Hay un problema que la física de partículas tiene completamente resuelto, sin aproximaciones ni letra pequeña: una partícula de masa M muere en reposo dejando dos hijas. Conservación de energía y de momento bastan para fijarlo todo — cada hija sale con una energía única, calculable con tres masas y una línea de álgebra. Esa rigidez convierte cada desintegración en dos cuerpos en una huella dactilar, y este artículo la usa para releer medio Nivel I con ojos cuantitativos.
El problema más resuelto
En el sistema de reposo de la madre, el momento total es cero: las hijas salen espalda contra espalda con el mismo |p⃗|. La conservación de la energía, E₁ + E₂ = M, hace el resto:
Derivación: dos condiciones, cero libertad
Con p₁ = p₂ ≡ p, escribe E₂ = M − E₁ y aplica la relación maestra a las dos hijas: E₁² = p² + m₁² y (M − E₁)² = p² + m₂². Resta:
El momento sale de p² = E₁² − m₁², que factorizado da la expresión con los dos corchetes (el radicando es la función de Källén λ(M², m₁², m₂²), que reaparecerá en las fórmulas de vidas medias del módulo II.3). Fíjate en lo que no aparece: ningún ángulo, ninguna historia previa, ninguna constante de la fuerza responsable. Solo masas. La dirección de salida es libre; el módulo del momento, no.
La línea que delató al pión
Problema. Calcula el momento del muón cuando un π⁺ (139,6 MeV) se desintegra en reposo a μ⁺ (105,7 MeV) más un neutrino (masa ≈ 0).
Solución. Con m₂ = 0 la fórmula del momento colapsa:
Resultado. Todo muón nacido de un pión en reposo sale con exactamente 29,8 MeV de momento. En las emulsiones de 1947 (Nivel I.1), los muones de los piones detenidos recorrían siempre la misma distancia (~600 μm): esa monotonía era esta línea. Y de propina, la primera evidencia cinemática del neutrino: si el pión muriera en un solo cuerpo visible, el muón saldría quieto; si en tres, con espectro continuo. Una línea a 29,8 MeV grita «dos cuerpos, y uno es invisible» — la contabilidad de Pauli del Nivel I.4, ahora con decimales.
El mismo cálculo con el kaón: K⁺ → μ⁺ν da una línea a 235,5 MeV. Dos líneas distintas, dos padres distintos — así se distinguían piones y kaones detenidos sin verlos: mirando solo a qué velocidad salía el muón. La cinemática de dos cuerpos convierte un espectrómetro en un censo de padres.
La V del zoo, con nombre y apellidos
Problema. La Λ (1.115,7 MeV) se desintegra en reposo a protón (938,3 MeV) y π⁻ (139,6 MeV). Momento y energías de las hijas.
Solución. Energía del protón por la fórmula general:
Ojo con esa raíz: es una resta catastrófica. Los dos cuadrados difieren en un 1,1 %, así que la cuarta cifra de E_p decide la tercera de p*. Redondear E_p a 943,7 antes de restar da 100,8 — y redondeado, 101. Con la fórmula de Källén, que no resta números grandes, sale directamente 100,53. Cuando el resultado es la diferencia de dos cantidades parecidas, no se redondea a mitad de camino.
Resultado. Las «V» que identificabas por topología en la cámara de burbujas del Nivel I.5 llevan matrícula: una V cuyas dos ramas, reconstruidas, dan un protón y un pión con masa invariante 1.116 MeV es una Λ; si da dos piones con 497,6 MeV, es un K⁰ (cuyo p* = 206 MeV). Topología para sospechar; cinemática para condenar — el método del auditor, edición cuantitativa.
En vuelo: lo que hace el boost
Casi ninguna partícula muere quieta: los padres llegan con momento, y hay que trasladar el problema resuelto del centro de masas al laboratorio. La transformación de Lorentz del artículo 01, aplicada al cuadrimomento de cada hija (con * para las cantidades en reposo de la madre):
Tres efectos, los tres visibles en el interactivo: el boost inclina hacia delante (la componente longitudinal recibe el empujón γβE*), colima (a γ grande, todo sale en un cono de apertura ~1/γ: los chorros del LHC), y rompe la línea: la energía de cada hija en el laboratorio depende ahora del ángulo de emisión θ*, así que la línea monocromática se ensancha en una distribución — cuyo centro sigue delatando a la madre.
