En 1973 — cuando el mundo conocía tres quarks y el charm era una hipótesis — dos teóricos japoneses hicieron la pregunta estructural: ¿cuántas generaciones hacen falta para que la mezcla débil pueda violar CP, como los kaones de 1964 exigían? Respuesta: tres. Kobayashi y Maskawa postularon seis quarks para explicar un solo experimento — y la naturaleza les fue dando la razón pieza a pieza: charm (1974), bottom (1977), top (1995), Nobel (2008). Este cierre de nivel presenta su matriz.
De un ángulo a una matriz
Con tres generaciones, el diccionario entre los quarks de la fuerza fuerte y los que ve el W es una matriz CKM unitaria 3×3: cada elemento Vij multiplica el vértice del W que conecta el quark de arriba i con el de abajo j, y su módulo al cuadrado pesa la transición. La estructura medida es de una elocuencia total — casi la identidad, con fugas jerárquicas en potencias del Cabibbo λ = sin θ_C = 0,22 (la jerarquía de Wolfenstein):
Cada casilla dice con qué intensidad el W conecta un quark de arriba con uno de abajo (el área ∝ |V|). Casi la identidad — cada generación prefiere la suya — con fugas en potencias de λ = 0,22. Pulsa cada elemento; activa las potencias para ver la jerarquía de Wolfenstein.
La estructura lo cuenta todo: la diagonal manda (cada generación se casa con la suya), la primera fuga es el Cabibbo λ, y las esquinas — λ³ — son los caminos más raros del universo. En esas esquinas se esconde además una fase compleja irreducible: la única fuente de violación de CP del Modelo Estándar, imposible con dos generaciones y obligatoria con tres. Kobayashi y Maskawa lo escribieron en 1973, cuando solo se conocían tres quarks: la matriz predijo media tabla. Su triángulo de unitariedad espera en el Nivel III.
El pasaporte explica el zoo (otra vez)
Problema. El quark b solo puede decaer «hacia atrás» (b → c con V_cb = 0,041). Estimar la vida del mesón B escalando desde el muón: regla de Sargent (Γ ∝ m⁵, módulo II.3), el factor |V_cb|² y los ~9 canales abiertos del W* (eν, μν, τν con su fase, y 3 colores × (ud̄, cs̄)).
Solución. Con m_b = 4,18 GeV:
Resultado. Medido: 1,5-1,6 ps. Sin la matriz (V_cb ~ 1), el B viviría ~600 veces menos y su vuelo sería invisible: los 0,5 mm de cτ que el módulo II.3 convertía en detectores de vértices — y con ellos toda la física del b, las fábricas de B y la violación de CP medible — existen porque una casilla de la matriz vale 0,04. El pasaporte casi vacío del b es la infraestructura experimental de medio Nivel III.
La fase: por qué existes
El recuento que hizo célebres a Kobayashi y Maskawa (y que harás en el ejercicio 2): una matriz de mezcla 2×2 puede hacerse completamente real — cero violación de CP. Una 3×3 unitaria, no: tras absorber todas las fases convencionales queda una fase compleja irreducible, y una amplitud compleja distingue materia de antimateria. La violación de CP de los kaones (Nivel I.4) necesitaba tres generaciones: por eso la tercera se postuló antes de ver ninguna de sus piezas. El eco cósmico lo contó el Nivel I.8: CP violada es condición de Sájarov para que exista materia — aunque la fase de la CKM, medida hoy con precisión en las fábricas de B, resulta insuficiente por muchos órdenes de magnitud para explicar el universo. La fuente que falta es una de las grandes cazas abiertas (¿la fase de los neutrinos? — Nivel III.4).
Ejercicios
El top es la excepción de la matriz: con V_tb ≈ 1 y m_t = 172,6 GeV > m_W, su W es real y su anchura enorme. Estímala con Γ ≈ (G_F·m_t³)/(8π√2) × 0,88 (el 0,88 es el factor de espacio fásico del W real) y reencuentra la conclusión del módulo II.3.
