Dificultad ●○○–●●●, sólo pistas y ninguna solución cerrada. La brújula del módulo cabe en tres avisos, y los tres son el mismo error visto de tres maneras. Primero: todo vive en logaritmos. Ω de cualquier sistema real desborda cualquier calculadora, así que no se exponencia hasta el último paso, y la aproximación de Stirling se aplica a ln Ω, nunca a Ω — la diferencia es el factor 12,6 del ejercicio 1 del artículo 01. Segundo: las tres derivadas de este módulo son a energía fija. (∂S/∂V) vale p/T sólo si el subíndice es E y N; a temperatura fija vale otra cosa y ahí se pierde medio examen. Tercero, y es el que más veces se comete: la masa que entra en λ es la de una partícula, en kilogramos, no la masa molar en gramos, y hay un factorial por cada especie químicamente distinguible, ni uno más ni uno menos.
Calcula con Sackur-Tetrode la entropía molar estándar del neón (M = 20,1797 g/mol), del kriptón (83,798) y del xenón (131,293) a 298,15 K y 1 bar. (a) Da los tres valores con seis cifras. (b) Demuestra que la diferencia entre dos gases nobles cualesquiera depende sólo de sus masas y comprueba tu predicción con tus propios resultados. (c) Explica por qué esta fórmula fracasa para el N₂, cuya entropía molar estándar es 191,609 J/(mol·K), y estima de dónde salen los julios que faltan.
Pista
Camino: las dos fórmulas están en el resumen en frío del artículo 04, y el orden importa: λ primero, n después, S al final. Trampa: la m de λ es la masa de un átomo en kilogramos, M×10⁻³/NA; con la masa molar en gramos el λ sale unos 10¹³ veces mal. Comprobación cruzada para (b): monta S₂ − S₁ en símbolos y comprueba que no sobrevive ni T ni p.
La tabla del artículo 03 recorre cuatro sistemas terrestres. Aquí van cuatro que no están en ella y que estiran el rango veinticuatro órdenes de magnitud. Calcula nλ³ y ordénalos: (a) H₂ (M = 2,016) en una nube molecular interestelar, n = 10¹⁰ m⁻³ a 10 K; (b) vapor de sodio (M = 22,990) a 1000 K y 1 mbar; (c) un condensado de ⁸⁷Rb (M = 86,909) con n = 10²⁰ m⁻³ a 100 nK; (d) neutrones en la corteza de una estrella de neutrones, n = 10⁴⁴ m⁻³ a 10⁸ K. Después: (e) ¿a qué temperatura tendría el rubidio de (c) nλ³ = 1, y qué relación guarda con los 100 nK del enunciado? (f) ¿En cuáles de los cuatro es legítimo dividir por N!?
Pista
Camino: λ para cada masa y temperatura, n de p/kBT en los gases y dado en el enunciado en los demás. Trampa: la temperatura entra en λ³ como T−3/2, así que los ocho órdenes de magnitud que hay entre 100 nK y 10 K valen doce en nλ³; si tu rubidio y tu hidrógeno salen parecidos, has perdido un exponente. Comprobación cruzada: calcula d = n−1/3 y verifica que nλ³ = (λ/d)³ en los cuatro casos, que es la misma cuenta por otro camino.
Un cristal de N átomos tiene n vacantes de Schottky —átomos que se han ido a la superficie dejando el hueco—, y cada una cuesta una energía de formación ε = 1,28 eV. (a) Escribe Ω(n) y la entropía del cristal con energía E = nε. (b) Aplica 1/T = ∂S/∂E y despeja n/N. (c) Evalúalo a 600 K, a 1000 K y en el punto de fusión del cobre, 1357,77 K. (d) Cerca de la fusión se mide una concentración del orden de 2×10⁻⁴. ¿Qué le falta al modelo, y cuánto vale lo que falta?
Pista
Camino: elegir qué n sitios de los N quedan vacíos es Ω = C(N, n); aplica Stirling, deriva respecto de E = nε y despeja del logaritmo. Trampa: 1/T = ∂S/∂E, no ∂S/∂n — falta dividir por ε, y con ε en electronvoltios hay que convertirla o usar kB en eV/K. Comprobación cruzada: tu n/N debe ser adimensional, crecer con T y no pasar nunca de 1/2, que es donde Ω tiene su máximo.
