Todo lo anterior de este módulo supone que existen las moléculas. Durante el siglo XIX eso era una hipótesis — útil, elegante y, para una parte respetable de la física alemana, metafísica pura. «¿Usted ha visto alguno?», preguntaba Ernst Mach. La pregunta era legítima: nadie había visto un átomo, y una teoría que se apoya en objetos invisibles huele a fe. La respuesta llegó de donde nadie miraba — de un botánico escocés que en 1827 se quedó mirando granos de polen a través de un microscopio y no entendió lo que veía.
El temblor que nadie sabía explicar
Robert Brown, estudiando la fecundación de las plantas, observó que los granos de polen suspendidos en agua se movían sin parar, a tirones, en zigzag, sin dirección preferente y sin detenerse jamás. Su primer instinto fue el de cualquiera: es que están vivos. Pero Brown fue un buen científico y comprobó su hipótesis contra sí misma — repitió el experimento con polen de plantas muertas hacía un siglo, con polvo de vidrio, con hollín y hasta con un fragmento pulverizado de la Esfinge. Todo temblaba igual. Aquello no tenía nada que ver con la vida.
El movimiento browniano se quedó setenta y ocho años sin explicación. La razón por la que costó tanto es sutil: a un grano de una micra lo golpean unas 10²⁰ moléculas por segundo desde todos los lados, y esos golpes deberían compensarse perfectamente. Y se compensan… casi. En cada instante hay un pequeño desequilibrio estadístico, y ese desequilibrio residual basta para empujar visiblemente al grano. El temblor del polen es la fluctuación haciéndose visible al microscopio — el único sitio del mundo macroscópico donde se puede mirar el azar molecular a la cara.
Problema. Einstein demostró en 1905 que el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana crece como ⟨x²⟩ = 2Dt, con D = kT/(6πηa). Calcula cuánto se aleja en 1 s, 1 min y 1 h un grano de 1 μm de diámetro en agua (η = 10⁻³ Pa·s).
Solución. D = (1,381×10⁻²³ × 293)/(6π × 10⁻³ × 0,5×10⁻⁶) ≈ 4,3×10⁻¹³ m²/s. Y √(2Dt) da:
Resultado. Fíjate en lo que no hace: en una hora, 3600 veces más tiempo que en un segundo, no avanza 3600 veces más sino 60 — la raíz. Esa es la firma inconfundible de un camino aleatorio, y distinguirla de un movimiento dirigido (que crecería proporcional a t) fue precisamente lo que permitió zanjar el debate: si el temblor fuera una corriente, una vibración del edificio o un efecto vital, no escalaría con la raíz del tiempo. Pero lo verdaderamente explosivo de la fórmula es otra cosa: contiene k, la constante de Boltzmann. Midiendo con un microscopio el zigzag de un grano de polen se despeja k — y con ella el número de Avogadro, porque N_A = R/k y R se conoce desde el laboratorio de química. Contar átomos mirando temblar una mota.
Perrin, o cómo se acaba un debate de un siglo
Jean Perrin hizo el trabajo sucio entre 1908 y 1913: preparó emulsiones de gutagamba con granos de tamaño rigurosamente uniforme (tarea de meses), midió miles de posiciones al microscopio con una paciencia heroica y comprobó la ley de Einstein por cuatro caminos independientes — el zigzag, la rotación browniana, la sedimentación de las emulsiones en el campo gravitatorio (la «atmósfera en miniatura» de la exponencial barométrica) y la difusión. Los cuatro métodos, midiendo cosas distintas, daban el mismo número de Avogadro: unos 6,7×10²³, un 11 % por encima del valor moderno de 6,022×10²³ — una precisión notabilísima para 1908.
Esa convergencia fue el argumento decisivo. Una coincidencia se discute; cuatro métodos independientes apuntando al mismo número, no. En 1909 hasta Wilhelm Ostwald, uno de los últimos escépticos militantes, reconoció públicamente que la hipótesis atómica había quedado probada. Perrin recibió el Nobel en 1926. Boltzmann, que había defendido los átomos contra todos durante treinta años, se había ahorcado en 1906 — dos años antes de que llegaran las medidas que le daban la razón.
Problema. El clásico de la divulgación: ¿respiras moléculas del último aliento de César? Cada respiración son ~0,5 L; la atmósfera, unos 10⁴⁴ moléculas.
