Energía, momento y masa invariante

De todos los cuadrivectores, uno hace funcionar la disciplina entera: el cuadrimomento. Su parte temporal es la energía, su parte espacial el momento, y su longitud — en el sentido del producto con signo menos del artículo anterior — es la masa. Esa última frase, bien digerida, explica desde las camisetas de E = mc² hasta cómo se encontró el Higgs.

El cuadrimomento

La receta para fabricar un cuadrivector de movimiento: deriva la posición x^μ respecto del tiempo propio (que es invariante, así que el resultado sigue siendo cuadrivector) y multiplica por la masa. Sale el cuadrimomento:

p^\mu = m\,\frac{dx^\mu}{d\tau} = (E,\ \vec{p}\,), \qquad E = \gamma m, \qquad \vec{p} = \gamma m \vec{\beta}.

La energía cinética es lo que sobra al descontar la masa: T = E − m. Y la mecánica de siempre está dentro, escondida en el límite lento:

Derivación: dónde está escondida la ½mv² de bachillerato

Desarrolla γ en serie para β pequeño:

E = \gamma m = m\left(1 - \beta^2\right)^{-1/2} = m\left(1 + \tfrac{1}{2}\beta^2 + \tfrac{3}{8}\beta^4 + \cdots\right) = m + \tfrac{1}{2}m v^2 + \cdots

El primer término es la energía en reposo (la E = mc² de las camisetas, con c = 1); el segundo es la energía cinética newtoniana; el resto son las correcciones relativistas. La fórmula famosa no es una ecuación aparte: es el término cero de la energía verdadera, E = γm.

Lo importante para el resto del curso: en toda reacción, el cuadrimomento total se conserva componente a componente — cuatro ecuaciones (energía y las tres de momento) que son la letra pequeña detrás de cada «auditoría» que hicimos en el Nivel I.

La relación maestra

Calcula la «longitud» invariante del cuadrimomento, p·p = E² − |p⃗|², en el sistema donde la partícula está quieta: E = m, p⃗ = 0, luego p·p = m². Como es invariante, vale m² para todos los observadores:

E^2 = |\vec{p}\,|^2 + m^2.

Esta es la ecuación más usada de la física de partículas. Tres lecturas inmediatas. Primera: para una partícula sin masa, E = |p⃗| y β = 1 — el fotón no tiene sistema de reposo. Segunda: γ = E/m y βγ = p/m, las igualdades de trabajo del artículo anterior. Tercera: E, p⃗ y m forman un triángulo rectángulo generalizado — la geometría exacta la dibuja la hipérbola de masa:

La hipérbola de masa: qué cambia y qué no

Un cuadrimomento visto desde distintos observadores: la rapidez y del boost mueve el punto (p, E), pero solo a lo largo de la hipérbola E² − p² = m². Cada observador mide una energía y un momento distintos; la masa es de todos.

Rapidez y del boost 0,80

E141,3 MeV

|p|93,8 MeV

β0,664

γ1,34

√(E²−p²)105,7 MeV = m ✓

Boost intermedio: E y p cambian juntos, pero la combinación E² − p² no se mueve del sitio. Eso es un invariante: el número que todos los observadores comparten.

Ejemplo resuelto 1 · Un GeV no trata igual a todo el mundo

Problema. Un electrón (m = 0,511 MeV) y un protón (m = 938,3 MeV) llevan el mismo momento, p = 1 GeV. Compara sus energías y velocidades.

Solución. Relación maestra dos veces:

E_e = \sqrt{1000^2 + 0{,}511^2} = 1000{,}0001\ \text{MeV}, \qquad E_p = \sqrt{1000^2 + 938{,}3^2} = 1371\ \text{MeV}.

Y como β = p/E: el electrón viaja a β = 0,99999987 y el protón a β = 0,73.

