Crear una partícula nueva es comprar masa con energía, y la pregunta operativa es siempre la misma: ¿cuánta energía de haz hay que pagar? La respuesta ingenua — «la masa que quieras crear» — es falsa, y la diferencia entre la respuesta ingenua y la verdadera decidió el diseño de todos los aceleradores del siglo XX. Este artículo construye la herramienta (√s), deriva las dos fórmulas de pago (blanco fijo y colisionador), y salda la deuda que el Nivel I dejó firmada: el 6·mp del Bevatrón.
La variable s: la energía que sirve
Suma los cuadrimomentos de las dos partículas que chocan y toma la longitud invariante del total:
La segunda igualdad es la clave. En el sistema centro de masas el momento total es cero, así que M² = (ΣE)² − 0: √s es la energía total vista desde ahí. Y como s es invariante, puedes calcularla con las energías y momentos de cualquier observador — típicamente el laboratorio — y el resultado ya viene expresado en la moneda buena. Porque esta es la moraleja central:
Por cierto: s es la primera de las tres variables de Mandelstam (s, t, u) que describen toda colisión 2 → 2. Las otras dos miden el momento transferido y esperarán su turno hasta los diagramas de Feynman del módulo II.4 — donde viven en los denominadores de los propagadores.
Blanco fijo: la fórmula del desencanto
Un haz de energía E golpea una partícula quieta. Cuadrimomentos p₁ = (E, p⃗) y p₂ = (m_t, 0):
Derivación: s contra blanco fijo
Desarrolla el producto — cada término al cuadrado da una masa, y el cruzado es el único con contenido:
Despejando la energía de haz necesaria para un √s dado:
Nota lo que dice la primera fórmula en el régimen E ≫ masas: s ≈ 2E·m_t, es decir, √s crece solo como √E. Duplicar la energía útil cuesta cuadruplicar el haz.
Ese crecimiento en raíz cuadrada es el desencanto: contra blanco fijo, casi toda la energía del haz se malgasta en empujar el centro de masas. La alternativa es un colisionador simétrico: dos haces de energía E frente a frente tienen momento total cero — el laboratorio ya es el centro de masas — y entonces √s = 2E, lineal en E. Es la comparación que jugaste cualitativamente en el módulo I.5; ahora cada curva tiene su ecuación.
La deuda del Bevatrón
Problema. Calcular la energía cinética mínima de un protón contra hidrógeno en reposo para producir un antiprotón: p + p → p + p + p + p̄.
Paso 1 — el estado final mínimo. ¿Por qué cuatro partículas y no «p + p̄ y ya»? Conservación del número bariónico (Nivel I.4): el estado inicial tiene B = 2, y un par p p̄ suma B = 0. Los dos protones originales tienen que seguir existiendo; lo mínimo que puede añadirse es un par protón-antiprotón. Umbral: √s = 4mp, es decir, s = 16mp².
Paso 2 — la fórmula de blanco fijo. Con m_b = m_t = mp:
Paso 3 — números.
Resultado. Para crear 938 MeV de antimateria hay que pagar 5.630 MeV de energía cinética: el retroceso obligatorio del centro de masas se lleva el 67% del precio (4 mp), y el 33% restante crea masa nueva — el antiprotón y el protón acompañante que exige la conservación del número bariónico. Esta cuenta exacta fijó el diseño del Bevatrón (6,2 GeV, con margen), que arrancó en 1954; Chamberlain y Segrè cazaron el antiprotón en 1955 y recogieron el Nobel en 1959. En la práctica el blanco era cobre, no hidrógeno: el movimiento de Fermi de los nucleones dentro del núcleo regala un pequeño descuento sobre el umbral — los protones del blanco no están del todo quietos. Deuda del Nivel I: saldada.
Elige una reacción histórica. La calculadora aplica las dos fórmulas del artículo — Efijo = (s − m_b² − m_t²)/2m_t y Ecol = √s/2 — y compara cuánta energía cinética hay que pagar en cada arquitectura para cruzar el umbral.
La deuda del Nivel I: para crear un solo antiprotón de 0,94 GeV hacen falta 5,6 GeV de energía cinética contra blanco fijo. El Bevatrón se diseñó con 6,2 GeV por esta cuenta exacta — y el antiprotón llegó en 1955.
