En el módulo I.1 definimos la temperatura de la única manera honesta que teníamos: lo que comparten dos cuerpos en equilibrio térmico. Era una definición operativa, correcta y algo insatisfactoria. Ahora podemos dar la versión de verdad, la que explica por qué el kelvin se define desde 2019 fijando la constante de Boltzmann: la temperatura es la energía cinética media de las partículas, por cada manera que tienen de moverse. Un termómetro no mide calor ni mide grados: mide agitación, en julios, y la traduce a una escala cómoda.
La ecuación que cierra el círculo
Compara la ley experimental de los gases, pV = NkT, con la fórmula cinética del artículo anterior, p = ⅓(N/V)m⟨v²⟩. Las dos describen lo mismo, así que igualando y despejando:
La temperatura es energía cinética media, ni más ni menos, con k como simple factor de conversión entre julios y kelvin. Ese «3» son las tres direcciones del espacio, y ahí asoma un principio más general y más bonito: el teorema de equipartición de la energía: en equilibrio, cada manera independiente que tiene una partícula de moverse se lleva ½kT de energía. Ni una pizca más para las direcciones favoritas: el reparto es escrupulosamente democrático.
La consecuencia se mide en el laboratorio con termómetros corrientes. Un gas monoatómico (helio, argón) solo puede trasladarse: tres grados de libertad, energía interna (3/2)RT por mol y calor específico c_v = 12,5 J/(mol·K). Uno diatómico (N₂, O₂) además puede rotar sobre dos ejes: cinco grados, c_v = 20,8. Y de ahí sale γ = c_p/c_v = 7/5 = 1,40, el número que aparecía en el ciclo Otto del módulo I.4 y en la velocidad del sonido del artículo anterior. El mismo 1,4 que decide el rendimiento de tu motor viene de que las moléculas de aire son palitos que giran.
Problema. ¿Cuánta energía cinética tiene, en promedio, una molécula de aire a 20 °C? Compárala con la energía de un enlace químico típico (unos pocos eV).
Solución. Con T = 293 K:
Resultado. Unas 38 milésimas de electronvoltio, contra los 2–5 eV de un enlace covalente: cien veces menos. Por eso las moléculas no se despedazan al chocar a temperatura ambiente, y por eso el ADN sobrevive dentro de una célula a 37 °C pese al bombardeo constante. Pero la cifra tiene doble filo: k·T ≈ 0,025 eV a temperatura ambiente es exactamente la escala de energía de los enlaces de hidrógeno, de los puentes que pliegan las proteínas y de los procesos de señalización celular. La bioquímica trabaja justo en la frontera donde el ruido térmico es comparable a las fuerzas útiles — ni tan fuerte que lo rompa todo, ni tan débil que nada se mueva. La vida ocurre en la escala de k·T, y no es casualidad: es el único sitio donde la agitación puede ser motor en vez de destrucción.
No todas van igual de rápido
Hasta aquí hemos hablado de medias, y las medias esconden lo interesante. En 1860 Maxwell dedujo cómo se reparten realmente las velocidades, y su distribución de Maxwell-Boltzmann fue el primer uso serio de la estadística en física — un método que entonces era de demógrafos y aseguradoras, no de físicos. La curva es una campana asimétrica: hay una velocidad más probable, una media algo mayor, y una cola larga hacia la derecha con unas pocas moléculas rapidísimas. Esa cola, minoritaria y casi invisible en la gráfica, decide fenómenos enormes.
Las moléculas de un gas no van todas a la misma velocidad: se reparten en esta campana asimétrica que Maxwell dedujo en 1860. Y de su cola derecha —las pocas moléculas rapidísimas— depende algo enorme: qué atmósfera puede retener un planeta.
Con v_rms = 507 m/s frente al umbral de 1867 m/s, Tierra retiene este gas cómodamente. Fíjate en la asimetría de la curva: la media (467 m/s) está a la derecha del máximo (414 m/s) porque la cola rápida pesa más que la lenta. Sube la temperatura y verás la campana aplastarse y estirarse hacia la derecha.
Problema. La velocidad de escape de la Tierra es 11,2 km/s y la del nitrógeno a 288 K es v_rms ≈ 507 m/s: veintidós veces menos. Entonces, ¿por qué la Luna, con 2,4 km/s de escape, no retiene nitrógeno si sus moléculas tampoco llegan?
Solución. Porque lo que escapa no es la molécula media: es la cola. La regla empírica que usan los planetólogos es que un cuerpo retiene un gas durante tiempos geológicos si v_rms < v_esc/6. Para la Luna el umbral es 397 m/s, y el nitrógeno a sus ~390 K de día tiene v_rms ≈ 589 m/s.
