Hasta 1928, el espín era un parche. Funcionaba — explicaba el efecto Zeeman, el experimento de Stern-Gerlach, la tabla periódica — pero se añadía a mano, como quien pega una etiqueta. La ecuación de Dirac lo cambió de estatus: en ella el espín no es un postulado sino un teorema. Este artículo recorre los tres regalos de las soluciones de energía positiva: el espín obligatorio, el g = 2 gratuito y el signo menos de las 720°.
El espín, o la ecuación no cuadra
La prueba de que el espín está dentro es un cálculo de conservación. En mecánica clásica (y en Schrödinger con potencial central), el momento angular orbital L⃗ se conserva. Con la ecuación de Dirac, no: el álgebra de las matrices α hace que L⃗ no conmute con la energía. Algo falla — o algo falta. Lo que falta es exactamente esto:
el momento angular total, que sí se conserva. El término añadido es un momento angular intrínseco de magnitud ½ construido con matrices de Pauli: el espín. No se eligió — lo exige la consistencia. Cualquier partícula que obedezca la ecuación de Dirac tiene espín ½ o no conserva el momento angular: electrones, muones, quarks y neutrinos eligieron lo primero. La pregunta del Nivel I («¿por qué la materia tiene espín ½?») tiene esta respuesta: porque la materia obedece a Dirac.
g = 2: la deuda, pagada
Segundo regalo. Acopla la ecuación al campo electromagnético (la receta mínima: p⃗ → p⃗ − eA⃗) y toma el límite no relativista. Lo que sale es la ecuación de Pauli con un término magnético cuyo coeficiente ya no es libre:
cuando el análogo clásico (una bola de carga girando) daría g = 1. Ese factor 2 «anómalo» traía de cabeza a los espectroscopistas desde los años 20; Dirac lo obtuvo sin ajustar nada. El factor g del electrón es la firma de una partícula de Dirac puntual — y la pequeña corrección por encima de 2, el α/π de Schwinger del módulo II.4, es la firma de sus lazos. La cuenta completa del magnetismo del electrón: Dios dio el 2; los diagramas, el 0,00232.
Problema. Evaluar el momento magnético de Dirac μ = eħ/2me (el magnetón de Bohr) y la frecuencia de resonancia de espín de un electrón en un campo de 1 tesla.
Solución. El magnetón de Bohr vale
En B = 1 T, los dos estados de espín se separan ΔE = g·μ_B·B ≈ 2 × 5,79×10⁻⁵ = 1,16×10⁻⁴ eV, que corresponde a fotones de frecuencia
Resultado. Los famosos 28 GHz por tesla de la resonancia paramagnética electrónica — microondas de uso diario en química y ciencia de materiales. Cada espectrómetro EPR del mundo está midiendo, rutinariamente, el g = 2 de Dirac (con su corrección de Schwinger incluida en la tercera cifra). Las ecuaciones ganadas con álgebra de matrices terminan en instrumentos de sobremesa.
La vuelta de 720°
Tercer regalo — el más extraño. Un espinor no rota como un vector: bajo una rotación de ángulo θ, sus componentes giran con θ/2. Consecuencia: tras una vuelta completa (θ = 360°), el espinor no vuelve a sí mismo — vuelve a −ψ. Hacen falta dos vueltas. Ese signo parece inobservable (las probabilidades llevan |ψ|²), pero la interferencia lo delata: si giras una parte de un sistema y la recombinas con la otra, el −1 aparece como interferencia destructiva. Se hizo con neutrones en 1975. Compruébalo:
Gira un objeto clásico 360° y vuelve a ser él mismo. Gira un espinor 360° y su orientación vuelve — pero su fase cuántica vale −1. Hace falta el doble de vuelta para volver de verdad. Y ese signo no es filosofía: se mide por interferencia.
Dos haces de neutrones gemelos: uno atraviesa un campo magnético que hace girar su espín; el otro no. Al reunirse, interfieren. Gira el primero y observa.
Ejercicios
En las soluciones de Dirac en movimiento, las dos componentes «pequeñas» del espinor valen ~p/(E+m) veces las grandes. Evalúa ese cociente para un electrón (a) de tubo de rayos catódicos (T = 1 keV, el de Thomson en el Nivel I.1) y (b) de LEP (E = 45,6 GeV). ¿Cuándo es el electrón «genuinamente de cuatro componentes»?
Solución
(a) E = 512 keV, p = √(512² − 511²) = 32 keV: cociente 32/1.023 ≈ 0,03 — el espinor es esencialmente de dos componentes y Pauli-Schrödinger funciona de maravilla. (b) p ≈ E y E + m ≈ E: cociente = p/(E + m) ≈ 45.600/45.600 ≈ 1: las cuatro componentes pesan lo mismo. La estructura completa de Dirac es física de altas energías: a baja velocidad se pliega discretamente sobre la cuántica que ya conocías. Por eso la química no necesita antipartículas (casi: el color del oro y el estado líquido del mercurio son correcciones relativistas — pero esa es otra historia).
El protón tiene g = 5,59 y el neutrón (¡neutro!) g·μ_N distinto de cero. ¿Qué dice el criterio de Dirac (g = 2 para partícula puntual) sobre ellos, y qué módulo de este curso ya te dio la explicación?
Solución
Que no son puntuales: un g tan lejos de 2 (y un imán sin carga neta) delatan estructura interna — fue el primer indicio serio, en los años 30, de que el protón escondía algo. La explicación llegó en el módulo II.2: son tríos de quarks, y la combinación de los momentos magnéticos de tres constituyentes de Dirac (cada uno con su g = 2) reproduce μ_p/μ_n = −3/2 frente al −1,46 medido. El criterio funciona en ambas direcciones: g ≈ 2 certifica elementalidad (electrón, muón), g ≠ 2 exige piezas.
En el experimento de neutrones de 1975, un interferómetro divide el haz en dos caminos y un campo magnético hace precesar el espín solo en uno de ellos. ¿Qué se observa en la intensidad recombinada al aumentar el ángulo de precesión, y por qué esto mide el −1 espinorial?
Solución
La intensidad oscila con periodo 720°, no 360°: con una precesión de 360° los dos caminos interfieren destructivamente (el camino girado vale −ψ), y solo a 720° se recupera el máximo. Si el neutrón fuera un objeto clásico, el periodo sería 360° y nada cambiaría al completar una vuelta. La fase global de un estado es inobservable, sí — pero una fase relativa entre dos ramas es un observable de manual. El signo más raro de la física teórica, medido con una regla de tres de interferometría.
Dos de las cuatro componentes ya tienen sentido: electrón con espín arriba, electrón con espín abajo. Las otras dos siguen siendo un escándalo — energías negativas, un abismo sin fondo bajo los pies de cada átomo. La próxima parada es la solución más audaz de la historia de la física teórica: llenar el abismo, y descubrir que sus burbujas son un mundo nuevo.