A la izquierda, el sistema del padre: las dos hijas salen espalda contra espalda con un momento p* que no depende de nada — solo de las tres masas. A la derecha, el laboratorio: el boost inclina, acelera y colima. Gira el ángulo de emisión y empuja al padre.
El neutrino (a trazos) es invisible para el detector: solo se ve la otra hija. Pero como p* está fijado por las masas, medir una basta para reconstruir todo.
Ejercicios
El otro canal grande del kaón: K⁺ → π⁺ π⁰ (493,7 → 139,6 + 135,0 MeV). Calcula el momento de salida y compáralo con el del canal K⁺ → μ⁺ν (235,5 MeV). ¿Cómo distinguirías los dos canales en un espectrómetro?
Solución
Dos líneas: el μ⁺ de un canal sale a 235,5 MeV; el π⁺ del otro, a 205 MeV. Un kaón detenido produce un espectro con dos picos limpios, uno por canal de dos cuerpos — y así se midieron sus fracciones de desintegración décadas antes de los detectores de silicio.
Un Higgs (125,3 GeV) decae a dos fotones. (a) ¿Energía de cada fotón en el reposo del Higgs? (b) Si el Higgs vuela con p = 300 GeV, ¿entre qué energías pueden aparecer los fotones en el laboratorio?
Solución
(a) Por simetría, E* = M/2 = 62,6 GeV cada uno. (b) La energía del Higgs es E = √(300² + 125,3²) = 325,1 GeV, luego γ = 2,60 y β = 0,923. Los extremos son emisión a favor y en contra del vuelo (cos θ* = ±1):
Un rango enorme — y sin embargo la masa invariante de la pareja da 125,3 GeV en todos los casos, porque M es un hecho y las energías son opiniones. Por eso el histograma del módulo I.5 se dibuja en M(γγ) y no en energía de fotones: el pico solo existe en la variable invariante.
El neutrón decae a tres cuerpos: n → p e⁻ ν̄. (a) Calcula la energía cinética máxima del electrón (mn = 939,57, mp = 938,28, me = 0,511 MeV; el punto máximo es cuando el neutrino sale con energía cero, y el retroceso del protón es despreciable). (b) ¿Qué forma tiene el espectro por debajo de ese punto, y de quién es ese argumento?
Solución
(a) Con el neutrino a cero, el electrón se lleva toda la energía liberada: Tmax = mn − mp − me = 939,57 − 938,28 − 0,51 = 0,78 MeV — el famoso punto final a 782 keV del espectro beta del neutrón, medido con precisión creciente desde los años 50. (b) Un continuo: con tres cuerpos, el reparto es variable. Es el argumento de Pauli de 1930 (Nivel I.4 y I.6) hecho números: si la beta fuera de dos cuerpos, sería una línea; como es un continuo con punto final donde manda la cinemática, hay un tercer cuerpo invisible. KATRIN sigue hoy mirando con lupa el milímetro final del espectro hermano del tritio (punto final: 18,6 keV) — la forma exacta cerca del punto final esconde la masa del neutrino.