Resultado. El factor 6 no es magia: es que la campana cae exponencialmente, así que a un sexto del umbral la fracción de moléculas que superan el escape es minúscula, y a un tercio ya es suficiente para vaciar una atmósfera en unos millones de años. Con este criterio se explica el sistema solar entero: Júpiter retiene hasta el hidrógeno (y por eso conserva la composición original del Sol), Marte perdió el suyo pero conserva el CO₂, y la Tierra está justo en el filo con el helio — el que sale de los pozos de gas natural termina escapándose al espacio, y por eso el helio es un recurso agotable pese a ser el segundo elemento más abundante del universo. Una campana dibujada en 1860 prediciendo qué atmósfera tiene cada planeta.
La cola manda: evaporación y química. El mismo argumento explica dos cosas cotidianas. Primera, por qué un charco se seca a 20 °C aunque el agua «hierva a 100»: las moléculas de la cola rápida tienen energía para romper la tensión superficial y escapar, y al irse las más veloces baja la media — la evaporación enfría porque se lleva selectivamente a las mejores (módulo I.1, el sudor). Segunda, por qué las reacciones químicas se disparan con la temperatura: si una reacción necesita una energía de activación, lo que importa no es la media sino cuántas moléculas superan ese umbral, y esa fracción crece exponencialmente. De ahí la regla de cocina de que diez grados más duplican la velocidad de una reacción — y la ecuación de Arrhenius, que es la cola de Maxwell escrita para químicos. La media describe el gas; la cola decide lo que ocurre.
Ejercicios
Mezclas helio y nitrógeno en un recipiente a 20 °C. ¿Qué moléculas se mueven más rápido? ¿Cuáles tienen más energía cinética media? ¿Y cuáles ejercen más presión?
Solución
El helio se mueve 2,7 veces más rápido (1352 contra 502 m/s), pero ambos tienen exactamente la misma energía cinética media: (3/2)kT no depende de la masa, y en eso consiste el equilibrio térmico. Y la presión parcial de cada gas depende solo de cuántas moléculas hay de cada uno, no de su masa ni su velocidad: si hay el mismo número de cada especie, contribuyen lo mismo. Eso es la ley de Dalton de las presiones parciales, que aquí deja de ser una regla empírica y se convierte en una obviedad: cada molécula golpea la pared por su cuenta, y a la pared le da igual quién la golpea. Nota el detalle elegante: la masa se cancela porque las ligeras compensan con velocidad exactamente lo que les falta de inercia.
La equipartición predice c_v = 12,5 J/(mol·K) para gases monoatómicos y 20,8 para diatómicos, y acierta. Pero para el hidrógeno a temperaturas bajas el valor cae hacia 12,5, como si las rotaciones desaparecieran. ¿Qué está pasando?
Solución
Está pasando la mecánica cuántica, y esta anomalía fue una de las primeras grietas de la física clásica. Los modos de rotación y vibración no admiten cualquier energía: están cuantizados, con un escalón mínimo. Si k·T es menor que ese escalón, el modo no puede activarse en absoluto — se dice que está «congelado» — y deja de recibir su ½kT. El hidrógeno, por ser tan ligero, tiene escalones rotacionales grandes y los congela ya por debajo de ~80 K. La equipartición clásica es, por tanto, un límite de alta temperatura, y su fracaso a baja temperatura es exactamente el mismo fenómeno que hunde la ley de Dulong-Petit en los sólidos fríos y que obligó a Einstein y Debye a cuantizar las vibraciones en 1907. Es el aviso más claro del Nivel I de que este edificio necesita cuántica en el piso de arriba: el Nivel III lo construye.
Marte tiene atmósfera de CO₂ con solo el 0,6 % de la presión terrestre. Con lo de este artículo, ¿por qué la perdió casi toda, si retiene el CO₂ según el criterio de escape?
Solución
El criterio térmico dice que Marte debería conservar el CO₂ (v_rms ≈ 345 m/s frente a un umbral de 838), y de hecho conserva algo. Lo que la vació fue otro mecanismo: al enfriarse su núcleo, Marte perdió el campo magnético, y sin él el viento solar —un chorro de partículas a cientos de km/s— arrancó las capas altas de la atmósfera durante miles de millones de años. La sonda MAVEN midió ese escape en marcha desde 2014. La lección es de método y merece subrayarse: el argumento de Maxwell da la condición necesaria (si v_rms es demasiado alta, el gas se va seguro) pero no la suficiente — hay más maneras de perder una atmósfera que la agitación térmica. La Tierra conserva la suya porque suma las tres condiciones: masa bastante, temperatura moderada y un escudo magnético. Tres suertes, no una.