Solución
El número que el módulo II.3 daba como dato ahora está calculado: el top muere (a Wb, sin freno de matriz) antes del tiempo de hadronización — no hay hadrones con top. Nota la cadena causal completa: V_tb ≈ 1 (matriz) + m_t enorme (Sargent al cubo aquí, no a la quinta: el W es real) → anchura de GeV → el único quark desnudo. Cada rareza del zoo tiene su casilla.
El recuento de Kobayashi-Maskawa: una matriz unitaria N×N tiene N² parámetros reales, de los que N(N−1)/2 son ángulos de rotación y el resto fases. De esas fases, 2N−1 se pueden absorber redefiniendo las fases de los campos de quarks. Cuenta las fases físicas para N = 2 y N = 3.
Solución
N = 2: 4 parámetros = 1 ángulo + 3 fases; absorbibles 2×2−1 = 3 → 0 fases físicas: el mundo de Cabibbo-GIM es real y conserva CP. N = 3: 9 = 3 ángulos + 6 fases; absorbibles 5 → 1 fase física. Con dos generaciones, la violación de CP de 1964 era inexplicable; con tres, obligatoria. Un recuento de parámetros de tres líneas predijo la mitad de la tabla de quarks — candidato serio a la mayor rentabilidad por álgebra de la historia de la física.
Cierre del Nivel II. La ZLineshape del módulo II.3, la G_F de 1934, los 246 GeV del Nivel I.7 y la matriz de hoy usan masas y acoplamientos de W y Z que este nivel tomó siempre como datos. Formula las tres preguntas que quedan sin responder — el temario, exactamente, del Nivel III.
Solución
(1) ¿Por qué m_W = 80,4 y m_Z = 91,2 GeV — de dónde salen esas masas y su cociente? (Teoría electrodébil y ángulo de Weinberg: III.1, con el mecanismo de Higgs en III.2.) (2) ¿Qué fija los acoplamientos del Z a cada fermión — los Γ parciales que usamos para contar familias? (La unificación electrodébil: III.1.) (3) ¿De dónde salen los números de la CKM y la PMNS — las masas y mezclas de fermiones? (El sector de Yukawa: en gran parte, nadie lo sabe — es el problema del sabor, frontera viva del Nivel I.8.) El Nivel II queda cerrado: sabe calcular todo lo que ocurre; el Nivel III preguntará por qué las reglas son estas.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| El vértice | (−i gw/√2)·γμ·(1−γ⁵)/2: el proyector de quiralidad izquierda incorporado de fábrica | art. 01 — la estructura V−A viene de II.5; la derivación desde la simetría, de III.1 |
| Qué lo hace único | Es el único vértice del Modelo Estándar que cambia la identidad — e ↔ νe, u ↔ d — y siempre dentro de un doblete | art. 01 — la beta, la fusión del Sol y la muerte del muón pasan por esta única puerta |
| La debilidad es del propagador | GF/√2 = g²/(8mW²), con gw = 0,65 — el doble que la carga eléctrica (e = 0,303) | art. 01, callout — cobrado en II.4; g y g′ se separan en III.1 |
| El expediente completo, en una línea | Viola P porque el proyector distingue manos · cambia sabores porque conecta miembros de dobletes · es la única que ve al neutrino, que solo tiene mano izquierda que ofrecer | art. 01 — el espejo roto de I.4 y todas las rarezas acumuladas del curso, en cascada |
| El muón, con todas las piezas | Γμ = GF²mμ⁵/(192π³) ⇒ τ = 2,2 μs. Cada símbolo tiene módulo de origen: GF² son los dos vértices, los mW⁴ del denominador son el propagador aplastado, y el m⁵ es Sargent | art. 01, ej. resuelto 1 — la receta de II.3, ahora leída en voz alta; define operativamente GF y con ella los 246 GeV de I.7 |