Resultado. A 1 GeV el electrón ya es indistinguible de un rayo de luz (su masa aporta una parte en 10⁷); el protón todavía es un objeto «lento» al que la masa le pesa. La frontera entre ambos regímenes es siempre la misma: comparar p con m. Ultrarrelativista significa p ≫ m, y entonces E ≈ p y la masa deja de importar — la hipérbola pegada al cono de luz del interactivo.

La masa de un sistema

Aquí llega el salto conceptual del artículo. El cuadrimomento de un sistema de partículas es la suma de los individuales, y su longitud invariante define la masa invariante del sistema:

M^2 = \Big(\sum_i E_i\Big)^{\!2} - \Big|\sum_i \vec{p}_i\Big|^2.

Cuidado con la intuición: la masa invariante no es la suma de las masas. Dos fotones — cada uno rigurosamente sin masa — forman en general un sistema con masa. Para el caso de dos fotones la fórmula colapsa a una expresión de tres números medibles:

M_{\gamma\gamma}^2 = 2\,E_1 E_2\,(1 - \cos\theta).

Derivación: la masa de dos fotones

Con p₁·p₁ = p₂·p₂ = 0 (fotones), la masa del par es puro término cruzado:

M^2 = (p_1 + p_2)\cdot(p_1 + p_2) = 0 + 0 + 2\,p_1\cdot p_2 = 2\,(E_1 E_2 - \vec{p}_1\cdot\vec{p}_2).

Para fotones |p⃗| = E, y el producto escalar espacial es E₁E₂cos θ con θ el ángulo de apertura:

M^2 = 2\,E_1 E_2\,(1-\cos\theta).

Dos casos límite que conviene interiorizar: fotones colineales (θ = 0) dan M = 0 — cinemáticamente son un solo fotón; fotones espalda contra espalda (θ = 180°) dan M² = 4E₁E₂, el máximo posible.

Ejemplo resuelto 2 · Reconstruir un π⁰ que nadie vio

Problema. Un calorímetro registra dos fotones: E₁ = 200 MeV, E₂ = 80 MeV, separados θ = 64,5°. ¿De qué partícula vienen?

Solución. Directo a la fórmula:

M^2 = 2 \times 200 \times 80 \times (1 - \cos 64{,}5^\circ) = 32.000 \times 0{,}569 = 18.220\ \text{MeV}^2 \;\Rightarrow\; M = 135\ \text{MeV}.

Resultado. La masa del π⁰ (134,98 MeV) con precisión de calorímetro. Nadie vio el pión — es neutro y vive 8,5×10⁻¹⁷ s — pero sus dos fotones llevan grabada la masa de la madre en sus energías y su ángulo. Este cálculo, repetido millones de veces por segundo, es el pan de cada día de cualquier experimento moderno.

Reconstruye una masa con dos fotones

Dos fotones no pesan nada por separado — pero el sistema sí. Ajusta las energías y el ángulo de apertura y calcula m² = 2E₁E₂(1 − cos θ): si el resultado coincide con una resonancia real, acabas de hacer lo mismo que hace ATLAS con cada pareja de fotones.

E₁ del fotón 1 200,0 MeV

E₂ del fotón 2 80,0 MeV

Ángulo de apertura θ 64,5°

E del par280,0 MeV

|p| del par245,3 MeV

√(E² − p²)135,0 MeV

Compatible con π⁰ → γγ. Fíjate: puedes cambiar E₁, E₂ y θ a la vez (la misma partícula con otro momento) y la masa reconstruida no se mueve — por eso los picos sobreviven aunque cada suceso sea distinto.

