El módulo te dio las herramientas con las soluciones a la vista; esta hoja te las quita. Seis problemas ordenados por dificultad (●○○ a ●●●), con pistas desplegables — la regla es la de la hoja del taller de trazas: atascarse es el entrenamiento. Los resultados finales se dan cuando son un número contrastable: sabrás que llegaste.
La hoja
La Λ (1.115,7 MeV) decae en reposo a p (938,3) + π⁻ (139,6). Calcula el momento común p* y las energías de las dos hijas. Comprueba el resultado: p* = 100,6 MeV. ¿Por qué el protón se lleva casi toda la energía pero casi la misma cantidad de movimiento que el pión?
Pista
Es la fórmula del artículo 04 para hijas desiguales: p* = √[(M² − (m₁+m₂)²)(M² − (m₁−m₂)²)]/2M. Los momentos son opuestos e iguales por definición del reposo; las energías, no.
SuperKEKB colisiona e⁻ de 7 GeV contra e⁺ de 4 GeV. (a) Demuestra que para haces ultrarrelativistas frontales √s = 2√(E₁E₂) y evalúa: debe darte 10,58 GeV — exactamente la masa de la Υ(4S), la resonancia que muere en pares BB̄. (b) Calcula el βγ del centro de masas en el laboratorio (βγ = (E₁−E₂)/√s ≈ 0,28). ¿Para qué quiere un experimento que sus B se muevan? (La respuesta es el módulo III.5.)
Pista
(a) s = (p₁+p₂)²: desprecia las masas y recuerda que para haces opuestos p₁·p₂ = E₁E₂(1−cos 180°). (b) El momento neto del sistema es E₁−E₂. Si los B naciesen en reposo, sus puntos de desintegración serían el mismo punto — y el artículo III.5.4 necesita medir la distancia entre ellos.
Un π⁰ de 10 GeV decae a dos fotones. Demuestra que el ángulo mínimo entre ellos (reparto simétrico) es θ ≈ 2m/E y evalúalo: 27 mrad, un grado y medio. A 2 m del vértice son ~5 cm de separación. ¿Qué le exige esto a la granularidad de un calorímetro — y qué error de identificación comete si no la tiene? (Ese error es un fondo real de las búsquedas con fotones.)
Pista
En el reparto simétrico cada fotón lleva E/2 y la masa invariante obliga: m² = 2(E/2)(E/2)(1−cos θ). Con θ pequeño, 1−cos θ ≈ θ²/2. Un calorímetro grueso ve un depósito: el π⁰ se disfraza de fotón único.
El D⁰ (1.864,8 MeV) tiene cτ = 123 μm. En LHCb vuela con p = 50 GeV. Calcula βγ y la distancia media de vuelo: debe darte ~3,3 mm. Compárala con la resolución de vértice de LHCb (~decenas de μm) y explica por qué «ver el vértice desplazado» es la firma universal del encanto y la belleza en un colisionador hadrónico.
Pista
βγ = p/m — sin calcular β ni γ por separado. La distancia media es L = βγ·cτ. Con 3.300 μm de vuelo y ~30 μm de resolución, el vértice secundario está a >100σ del primario: no es una sutileza estadística, es una fotografía.
Un haz de π⁺ de 200 GeV decae en vuelo: π⁺ → μ⁺ν. (a) Calcula la energía del neutrino en el reposo del pión: E* = (m_π² − m_μ²)/2m_π = 29,8 MeV. (b) Demuestra que en el laboratorio la energía del neutrino barre desde ~0 (hacia atrás) hasta E_max = (1 − m_μ²/m_π²)·E_π — el 42,7% del pión: 85 GeV. (c) Con esto, explica la receta de todo haz de neutrinos acelerador (T2K, DUNE): protones → piones enfocados → túnel de desintegración → roca. ¿De qué depende el espectro que llega al detector?
Pista
(b) Boost del artículo 01: E_lab = γ(E* + βp*cos θ*), con p* = E* para el neutrino y β ≈ 1. El máximo es 2γE* — reescríbelo con γ = E_π/m_π. El espectro depende de la energía de los piones y del ángulo: la idea «off-axis» de T2K (artículo III.4) nace exactamente de esta cinemática.
En W → eν el neutrino escapa: solo se mide su momento transverso (por balance). Se define la masa transversa m_T² = 2E_T^e·E_T^ν·(1 − cos Δφ). Demuestra que m_T ≤ m_W, con igualdad solo cuando el W decae sin momento longitudinal relativo — y que por tanto el espectro de m_T acaba en un borde en m_W = 80,4 GeV. Ese borde es como el Tevatrón y el LHC pesan el W (la medida del artículo III.1.4).
Pista
Escribe m² del par eν con las componentes longitudinales incluidas y compara término a término con m_T²: lo que sobra es ≥ 0. La física del borde: la distribución se apila contra el tope cinemático (un «borde jacobiano»), y su posición no depende del momento del W — por eso es medible en un choque hadrónico donde el boost longitudinal es desconocido.
Fin de la hoja. Las herramientas están en el módulo; la tabla de fórmulas, en el «Resumen en frío» del artículo 04. Si los seis salieron, la cinemática dejó de ser un obstáculo: en el resto del curso será el idioma en que están escritos los demás problemas. La tradición de hojas sin soluciones continúa módulo a módulo — y culmina en la hoja del taller de trazas.