| Dos topologías para todo el catálogo | Emisión con espectadores (beta del neutrón udd→uud; Λ con s→u; B con b→c) y aniquilación (el u y el d̄ del pión colapsando en un W*, con su constante fπ) | art. 01, ej. 1 |
| Hasta dónde vale el contacto de Fermi | Error relativo mb²/mW² = (4,18/80,4)² = 0,27%: la teoría de 1934 describe la física del b a tres por mil | art. 01, ej. 3 — solo el top (mt > mW) rompe el esquema: su W es real |
| La anomalía demasiado sistemática | Todo lo que cambia extrañeza va ×20 más lento de lo que promete la universalidad. Ni 3 ni 100: veinte, siempre veinte | art. 02 — cuando una anomalía es tan regular, es una constante disfrazada |
| El giro de Cabibbo (1963) | d′ = cos θC·d + sin θC·s, con θC ≈ 13° | art. 02 — la primera pista de que los estados de la fuerza fuerte y los de la débil no son los mismos |
| Reparto, no pérdida | u↔d paga cos²θC ≈ 0,95 y u↔s paga sin²θC ≈ 0,05 (1/0,05 ≈ 20 ✓). Y cos² + sin² = 1: la universalidad queda restaurada, no rota | art. 02 |
| Medir θC con dos gemelas | ΓK(μν)/Γπ(μν) = 5,13×10⁷/3,84×10⁷ = 1,34 = tan²θC × 25,2, donde 25,2 = (fK/fπ)²·(mK/mπ)·[(1−mμ²/mK²)/(1−mμ²/mπ²)]² ⇒ θC = 13,0° | art. 02, ej. resuelto 1 — el Nivel II entero (II.1, II.3, II.5 y fK/fπ del retículo) trabajando en una sola división |
| La ironía del cociente bruto | El kaón, Cabibbo-frenado, muere más rápido que el pión: su masa le regala espacio fásico y le alivia la supresión de helicidad | art. 02 — la supresión es de II.5; medir un ángulo exige entender todo lo demás primero |
| El descuadre histórico | La «GF de los núcleos» salía un ~2,5% menor que la del muón: era cos²θC = 0,95, y la mitad que faltaba estaba en los kaones | art. 02, ej. 1 — dos anomalías pequeñas que se explican mutuamente: la firma de un buen parámetro |
| Cabibbo contra espacio fásico | Λ → p e⁻ν̄ está frenada ×20, pero tiene Q = 177 MeV frente a los 0,78 del neutrón: Sargent (Q⁵) da ~6×10¹¹ a favor. Λ: ~3×10⁻⁷ s. Neutrón: 880 s | art. 02, ej. 2 — cada tasa es fuerza × cinemática, y hay que separar los factores antes de leer cualquiera |
| Por qué no hay Cabibbo leptónico | Una mezcla solo es observable si los estados mezclados se distinguen por otra vía. Con neutrinos sin masa y degenerados, cualquier rotación era indistinguible de ninguna | art. 02, ej. 3 — hasta las oscilaciones de I.6; la PMNS tiene ángulos de 33° y 45° donde los quarks tienen 13° y 2° |
| La puerta prohibida | Corrientes neutras con cambio de sabor: s → d sin tocar la carga. Medido: BR(KL → μ⁺μ⁻) = 7×10⁻⁹, millones de veces menos de lo que predecía Cabibbo solo | art. 03 — en 1970 no era un detalle: era la teoría contradiciendo frontalmente al experimento |
| El mecanismo GIM (1970) | Dale al s su compañero ortogonal s′ = cos θ·s − sin θ·d, acoplado a un cuarto quark: los caminos del u y del c entran con signo opuesto y la amplitud se cancela | art. 03 |
| Lo que no cancela mide una masa | El residuo va como (mc² − mu²)/mW²: Gaillard y Lee dedujeron mc ≈ 1,5 GeV en 1974 | art. 03 — el J/ψ de noviembre era un cc̄ de 3,1 GeV, exactamente donde la cancelación lo pedía; la «revolución» de I.1 tenía guion previo |
| La lección estructural | Unitariedad = filas ortogonales = ausencia de FCNC a primer orden para cualquier ángulo. Las generaciones deben venir completas | art. 03 y ej. 1 — por eso el b (1977) exigía el top dieciocho años antes de poder producirlo |
