.