Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas. Convenio del módulo: α_s(Q) = 2π/(b₀·ln(Q/Λ)) a un lazo con b₀ = 11 − 2n_f/3, y los factores de color se dan cuando hagan falta. La honestidad de siempre: donde el orden más bajo no baste, el problema te lo hará confesar.
La hoja
El τ decae vía W a: eν̄ν, μν̄ν, o dū+ν (por cada color). (a) Cuenta canales y predice BR(τ → eν̄ν) sin QCD: debe darte 1/5 = 20%. (b) Corrige el canal hadrónico con el factor (1 + α_s/π), α_s(m_τ) ≈ 0,33: ¿hacia dónde se mueve el BR? (c) El valor medido es 17,8%. ¿Qué habría medido el mundo si N_c fuera 1 — y por qué este número, que no tiene un solo gluón visible, cuenta colores igual que R?
Pista
(a) 1/(1+1+3). (b) BR = 1/(2 + 3(1+α_s/π)) ≈ 18,8%: la QCD «engorda» los canales de quarks y roba BR a los leptónicos. El 1% que aún falta hasta 17,8 son órdenes superiores: la serie de QCD del τ es famosa por sus coeficientes gordos. (c) Con N_c = 1 saldría 1/3 = 33%. El τ es un contador de colores de bolsillo: ni chorros ni detectores de vértice — pura aritmética de canales.
La φ(1020) es ss̄ (hoja del II.2) y tiene abierto el canal 3π con ~600 MeV de sobra — pero decae al 83% a KK̄ con solo ~30 MeV de espacio fásico. (a) Dibuja los diagramas de quarks de φ → KK̄ y de φ → 3π: ¿qué tiene de raro el segundo? (b) Para aniquilar el par ss̄ hacen falta al menos tres gluones (¿por qué no uno? ¿por qué no dos?). Estima la supresión ~(α_s)³ con α_s(1 GeV) ≈ 0,5. (c) Compara con el dato: Γ(φ)/Γ(ρ) = 4,25/149 ≈ 1/35.
Pista
(a) En φ → 3π las líneas de s no llegan al estado final: el diagrama está «desconectado» — eso es OZI. (b) Un gluón: color no singlete. Dos: prohibido por C para un vector (el mismo argumento que el positronio orto de la hoja del II.6, traducido a gluones). (0,5)³ ≈ 0,1 — el orden correcto. La misma regla explicará el J/ψ estrecho del II.8 y la Υ del III.6.
Con la fórmula de un lazo del módulo (n_f = 5, Λ = 90 MeV), evalúa α_s a Q = 3 GeV: debe darte ≈ 0,23 (el PDG da ≈ 0,25). (a) ¿Por qué el acuerdo empeora al bajar de Q — qué dos ingredientes de la fórmula dejan de ser válidos por debajo del encanto? (b) ¿A qué Q la propia fórmula te grita que ya no es de fiar?
Pista
(a) n_f baja a 4 y luego a 3 al cruzar los umbrales de b y c (b₀ cambia), y los términos de dos lazos pesan cuando α_s crece. (b) Cuando Q → Λ el logaritmo muere y α_s explota: la fórmula anuncia su propio funeral — que es exactamente el confinamiento del artículo 03.
A distancias grandes el potencial qq̄ es V ≈ κ·r con κ ≈ 0,9 GeV/fm. (a) Calcula a qué distancia la energía de la cuerda paga un par qq̄ ligero (2 × 336 MeV constituyentes): debe darte ~0,75 fm. (b) Explica con esto por qué «tirar de un quark» fabrica hadrones y no quarks libres, y por qué los chorros del artículo 04 son la versión ultrarrelativista de esta rotura. (c) ¿Cuántas roturas sufre, en orden de magnitud, una cuerda de 50 GeV?
Pista
(a) κ·r = 2m_q. (b) Romper es más barato que estirar: el vacío fabrica el par y la cuerda se parte en dos cuerdas cortas — recursivamente. (c) Si cada hadrón se lleva ~0,5–1 GeV, decenas: esa es la multiplicidad típica de un chorro del LHC, y los generadores Monte Carlo del III.6.5 hacen exactamente esta contabilidad (modelo de cuerdas de Lund).
Trata el J/ψ como un «átomo» cc̄ con potencial coulombiano de color V = −(4/3)·α_s/r. (a) Con la fórmula de Rydberg adaptada (E ~ [(4/3)α_s]²·μ/2, μ = m_c/2 ≈ 640 MeV) y α_s ≈ 0,3, estima la energía de ligadura: ~50 MeV. (b) La separación medida ψ(2S) − J/ψ es 589 MeV. ¿Qué parte del potencial está haciendo el trabajo pesado? (c) ¿Por qué el mismo modelo coulombiano funciona mejor para el bottomonio (Υ) — y qué tendencia general enuncia eso?
Pista
(b) El término κ·r del problema 4: a los ~0,4 fm del charmonio, la cuerda ya aporta cientos de MeV. (c) El bb̄ es más pequeño y pesado: más cerca del régimen coulombiano y con α_s(m_b) menor — cuanto más pesado el quark, más «hidrógeno» parece su átomo. El espectro completo del charmonio fue, históricamente, la primera medida de la forma entera de V(r).
El intercambio de un gluón entre dos quarks lleva un factor de color C: para qq̄ en singlete (mesón), C = −4/3; para qq en el canal antisimétrico 3̄, C = −2/3; para qq en el 6 simétrico, C = +1/3 (signo negativo = atracción). (a) Con solo esta tabla, explica por qué la naturaleza forma mesones y bariones y no, por ejemplo, «diquarks» libres. (b) En un barión, cada par qq está en el 3̄: comprueba que las tres parejas suman una atracción total comparable a la de un mesón. (c) ¿Qué configuración de color tiene el par qq dentro de un barión vista por el tercer quark, y por qué eso cierra el argumento?
Pista
(a) El diquark 3̄ atrae — pero no es blanco: no puede ser libre. Solo el singlete completo (qq̄ o qqq) sale del confinamiento. (b) 3 parejas × (−2/3) = −2 contra −4/3 del mesón: mismo orden. (c) El par en 3̄ es, en color, «como un antiquark»: el tercer quark lo ve igual que un q ve a un q̄ en un mesón — el barión es un mesón disfrazado, con un antiquark hecho de dos quarks. Esa imagen (diquark) sigue viva en la espectroscopía de exóticos.
Fin de la hoja. Color contado sin ver un gluón, cuerdas que se rompen a precio de mercado y átomos de quarks a medio camino de Coulomb: la QCD elemental completa. La versión profunda — partones, escalado roto, el pión Goldstone — es el módulo III.3, y su hoja te espera allí.