Juega con la calculadora y fíjate en el patrón: la ventaja del colisionador es modesta para protones a pocos GeV, pero se vuelve astronómica para electrones (masa diminuta en el denominador de la fórmula de blanco fijo). Por eso la historia de los aceleradores es la historia de la migración al colisionador — y por eso LEP, el Tevatrón y el LHC tienen la arquitectura que tienen.
El colisionador cósmico
El universo lleva haciendo física de umbrales desde antes de que existieran los físicos. Un protón de rayo cósmico que viaja por el espacio intergaláctico atraviesa el baño de fotones del fondo cósmico de microondas (CMB, Nivel I.8). Si el protón va lo bastante rápido, un fotón de ese fondo — patéticamente frío, 6×10⁻⁴ eV — puede superar en el centro de masas el umbral de producción de piones: γ + p → p + π⁰. A partir de ahí, cada colisión le roba energía al protón: el universo se vuelve opaco para él.
Problema. ¿A qué energía de protón se abre el canal γ + p → p + π⁰ contra un fotón frontal del CMB (Eγ = 6,3×10⁻⁴ eV)?
Solución. Mismo esquema, pero ahora el «blanco» también se mueve. Para choque frontal, el término cruzado es 2(E₁E₂ + p₁p₂) ≈ 4EγEp (protón ultrarrelativista):
Resultado. Es el corte GZK (Greisen–Zatsepin–Kuzmin): por encima de ~10²⁰ eV, el cosmos entero funciona como un blanco de fotones y los protones no pueden viajar más que unas decenas de megapársecs sin desangrarse en piones. El observatorio Pierre Auger — la frontera cósmica del Nivel I.8 — ve efectivamente caer el flujo ahí. La misma álgebra que diseñó el Bevatrón pone techo a los rayos cósmicos: dos renglones de cinemática, setenta órdenes de magnitud de alcance.
Ejercicios
La primera partícula fabricada en acelerador: p + p → p + p + π⁰ (mπ⁰ = 135,0 MeV). Calcula la energía cinética umbral contra blanco fijo y compárala con los ciclotrones de posguerra (~350 MeV).
Solución
√s mínimo = 2mp + mπ = 2.011,5 MeV. Con la fórmula de blanco fijo:
Nota el sobreprecio: crear 135 MeV de pión cuesta 280 MeV — más del doble. El ciclotrón de 184 pulgadas de Berkeley (350 MeV) lo tenía justo pero suficiente: en 1948 fabricó los primeros piones artificiales, un año después de que aparecieran en las emulsiones de rayos cósmicos del Nivel I.1.
¿Qué pasaría si el LHC fuera de blanco fijo? Calcula √s para un protón de 6,8 TeV contra un protón en reposo, y compáralo con los 13,6 TeV del modo colisionador.
Solución
Contra blanco fijo, la máquina más potente jamás construida quedaría por debajo del umbral de producir un solo Higgs junto a un Z (√s ≈ 216 GeV) — de hecho apenas superaría la masa del Z. El factor 120 de diferencia con los 13,6 TeV reales es la raíz cuadrada del desencanto en acción. Sin la arquitectura de colisionador, no hay física del Higgs: no es una mejora, es la diferencia entre poder y no poder.
Un año después del antiprotón, el Bevatrón encontró el antineutrón. Calcula el umbral de p + p → p + p + n + n̄ (mn = 939,6 MeV) y explica por qué la misma máquina servía.
Solución
√s mínimo = 2mp + 2mn = 3.755,7 MeV. Entonces:
Apenas 10 MeV más caro que el antiprotón (el neutrón pesa 1,3 MeV más). Los 6,2 GeV del Bevatrón cubrían ambos umbrales con margen — y en 1956 cayó el antineutrón. El diseño de una máquina es la lista de umbrales que puede pagar: esa lista es, literalmente, su programa de física.
Sabemos ya cuánto cuesta crear. Queda la otra mitad del negocio: una vez creada, la partícula muere — y el reparto de energía entre sus hijas está tan rígidamente fijado por la cinemática que se convierte en su huella dactilar. Al problema más resuelto de la física de partículas le dedicamos el último artículo del módulo.