| Por qué las FCNC son lupas | Doble candado del Modelo Estándar (solo lazos + residuo GIM). En un proceso de BR ~10⁻⁶ como b → s μ⁺μ⁻, una partícula nueva sin candado puede ser un factor 2, no un 1% invisible | art. 03, ej. 2 — la frontera de intensidad de I.8: escuchar donde el Modelo Estándar susurra |
| La matriz CKM | Unitaria 3×3: cada Vij multiplica el vértice del W que conecta el quark de arriba i con el de abajo j, y |Vij|² pesa la transición | art. 04, interactivo |
| Jerarquía de Wolfenstein | Diagonal ≈ 1 · primera fuga λ = sin θC = 0,22 (Cabibbo) · segunda λ² (Vcb = 0,041) · esquinas λ³ (Vub, Vtd), donde vive la fase | art. 04 — resume por qué cada generación decae preferentemente en la anterior; el triángulo se dibuja en III.5 |
| El pasaporte casi vacío del b | τB ≈ τμ(mμ/mb)⁵ / (|Vcb|²·Nef) = 2,2×10⁻⁶ × 1,03×10⁻⁸ / (0,0017 × 9) = 1,5×10⁻¹² s; medido 1,5–1,6 ps | art. 04, ej. resuelto 1 — Sargent (II.3) × una casilla de la matriz × los 9 canales del W* |
| Y por eso existe la física del b | Sin la matriz el B viviría ~600 veces menos: los ~0,5 mm de cτ que hacen visible el vértice desplazado existen porque una casilla vale 0,041 | art. 04 — los detectores de vértices de II.3 y I.5, y con ellos medio Nivel III (III.5 entero) |
| El top no espera a nadie | Γt ≈ GF·mt³/(8π√2) × 0,88 = 1,5 GeV ⇒ τt ≈ 4,4×10⁻²⁵ s. Sargent al cubo, no a la quinta, porque su W es real | art. 04, ej. 1 — II.3 lo daba como dato; ahora está calculado: no hay hadrones con top |
| El recuento que valió media tabla de quarks | Matriz unitaria N×N: N(N−1)/2 ángulos, y de las fases se absorben 2N−1. N = 2: 0 fases físicas, CP conservada. N = 3: 1 fase irreducible | art. 04, ej. 2 — la CP de los kaones de 1964 (I.4) exigía tres generaciones; Kobayashi y Maskawa postularon seis quarks para explicar un experimento |
| Y sin embargo no basta | La fase de la CKM, medida hoy con precisión en las fábricas de B, resulta insuficiente por muchos órdenes de magnitud para explicar el exceso de materia del universo | art. 04 — la condición de Sájarov de I.8 sigue huérfana; III.5 la mide y III.4 busca la fuente que falta |
| Conteo de canales del W | 3 leptónicos + 2×3 hadrónicos = 9 iguales ⇒ BR(W→eν) = 1/9 = 11,1% crudo; con la propina QCD ×(1+αs/π) = 1,038 en los de quarks, 1/9,23 = 10,8% y 67,5% hadrónico frente al 67,4% medido | hoja 05, problema 1 — se desarrolla en III.1; el mismo truco contó colores en el τ (II.7) |
| Regla ΔS = ΔQ | El W que baja un s sube la carga del hadrón. Prohíbe Σ⁺ → n e⁺ν (BR < 5×10⁻⁶) y obliga a que un K⁰ solo dé e⁺ y un K̄⁰ solo e⁻ | hoja 05, problema 2 — esa es la etiqueta de sabor con la que III.5 caza la trampa de la KL |
| Cabibbo en el encanto | BR(D⁰→π⁺π⁻)/BR(D⁰→K⁻π⁺) = 0,146%/3,95% ≈ 0,037 frente a tan²θC = 0,053 (un 30% de desviación es éxito para una simetría). El doblemente suprimido D⁰→K⁺π⁻ tiene BR 1,5×10⁻⁴ | hoja 05, problema 3 — ese canal diminuto es protagonista de la mezcla D⁰-D̄⁰ de III.5 |
| Auditar la segunda fila | |Vcd|² + |Vcs|² + |Vcb|² = 0,0489 + 0,9506 + 0,0017 ≈ 1,001 ± 0,01: cuadra, pero con precisión ~30 veces peor que la primera fila | hoja 05, problema 4 — extraer |Vcs| exige factores de forma de mesones D, donde manda el error del retículo |