Solución. Moléculas por aliento: N = pV/kT = (101 325 × 5×10⁻⁴)/(1,381×10⁻²³ × 293) ≈ 1,25×10²². Suponiendo que ese aliento se ha mezclado uniformemente en toda la atmósfera en dos mil años, la fracción que te toca es N/N_atm, y en tu respiración hay N moléculas, así que el número esperado es N²/N_atm:
Resultado. Una o dos moléculas en cada respiración que haces. El resultado es célebre porque desconcierta en dos direcciones a la vez: la atmósfera es descomunal (10⁴⁴ moléculas) y sin embargo un solo aliento contiene tantas (10²²) que el producto de ambas magnitudes cae, casualmente, en el orden de la unidad. La aritmética escondida es que 10²² es la raíz de 10⁴⁴: cada respiración es a la atmósfera lo que la atmósfera es a una respiración. Ese es exactamente el tipo de número —enorme, contable, con consecuencias medibles— que Perrin puso sobre la mesa para convencer a los escépticos. Los átomos no son una manera de hablar: son objetos que se pueden contar, y la cuenta sale.
1905, el año en que Einstein no descansó. El trabajo sobre el movimiento browniano es de marzo-mayo de 1905, y comparte año con el efecto fotoeléctrico (que le daría el Nobel y fundó la cuántica), la relatividad especial y E = mc². Einstein tenía 26 años y trabajaba en la oficina de patentes de Berna. Lo notable, para este curso, es que él no buscaba explicar a Brown: buscaba demostrar que los átomos existen, y el movimiento browniano fue la herramienta que encontró. En su tesis doctoral, del mismo año, midió N_A por otro camino más (la viscosidad de disoluciones de azúcar). Que un mismo cerebro fundara la cuántica, la relatividad y la prueba definitiva del atomismo en doce meses sigue siendo el episodio más desmesurado de la historia de la física — y el más humillante para el resto de la profesión.
Ejercicios
¿Por qué el movimiento browniano solo se ve en partículas microscópicas? ¿Por qué no tiembla una canica en un vaso, ni un barco en el mar?
Solución
Por dos efectos que van en la misma dirección. Primero, la estadística: si N moléculas golpean por segundo, el desequilibrio relativo típico va como 1/√N, así que cuanto mayor es el objeto —más golpes recibe— más perfectamente se cancelan. Segundo, la inercia: el mismo impulso neto produce una aceleración inversamente proporcional a la masa, y la masa crece con el cubo del tamaño mientras la superficie golpeada solo crece con el cuadrado. Multiplicando ambos factores, el temblor se desploma con el tamaño: visible en un micrón, indetectable en un milímetro, inconcebible en una canica. Es exactamente el mismo argumento del módulo I.3 sobre por qué la flecha del tiempo se ablanda en lo diminuto — las fluctuaciones mandan abajo y desaparecen arriba. Y por eso las bacterias no «nadan» como nosotros: a su escala, el agua es un fluido viscoso agitado por un vendaval térmico constante.
Mach y Ostwald no eran tontos: exigían ver los átomos antes de creer en ellos. ¿Qué tenía la prueba de Perrin que no tenían los éxitos previos de la teoría cinética (presión, calores específicos, leyes de los gases)?
Solución
Los éxitos previos mostraban que los gases se comportan como si estuvieran hechos de partículas — y un positivista puede aceptar eso como un buen modelo de cálculo sin comprometerse con su existencia. Lo que Perrin aportó fue distinto: midió el número. No «los gases se comportan como si hubiera moléculas», sino «hay 6,7×10²³ por mol, y aquí están cuatro maneras independientes de contarlas que coinciden». Un modelo puede ajustar datos; solo un objeto real tiene un número de ejemplares. Ese es el salto epistemológico, y por eso la historia se cita como caso de manual sobre qué convence a los científicos: no la elegancia ni la potencia predictiva, sino la convergencia de medidas independientes. Hoy usamos el mismo criterio para creer en cosas igual de invisibles, del quark a la materia oscura.
El movimiento browniano es un ruido molesto para el ingeniero: limita la precisión de balanzas, sensores y circuitos. Pon algún ejemplo y explica por qué no se puede eliminar sin más.
Solución
En un circuito, la agitación térmica de los electrones produce el ruido de Johnson-Nyquist, una tensión aleatoria en cualquier resistencia cuya potencia vale exactamente 4kTR·Δf — otra vez k, otra vez medible. Los espejos de LIGO tiemblan por ruido térmico y eso limita la detección de ondas gravitacionales; las balanzas de precisión y los microscopios de fuerza atómica pelean con lo mismo. No se puede eliminar porque no es un defecto de fabricación: es la temperatura misma. Las únicas salidas son enfriar (bajar T, con el peaje de Carnot del módulo I.4, que se dispara cerca del cero) o promediar durante más tiempo (el ruido cae como 1/√t, con la misma raíz de siempre). Es la lección final del artículo: el temblor que demostró que los átomos existen es también el suelo de ruido irreducible de toda la instrumentación humana. Los átomos no solo son reales — se notan.