El módulo II.8 cerró el sector de quarks con la matriz CKM: el diccionario unitario entre la base de masas y la que ve el W. Los leptones, en cuanto los neutrinos tienen masa, exigen el suyo — la matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata. La aritmética es un calco (3×3 unitaria: tres ángulos y una fase de CP); los valores, un escándalo comparado. Este artículo presenta la matriz medida, reparte cada ángulo a su experimento, y monta el mapa de masas con sus dos incógnitas abiertas: el orden y la fase.
Tres ángulos, cada uno con su dueño
La matriz PMNS se parametriza igual que la CKM, con tres rotaciones — y la historia experimental asignó cada ángulo a una fuente natural o artificial:
| ángulo | quién lo midió | valor | análogo CKM |
|---|---|---|---|
| θ₁₂ «solar» | Sol (SNO, Borexino) + KamLAND | 33,5° | θ_Cabibbo = 13° |
| θ₂₃ «atmosférico» | Super-K, T2K, NOvA | ~49° | 2,4° |
| θ₁₃ «de reactor» | Daya Bay, RENO (2012) | 8,6° | 0,2° |
| δ (fase CP) | T2K + NOvA (en curso) | ~200° ± 40° | 68° (medida al 5%) |
Léelo por columnas: la CKM es una matriz tímida — casi la identidad, con fugas en potencias de λ = 0,22 (la jerarquía de Wolfenstein). La PMNS es todo lo contrario: dos ángulos grandes y uno mediano. El θ₂₃ ronda los 45° — mezcla máxima, la ν₃ es a partes iguales νμ y ντ — y hasta el «pequeño» θ₁₃ es cuarenta veces el V_ub de los quarks. Juega con la estructura:
Tres ángulos conectan los sabores (νe, νμ, ντ) con los estados de masa (ν₁, ν₂, ν₃). Cada barra muestra la receta de un estado de masa: qué fracción |U|² de cada sabor contiene. Ajusta los ángulos hasta los valores medidos — y compara con la CKM de los quarks, que con la misma estructura eligió ángulos minúsculos.
Cada ángulo tiene su experimento: θ₁₂ lo midieron el Sol y KamLAND, θ₂₃ los neutrinos atmosféricos de Super-K, θ₁₃ los reactores de Daya Bay. Busca el punto donde la ν₃ sea mitad μ mitad τ con una pizca de e: esa es nuestra matriz.
Problema. Con θ₁₂ = 33,5°, θ₂₃ = 49°, θ₁₃ = 8,6°, calcula la composición de sabor de ν₁ y ν₃.
Solución. Fila e de la matriz: |U_e1|² = (c₁₂c₁₃)² = (0,834 × 0,989)² = 0,68; |U_e3|² = s₁₃² = 0,022. Con las filas μ y τ completas:
Resultado. ν₁ es «el neutrino más electrónico» (por eso el Sol, que fabrica ν_e, puebla sobre todo ν₁ y ν₂), y ν₃ es un cóctel casi perfecto μ-τ que apenas sabe de electrones — ese 2% es justamente el θ₁₃ que costó hasta 2012 medir. Nota la diferencia conceptual con los quarks: un quark d es esencialmente un estado de masa con correcciones; un ν_e no es ningún estado de masa — es una superposición 68/30/2 que solo existe como tal en el instante de nacer.
El mapa de masas: dos saltos y dos incógnitas
Las oscilaciones han medido dos diferencias: Δm²₂₁ = 7,5×10⁻⁵ eV² (solar, con signo conocido: m₂ > m₁ — lo fija el efecto de materia del artículo 03) y |Δm²₃₁| = 2,5×10⁻³ eV² (atmosférica, sin signo). Su cociente, ~33, es el que permite tratar cada experimento con la fórmula de dos sabores: las dos oscilaciones viven en escalas de L/E separadas por ese factor 33. Y el signo desconocido deja dos mapas posibles — el ordenamiento de masas normal (m₃ arriba) o invertido (m₃ abajo). JUNO, un detector chino a 53 km de sus reactores diseñado para ver las dos oscilaciones interferir en el mismo espectro, debería zanjarlo esta década.
Problema. Las oscilaciones no miden masas absolutas, pero sí las acotan por abajo. Calcula la masa mínima del neutrino más pesado y la suma mínima Σm en cada ordenamiento.