Los picos del Nivel I, explicados

En el módulo I.5 jugaste con un histograma en el que un pico del Higgs crecía sobre un fondo suave, y quedó pendiente qué era exactamente el eje horizontal. Ahora tiene fórmula: es M_γγ, la masa invariante de cada pareja de fotones. La razón de que el método funcione es doble, y las dos patas son de este artículo. Primera: si los dos fotones vienen de un bosón de Higgs, su masa invariante reproduce m_H — da igual cuánto momento llevara el Higgs, porque M es invariante: cada suceso, con energías y ángulos completamente distintos, cae en el mismo punto del eje. Segunda: si los fotones son ruido sin parentesco, sus masas invariantes se reparten en un continuo sin estructura. Señal que se apila + fondo que se difumina = pico. Un descubrimiento en física de partículas es ese pico.

El patrón que organiza un siglo. El J/ψ en 1974: pico en M(e⁺e⁻) = 3,1 GeV. El Υ en 1977: pico en M(μ⁺μ⁻) = 9,5 GeV. El Z en 1983: pico en M(e⁺e⁻) = 91 GeV. El Higgs en 2012: picos en M(γγ) = 125 GeV y M(4 leptones) = 125 GeV. Detectores y décadas distintas; la ecuación del eje horizontal, siempre la misma de esta página.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un J/ψ (M = 3.096,9 MeV) se desintegra en reposo a μ⁺μ⁻ (m_μ = 105,7 MeV). Calcula la energía y el momento de cada muón.

Solución

Por simetría cada muón se lleva la mitad de la energía: E = M/2 = 1.548,5 MeV. El momento sale de la relación maestra:

p = \sqrt{E^2 - m_\mu^2} = \sqrt{1548{,}5^2 - 105{,}7^2} = 1.544{,}9\ \text{MeV}.

Casi ultrarrelativistas (p difiere de E un 0,2%). Invertir esta cuenta — medir dos muones y preguntar de qué masa vienen — es exactamente cómo apareció el pico del J/ψ en noviembre de 1974, la «revolución de noviembre» del Nivel I.

Ejercicio 2

Para hijas con masa la fórmula del par se generaliza a M² = m₁² + m₂² + 2(E₁E₂ − p₁p₂cos θ). Un detector mide dos piones cargados (m_π = 139,6 MeV), cada uno con E = 350 MeV, separados θ = 79,8°. ¿Qué partícula se desintegró?

Solución

Momentos: p = √(350² − 139,6²) = 321,0 MeV. Sustituyendo:

M^2 = 2\times 139{,}6^2 + 2\,(350^2 - 321{,}0^2 \cos 79{,}8^\circ) = 247.600\ \text{MeV}^2 \;\Rightarrow\; M = 497{,}6\ \text{MeV}.

Un K⁰ — el kaón neutro del zoo, visto como «V» en las cámaras de burbujas del Nivel I. Cuando en el módulo I.5 identificabas V-partículas por la topología, el ordenador del experimento hacía en paralelo esta aritmética para ponerles nombre y apellido.

Ejercicio 3

(a) ¿En qué caso la masa invariante de dos fotones es exactamente cero? (b) Con eso, explica por qué un fotón solitario — por energético que sea — no puede convertirse en un par e⁺e⁻ en el vacío, y por qué sí puede hacerlo junto a un núcleo (el proceso que llenaba de parejas la cámara de burbujas del Nivel I).

Solución

(a) Solo si θ = 0: fotones exactamente colineales. (b) Un par e⁺e⁻ tiene masa invariante mínima 2m_e = 1,022 MeV (par en reposo relativo). Un fotón solo tiene masa invariante 0, y la masa invariante se conserva en un sistema aislado: 0 ≠ 1,022 MeV, proceso prohibido — no por energía, sino por cinemática pura. Junto a un núcleo el sistema es fotón + núcleo, cuya masa invariante sí supera el umbral: el núcleo absorbe el momento sobrante. La «materialización» que dibujabas en el Nivel I necesita al núcleo no como espectador, sino como socio contable.

Ya tenemos la magnitud reina. El siguiente artículo la pone a trabajar en el problema que fundó la era de los aceleradores: ¿cuánta energía hace falta para crear una partícula nueva? Es la hora de pagar la deuda del Bevatrón.