Vuelca una caja con 100 monedas. Saldrán unas 50 caras — 47, 53, por ahí. Vuelca un millón de veces: jamás verás 100 caras. ¿Quién lo prohíbe? Nadie. Cada moneda ignora a las demás y cae como quiere; la secuencia «100 caras» es exactamente igual de probable que cualquier otra secuencia concreta. Lo que pasa es más sutil y más profundo: hay una manera de obtener 100 caras y cien mil cuatrillones de cuatrillones de obtener «unas 50». No has descubierto una fuerza del universo. Has descubierto que contar mata. Ese conteo tiene nombre: entropía.
Macroestados y microestados
El vocabulario que organiza todo el resto del curso: un microestado es la descripción completa (la secuencia exacta de las cien monedas; la posición y velocidad de cada molécula), y un macroestado es lo que se ve desde fuera («53 caras», «café tibio», «gas repartido»). La cantidad crucial es W: cuántos microestados realizan cada macroestado. Y la entropía es su medida en escala logarítmica:
la fórmula que corona la tumba de Ludwig Boltzmann en Viena. La constante k es una vieja conocida: es la misma constante de Boltzmann, 1,380 649×10⁻²³ J/K, con la que el módulo I.1 definía el kelvin. No es coincidencia ornamental — la constante que convierte temperatura en energía es la que convierte conteo en física. El logaritmo, por su parte, hace manejables números monstruosos y convierte productos en sumas: dos sistemas juntos multiplican sus W y suman sus entropías.
Con este vocabulario, el segundo principio se vuelve casi una tautología: los sistemas evolucionan hacia los macroestados con más microestados, porque son más maneras de estar. La entropía crece como crecen los aciertos de quien apuesta siempre al caballo con más papeletas. Míralo ocurrir:
16 partículas empiezan en la mitad izquierda. Quita la pared y observa la única dirección en la que ocurre la historia. Después prueba el botón prohibido: invertir todas las velocidades a la vez.
Estado inicial: todo a la izquierda — un macroestado rarísimo que solo es posible porque la pared lo impone. En cuanto la quites, el sistema explorará sus configuraciones… y casi todas son «mezclado».
Problema. ¿Cuántos microestados tiene el macroestado «100 caras»? ¿Y «50 caras»? Si vuelcas la caja una vez por segundo desde el Big Bang, ¿habrías visto ya las 100 caras?
Solución. «100 caras» lo realiza exactamente 1 secuencia. «50 caras» lo realizan
La probabilidad de las 100 caras es 2⁻¹⁰⁰ ≈ 8×10⁻³¹. Desde el Big Bang han pasado 4,4×10¹⁷ segundos: volcando sin descanso, llevarías cubierta una parte en tres billones del trabajo.
Resultado. Y esto con cien monedas. Un litro de aire tiene 2,7×10²² moléculas; la probabilidad de que todas se metan espontáneamente en la mitad izquierda es 2 elevado a menos ese número — una probabilidad cuyo exponente tiene veintidós cifras. Los físicos no llaman a eso «improbable»: lo llaman imposible sin sonrojarse, porque ninguna otra imposibilidad de la ciencia está tan bien fundada. La flecha del tiempo del artículo 01 es exactamente esta aritmética, escalada a moles.
Por qué «desorden» es mala metáfora
En todas partes leerás que la entropía mide «el desorden». La metáfora funciona un rato y luego cobra intereses. Tres ejemplos donde te traiciona: el aceite y el agua se separan solos — un aparente ordenamiento — porque así las moléculas de agua ganan más configuraciones disponibles; una suspensión de esferas microscópicas cristaliza espontáneamente al concentrarla, formando una red regular, porque el cristal deja a cada esfera más sitio para vibrar que el atasco desordenado; y tu habitación revuelta tiene prácticamente la misma entropía termodinámica que ordenada — los calcetines no son microestados térmicos. La palabra honesta no es desorden: es opciones. La entropía mide cuántas maneras tiene el sistema de estar siendo lo que es. A veces «más opciones» parece desorden. A veces parece un cristal.
Problema. Al fundirse, 1 kg de hielo absorbe 334 kJ a 273 K. En el Nivel II se demuestra que eso equivale a ΔS = Q/T. ¿En cuánto multiplica el número de microestados?