Módulo cerrado, deuda pagada. Ya sabes cuánto cuesta crear una partícula (umbrales), qué magnitud la identifica (masa invariante) y cómo reparte su herencia al morir (dos cuerpos: línea; tres: continuo). Lo que la cinemática no dice es qué partículas pueden existir ni cuáles de las reacciones permitidas ocurren de verdad — para eso hacen falta las simetrías internas: isospín, extrañeza y el camino óctuple que puso orden en el zoo. Ese es el módulo II.2.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Unidades naturales | ħ = c = 1 ⇒ [masa] = [energía] = [momento], y [longitud] = [tiempo] = [energía]⁻¹ | art. 01 |
| Las dos constantes de cambio | ħc = 197,3 MeV·fm · ħ = 6,58×10⁻²² MeV·s. De ahí 1 GeV⁻¹ = 0,197 fm = 6,58×10⁻²⁵ s | art. 01, ej. 1 — es la «regla de Yukawa» de I.3 con su nombre verdadero: la divisa entre energías y longitudes |
| Factor de Lorentz | γ = 1/√(1−β²) = E/m · βγ = p/m · para γ grande, 1 − β ≈ 1/(2γ²) | art. 01 — un protón de 6,8 TeV tiene γ = 7.250 y le faltan 2,9 m/s para alcanzar a la luz (ej. 2) |
| Longitud de desintegración | L = βγ·cτ. Muón de 10 GeV: γ = E/m = 94,6 y L = 94,6 × 659 m = 62 km, naciendo a 15 km | art. 01, ej. resuelto 2 — el interactivo de supervivientes de I.1, reducido a una línea |
| Vida y anchura son la misma cosa | τ = 1/Γ: la ρ con Γ = 149 MeV vive 6,58×10⁻²²/149 = 4,4×10⁻²⁴ s | art. 01, ej. 1 — los «10⁻²³ s de la fuerza fuerte» de I.2 eran un inverso; el tema entero es II.3 |
| Rapidez | y = atanh β · β = tanh y · γ = cosh y · βγ = sinh y · ytotal = y₁ + y₂. Tres etapas a 0,5c dan 0,93c, no 1,5c | art. 01, ej. resuelto 3 y ej. 3 — es el eje «rapidity» de las gráficas del LHC |
| Producto de cuadrivectores | a·b = a⁰b⁰ − a⃗·b⃗ (el signo menos de la parte espacial). Todo producto de cuadrivectores es invariante | art. 01 |
| El lema del nivel | Componentes son opiniones; invariantes son hechos. Plantea el problema en hechos y elige después el observador que haga trivial la cuenta | art. 01, callout |
| Cuadrimomento | pμ = (E, p⃗) con E = γm y p⃗ = γmβ⃗. Se conserva componente a componente: cuatro ecuaciones por reacción | art. 02 — la letra pequeña de cada «auditoría» del Nivel I |
| Relación maestra | E² = |p⃗|² + m². Sin masa: E = |p⃗| y β = 1. Ultrarrelativista significa p ≫ m, y entonces la masa deja de importar | art. 02 — con p = 1 GeV el electrón va a β = 0,99999987 y el protón a 0,73 (ej. resuelto 1) |
| Dónde está la ½mv² | E = γm = m + ½mv² + …: la fórmula de las camisetas es el término cero de la energía verdadera | art. 02, derivación |
| Masa invariante | M² = (ΣiEi)² − |Σip⃗i|². No es la suma de las masas: dos fotones sin masa forman un sistema con masa | art. 02 — el eje x de todo histograma de descubrimiento |
| El caso de dos fotones | M²(γγ) = 2E₁E₂(1 − cos θ). Colineales (θ = 0) dan M = 0; espalda contra espalda, el máximo M² = 4E₁E₂ | art. 02, derivación — con 200 y 80 MeV a 64,5° sale 135 MeV: un π⁰ que nadie vio |
| Dos hijas con masa | M² = m₁² + m₂² + 2(E₁E₂ − p₁p₂cos θ). Dos piones de 350 MeV a 79,8° dan 497,6 MeV: un K⁰ | art. 02, ej. 2 — las «V» de las cámaras de burbujas de I.5, con nombre y apellido |
