Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas. Parámetros de cabecera (Wolfenstein): λ = 0,225, A = 0,83, ρ̄ = 0,16, η̄ = 0,35; y del kaón: |ε| = 2,23×10⁻³, x = Δm·τ_S = 0,47.
La hoja
La fase de ε — la «fase superdébil» φ_SW ≈ 43,5° — no es un número ajustado: sale de la cinemática del sistema K⁰. Demuestra que tan φ_SW = 2Δm/ΔΓ ≈ 2Δm·τ_S = 2x y evalúa: con x = 0,47 debe darte φ ≈ 43°. ¿Qué casualidad numérica del sistema K hace que esta fase quede tan cerca de 45°?
Pista
ΔΓ ≈ Γ_S (la K_L vive 570 veces más: su anchura no pinta). La casualidad: Δm ≈ Γ_S/2 — el reloj de oscilación y el de desintegración corren casi al mismo paso (x ≈ 1/2), sin ninguna razón profunda conocida. El artículo 02 usó este ángulo; ahora sabes de dónde sale.
Con los parámetros de cabecera, calcula: (a) |V_ub| = Aλ³·√(ρ̄²+η̄²) — debe darte ≈ 3,6×10⁻³; (b) |V_td| = Aλ³·√((1−ρ̄)²+η̄²) ≈ 8,6×10⁻³; (c) el invariante de Jarlskog J = A²λ⁶η̄ ≈ 3×10⁻⁵. (d) J es el área (×2) de cualquier triángulo de unitariedad: ¿qué dice su pequeñez sobre la pregunta de Sakharov del artículo 02?
Pista
Aritmética vigilada: λ³ = 0,0114. J ~ 3×10⁻⁵ contra el ~1 que podría ser: la violación CP del SM es geométricamente anémica — toda la CP de los quarks cabe en un triángulo de área diminuta, y por eso la cuenta bariónica del universo no sale con la CKM sola. La η̄ que hace todo esto es una fase: la del artículo 03.
El ángulo β del triángulo es el argumento de (1−ρ̄−iη̄). (a) Calcula tan β = η̄/(1−ρ̄) y de ahí β ≈ 22,5°. (b) Deduce sin 2β ≈ 0,71 y compáralo con lo que mide el canal dorado del artículo 04 (0,70 ± 0,02). (c) Esta comparación junta medidas de |V_ub| (semileptónicas), de mezcla B (Δm_d) y de CP (canal dorado): ¿qué estaría gritando el triángulo si no cerraran?
Pista
El apex (ρ̄, η̄) del interactivo del artículo 03 está sobredeterminado: lados por un lado, ángulos por otro. Que todas las bandas se corten en un punto es el test global de que la única fuente de CP de los quarks es la fase de la CKM. Un descuadre = una amplitud nueva interfiriendo — por eso el triángulo se sigue midiendo con uñas y dientes (LHCb, Belle II).
Para que Γ(B → f) ≠ Γ(B̄ → f̄) hacen falta dos amplitudes A₁ y A₂ hacia el mismo final, con fases débiles (que cambian de signo bajo CP) y fases fuertes (que no) distintas: A_CP ∝ sin(Δφ_débil)·sin(Δδ_fuerte). (a) Demuestra que si Δδ = 0 la asimetría se anula aunque haya fase débil. (b) En B⁰ → K⁺π⁻ se mide A_CP = −8,3%: identifica las dos amplitudes que interfieren. (c) ¿Por qué esta asimetría es «sucia» para extraer la CKM, y qué tiene el canal dorado que lo hace limpio?
Pista
(a) Escribe |A₁+A₂|² − |Ā₁+Ā₂|²: solo sobrevive el término cruzado con ambos senos. (b) El árbol b → u (con fase γ) y el pingüino b → s (con lazo): comparables aquí porque el árbol está CKM-suprimido. (c) La fase fuerte Δδ es QCD no perturbativa: nadie la calcula con precisión — la asimetría se ve pero no se traduce limpiamente. El canal dorado esquiva el problema porque su asimetría viene de la mezcla, con la fase fuerte cancelada: por eso sin 2β es el número de precisión.
En el kaón, la CP directa se mide con Re(ε′/ε) = 1,66×10⁻³. (a) Calcula |ε′| ≈ 3,7×10⁻⁶ y compáralo con |ε|: ¿cuántas veces más pequeño? (b) ¿Por qué la CP directa es tan raquítica en el kaón y tan robusta (−8,3%) en el B del problema 4? (c) Medir ε′ costó 35 años (NA48 y KTeV, 1999). ¿Qué comparación de cuatro tasas lo logró, y por qué esa razón doble cancela casi todos los sistemáticos?
Pista
(a) Seiscientas veces. (b) En el K, las dos amplitudes (ΔI = 1/2 y 3/2) están brutalmente desequilibradas — una interferencia entre un gigante y un enano; en el B, árbol suprimido y pingüino compiten de igual a igual. (c) El doble cociente [Γ(K_L→π⁺π⁻)/Γ(K_S→π⁺π⁻)] / [Γ(K_L→π⁰π⁰)/Γ(K_S→π⁰π⁰)]: flujos, eficiencias y aceptancias se van en las divisiones — el antepasado directo de las dobles razones del oficio moderno.
Los cuatro sistemas neutros que mezclan: x_K = 0,47, x_D ≈ 0,004, x_B = 0,77, x_Bs = 27 (x = Δm/Γ). (a) ¿Qué quarks corren por la caja de cada uno? (b) Explica con GIM y con la CKM por qué el D es el enano (¿qué quark no puede correr por su caja, y qué pesa lo que corre?) y el B_s el gigante. (c) ¿Por qué la mezcla del D tardó hasta 2007 en verse y su CP directa hasta 2019 (ΔA_CP = 1,5×10⁻³), y qué la convierte hoy en frontera?
Pista
(a) K: up-type (c, t con λ⁵); D: down-type (s, b); B y B_s: el top. (b) En la caja del D no corre el top: los internos son s y b — ligeros o CKM-castigados (V_ub·V_cb ~ λ⁵): GIM funciona casi perfecto. En el B_s, el top con V_ts ~ λ²: mezcla frenética (x_s = 27: unas cuatro oscilaciones completas por vida). (c) Efecto minúsculo + fondos de charm enormes: hicieron falta los billones de D de LHCb. Frontera porque el SM predice la CP del charm mal (QCD no perturbativa en plena zona intermedia): cualquier exceso limpio sería oro — y nadie sabe aún leer el 1,5×10⁻³.
Fin de la hoja. Fases derivadas, triángulos sobredeterminados y relojes de cuatro velocidades: la violación CP como sistema de vigilancia del Modelo Estándar. La maquinaria estadística con la que se declaran estas medidas — 5σ, cajas ciegas, dobles cocientes — es el módulo III.6, con su hoja al final.