Solución. ΔS = 334 000/273 ≈ 1223 J/K. Invirtiendo S = k·log W, el multiplicador es
Resultado. No es un número grande: es un número cuyo exponente tiene 26 cifras — escribirlo en notación decimal exigiría más ceros que átomos tiene la Tierra. Cada molécula liberada de la red cristalina gana posiciones y orientaciones, y esas ganancias se multiplican entre 3×10²⁵ moléculas. Aquí se ve por qué el calor latente del módulo I.1 «desaparecía» sin subir la temperatura: esos 334 kJ no compraron agitación — compraron opciones. Y por qué el charco jamás recongela solo a temperatura ambiente: hacerlo sería renunciar voluntariamente a un factor e^(10²⁶) de maneras de existir. Las cien monedas eran esto, con veinticuatro órdenes de magnitud menos de dramatismo.
El hombre que discutió con la física de su tiempo. Boltzmann defendió esta visión —los átomos existen, la termodinámica es estadística— durante treinta años contra la élite de la física alemana, que consideraba los átomos una ficción metafísica (Mach: «¿usted ha visto alguno?»). Los ataques fueron feroces; Boltzmann, propenso a la depresión, se ahorcó en Duino en 1906. La historia tiene una crueldad de guion: ese mismo año los experimentos de Perrin sobre el movimiento browniano —los que Mecanario usa para contar átomos— empezaban a darle la razón de forma inapelable. En 1909 hasta el escéptico Ostwald capituló. Sobre la tumba de Boltzmann en Viena no hay disculpas: hay algo mejor, la fórmula S = k·log W presidiendo el mármol.
Ejercicios
Lanzas dos dados. ¿Por qué el 7 es la apuesta racional y el 2 la ingenua? Tradúcelo al vocabulario macroestado/microestado — y di qué pasaría con mil dados y la suma 3500.
Solución
«Suma 7» es un macroestado con 6 microestados (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1); «suma 2» tiene uno solo (1+1). Mismo juego que las monedas: ningún dado prefiere nada, pero los macroestados centrales acumulan realizaciones. Con mil dados, la suma ronda 3500 con una precisión asombrosa: las sumas extremas siguen siendo legales y jamás salen. Esta es la maquinaria completa de la termodinámica en miniatura — sustituye «mil dados» por «10²³ moléculas» y «suma» por «energía repartida», y entiendes por qué las magnitudes térmicas (presión, temperatura) son tan estables y predecibles siendo hijas del puro azar: son promedios sobre números que perdonan cualquier travesura individual.
Barajas bien un mazo de 52 cartas. La probabilidad de que quede exactamente ordenado por palos es 1/52! ≈ 10⁻⁶⁸. Pero cualquier otra ordenación concreta tiene exactamente la misma probabilidad. Entonces, ¿qué tiene de especial «ordenado»?
Solución
Nada, como secuencia — y todo, como macroestado. «Ordenado por palos» es un macroestado que agrupa poquísimas secuencias (unas decenas, según lo estricto que seas); «revuelto» agrupa prácticamente las 8×10⁶⁷ restantes. Al barajar saltas a un microestado al azar, y caes en el macroestado gigante porque es el que ocupa casi todo el espacio. La entropía no es una propiedad de la secuencia individual: es una propiedad de la descripción que te importa. Ahí está la sutileza más honda del capítulo: la entropía cuenta las maneras de realizar lo que decides observar — por eso pudo reaparecer intacta un siglo después en la teoría de la información de Shannon, contando mensajes en vez de moléculas.
¿Deberías temer que todo el aire de tu dormitorio se refugie espontáneamente bajo la cama y te asfixie? Estima el tamaño del peligro y compáralo con algún otro riesgo célebre.
Solución
Que cada molécula esté en el quinto inferior de la habitación tiene probabilidad (1/5) elevada a 10²⁷ — un número cuyo exponente negativo tiene veintisiete cifras. Comparaciones: que te toque el Euromillones cada sorteo de tu vida es ~10⁻⁸ por sorteo; que un mono escriba el Quijote a la primera, ~10⁻²·¹⁰⁶... el aire bajo la cama pierde contra todo. No hay póliza de seguros ni edad del universo que alcance. Y sin embargo — matiz del artículo 01 — en volúmenes diminutos las fluctuaciones de densidad sí ocurren y sí importan: son las que dispersan la luz azul del cielo. El segundo principio no dice «nunca pasa nada raro»: dice que lo raro escala con el número, y el número de tu dormitorio es 10²⁷.