Solución. Normal (m₁ ≈ 0): m₂ = √(7,5×10⁻⁵) = 0,0087 eV, m₃ = √(2,5×10⁻³) = 0,050 eV; Σm ≥ 0,059 eV. Invertido (m₃ ≈ 0): m₁ ≈ m₂ ≈ 0,050 → Σm ≥ 0,10 eV.
Resultado. Al menos un neutrino pesa 0,05 eV — diez millones de veces menos que el electrón, pero rotundamente distinto de cero. Y el ordenamiento invertido exige Σm ≥ 0,10 eV, ya incómodamente cerca de la cota cosmológica (Σm < 0,12 eV, artículo 04): la cosmología está votando, indirectamente, por el ordenamiento normal. Tres décadas después de Homestake, el cielo sigue siendo el mejor laboratorio de neutrinos.
Ejercicios
En el II.8 la unitariedad de la CKM era un test de precisión (la primera fila suma 1 al 0,03%). Escribe el test análogo para la fila e de la PMNS con los valores medidos. ¿Qué precisión tiene, y qué buscaría una violación?
Solución
|U_e1|² + |U_e2|² + |U_e3|² = 0,68 + 0,30 + 0,022 = 1,00 — pero con errores del ~2%, frente al 0,03% de los quarks: mil veces menos preciso. Una suma ≠ 1 delataría un cuarto neutrino que no participa (¡estéril — el fantasma del módulo II.5!): parte del ν_e «fugándose» a un estado invisible. Varias anomalías de reactor y de fuentes radiactivas coquetearon con esa lectura durante dos décadas; los datos recientes (MicroBooNE, STEREO, KATRIN) las han ido desinflando. La fila e de la PMNS es hoy la búsqueda de estériles más limpia que existe.
¿Por qué la oscilación atmosférica «no ve» el ángulo solar θ₁₂? Estima cuánto avanza la fase solar en el primer máximo atmosférico (L/E = 500 km/GeV).
Solución
Fase solar = 1,27 × 7,5×10⁻⁵ × 500 = 0,048 rad: sin²(0,048) = 0,002 — la oscilación solar aún no ha arrancado (0,2%) cuando la atmosférica ya está en su primer máximo. El factor 33 entre los dos Δm² desacopla los dos fenómenos, y por eso cada experimento se deja analizar con la fórmula de dos sabores del artículo 01: la naturaleza fue amable con los experimentales. JUNO explota lo contrario: se sitúa donde ambas fases son apreciables y la interferencia fina revela el ordenamiento.
Si δ ≈ 200°, los neutrinos violarían CP: P(ν_μ→ν_e) ≠ P(ν̄_μ→ν̄_e). ¿Por qué esta asimetría necesita los tres ángulos distintos de cero — y qué tuvo de providencial el θ₁₃ = 8,6° de 2012?
Solución
Es el mismo teorema que en los quarks (módulo II.8): con dos familias efectivas la fase se puede absorber redefiniendo campos — toda asimetría CP es proporcional al invariante de Jarlskog, J ∝ s₁₂c₁₂·s₂₃c₂₃·s₁₃c₁₃²·sinδ, que se anula si cualquier ángulo es cero. Si θ₁₃ hubiera salido diminuto (como suponían los modelos «tribimaximales» de los 2000), la violación de CP leptónica sería inobservable en la práctica. Salió 8,6° — enorme para lo temido — y J puede llegar a ~0,03, mil veces el de los quarks (3×10⁻⁵). La puerta que la CKM apenas entreabre para la materia del universo, la PMNS podría tenerla de par en par: el artículo 04 recoge esa pista.
Lo que llevas. La PMNS: θ₁₂ = 33,5° (Sol), θ₂₃ ≈ 49° (atmosférico), θ₁₃ = 8,6° (reactores), δ por medir — dos ángulos grandes donde la CKM es casi diagonal, sin que nadie sepa por qué. Dos Δm² separados por un factor 33, un ordenamiento sin decidir y una cota: al menos 0,05 eV de neutrino. Falta ver los ángulos en acción — el Sol convirtiendo con su materia, la Tierra filtrando atmosféricos, los reactores restando — que es el artículo 03.