| Por qué existe el pico | La señal se apila siempre en el mismo M (es invariante) y el fondo se difumina en un continuo. J/ψ 3,1 · Υ 9,5 · Z 91 · H 125 GeV | art. 02 — paga el histograma del Higgs de I.5: cuatro épocas, un solo eje horizontal |
| La variable s | s = (p₁+p₂)·(p₁+p₂) · √s = energía total en el centro de masas · condición de umbral: √s ≥ m₃ + m₄ + … | art. 03 — s es la primera de las tres de Mandelstam; t y u esperan a los propagadores de II.4 |
| Blanco fijo | s = mb² + mt² + 2E·mt ⇒ E = (s − mb² − mt²)/(2mt). A E ≫ masas, √s ≈ √(2E·mt): crece solo como √E | art. 03, derivación — duplicar la energía útil cuesta cuadruplicar el haz |
| Colisionador simétrico | √s = 2E, lineal: el laboratorio ya es el centro de masas. El LHC contra blanco fijo daría √s = √(2×6.800×0,9383) = 113 GeV en vez de 13,6 TeV | art. 03, ej. 2 — sin arquitectura de colisionador no hay física del Higgs |
| La deuda del Bevatrón, saldada | p + p → p + p + p + p̄ (el número bariónico obliga a las cuatro): √s = 4mp ⇒ E = 7mp y T = 6mp = 5,63 GeV | art. 03, ej. resuelto 1 — la promesa firmada en I.1; el 67% del precio se lo lleva el retroceso del centro de masas |
| La misma fórmula, otros umbrales | p + p → p + p + π⁰: T = 280 MeV (crear 135 cuesta más del doble) · antineutrón: T = 5,64 GeV, solo 10 MeV más caro que el antiprotón | art. 03, ej. 1 y 3 — la lista de umbrales que una máquina puede pagar es su programa de física |
| Límite GZK | s ≈ mp² + 4EγEp ≥ (mp+mπ⁰)² ⇒ Ep ≥ 1,1×10¹⁴ MeV ≈ 10²⁰ eV contra un fotón del CMB de 6,3×10⁻⁴ eV | art. 03, ej. resuelto 2 — la misma álgebra que diseñó el Bevatrón pone techo a los rayos cósmicos de I.8 |
| Dos cuerpos: la energía | E₁ = (M² + m₁² − m₂²)/(2M). Ni un ángulo, ni una historia previa, ni una constante de acoplamiento: solo masas | art. 04 |
| Dos cuerpos: el momento (p* de Källén) | |p*| = √([M² − (m₁+m₂)²][M² − (m₁−m₂)²]) / (2M) | art. 04, derivación — el radicando es λ(M², m₁², m₂²), que II.3 usará en las vidas medias |
| Dos cuerpos = línea; tres = continuo | Con dos hijas, un millón de repeticiones dan un millón de veces el mismo espectro. Con tres, un continuo | art. 04, callout — la herramienta forense más barata: mirar un espectro y contar cadáveres |
| Las líneas del catálogo | π⁺→μ⁺ν: p* = 29,8 MeV · K⁺→μ⁺ν: 235,5 · K⁺→π⁺π⁰: 205 · K⁰→π⁺π⁻: 206 · Λ→pπ⁻: 100,5 (Ep = 943,7, Eπ = 172,0 MeV) | art. 04 — un espectrómetro convertido en censo de padres; y matrícula para las «V» de I.5 |
| En vuelo | p∥ = γ(p*cos θ* + βE*) · p⊥ = p*sin θ* · E = γ(E* + βp*cos θ*). Inclina hacia delante, colima en un cono ~1/γ y ensancha la línea | art. 04 — el cono ~1/γ es el chorro del LHC |
| Y aun así el pico aguanta | Un Higgs con p = 300 GeV (γ = 2,60, β = 0,923) reparte sus fotones entre 12,6 y 313 GeV… y M(γγ) da 125,3 en todos los casos | art. 04, ej. 2 — el pico solo existe en la variable invariante |
| Punto final del espectro beta | Tmax = mn − mp − me = 939,57 − 938,28 − 0,51 = 0,78 MeV (782 keV). El tritio: 18,6 keV | art. 04, ej. 3 — el argumento de Pauli de 1930 (I.4, I.6) con decimales; ahí busca KATRIN la masa del neutrino |
| Creación de pares | Un fotón solo tiene masa invariante 0 < 2me = 1,022 MeV: prohibido en el vacío por cinemática, no por energía | art. 02, ej. 3 — la «materialización» de I.5 necesita al núcleo como socio contable, no como espectador |