Rehaz el recuento del artículo 03 para un gas ideal monoatómico en d dimensiones, en un «volumen» V de d dimensiones. (a) Obtén S(E,V,N) y comprueba que en d = 3 recuperas Sackur-Tetrode letra por letra. (b) Obtén E(T), la ecuación de estado y el exponente adiabático γ. (c) Evalúa CV molar en d = 2 y compáralo con lo que se mide en una monocapa de argón adsorbida sobre grafito. (d) ¿Cuánto valen γ en d = 1 y d = 2, y qué consecuencia tiene para la velocidad del sonido?
Pista
Camino: la esfera de momentos pasa a tener dN dimensiones, así que usa Vn(R) = πn/2Rn/Γ(n/2+1) con n = dN y aplica Stirling a Γ(dN/2+1). Trampa: el 5/2 de Sackur-Tetrode no es universal — son dos sumandos y sólo uno depende de d. Si te sale 5/2 en d = 2, has arrastrado un 3 donde iba una d. Comprobación cruzada: pon d = 3 al final y tienen que coincidir los tres sitios donde aparece la dimensión, no sólo el corchete.
Un gas de N partículas ultrarrelativistas tiene ε = |p|c en vez de p²/2m. (a) Demuestra que el volumen de la región Σ|pi| ≤ P en el espacio de momentos de 3N dimensiones vale (8π)NP3N/(3N)!. (b) Obtén S(E,V,N). (c) Deduce E = 3NkBT, pV = NkBT y por tanto p = E/3V, y el exponente adiabático γ = 4/3. (d) Compara ⟨ε⟩ con el (3/2)kBT del gas no relativista y di dónde importa la diferencia.
Pista
Camino: no ataques la integral de frente — multiplica por e−sP e integra en P, y la transformada de Laplace factoriza en N copias de ∫d³p e−s|p| = 8π/s³, de cuya potencia de s se lee el volumen. Trampa: la región no es una bola —el radio es E/c pero la frontera es Σ|pi|, no √Σpi²—. Comprobación cruzada: pon N = 1 y tu fórmula tiene que dar el volumen de una bola de radio P.
Un sistema autogravitante en equilibrio cumple el teorema del virial, 2K + U = 0. (a) Demuestra que para un gas ideal monoatómico eso implica E = −(3/2)NkBT y por tanto C = −(3/2)NkB, negativa. (b) Aplícalo al Sol modelado como esfera uniforme (M = 1,98847×10³⁰ kg, R = 6,957×10⁸ m, peso molecular medio μ = 0,61): calcula U, la temperatura media y C, y compara con la temperatura central real, 1,571×10⁷ K. (c) Con L = 3,828×10²⁶ W, calcula el tiempo en que se agotaría la energía que acabas de obtener, |E|/L, y también el tiempo de Kelvin-Helmholtz en su definición convencional tKH = GM²/(RL); explica por qué no son el mismo número y compara los dos con los 4570 millones de años que tiene el Sol. (d) El criterio de estabilidad CV > 0 del módulo II.5 es condición de una de las dos colectividades de este curso y no de la otra. Di de cuál, por qué, y qué le pasa a la equivalencia de colectividades justo aquí.
Pista
Camino: en (a) sólo hay dos ecuaciones, el virial y E = K + U; elimina U entre ellas y mete la equipartición. En (b) el número de partículas sale de la masa y del peso molecular medio. Trampa: la energía de una esfera uniforme es −(3/5)GM²/R, no −GM²/R, y la definición convencional tKH = GM²/(RL) de (c) deja fuera ese 3/5 y también el ½ del virial — por eso los dos tiempos no coinciden. Comprobación cruzada: tu T media, muy por debajo de la central; tu C, negativa y del orden de NkB.
Fin del módulo III.1, y principio del Nivel III. Con esto tienes la maquinaria completa de la colectividad microcanónica: contar microestados con la energía fija, convertir el recuento en entropía con S = kB ln Ω, y sacar de sus tres derivadas la temperatura, la presión y el potencial químico. Con ella has recuperado, sin postular nada, la termodinámica del gas ideal entera —pV = NkBT, E = (3/2)NkBT, CV, Cp y γ— más la entropía de mezcla, el tercer principio y Dulong-Petit, y has cerrado dos deudas que el Nivel II dejó abiertas: la paradoja de Gibbs, con el 1/N!, y el origen de la escala de entropías, con el h³ de Sackur-Tetrode. Lo que todavía no sale de aquí conviene decirlo también: los potenciales termodinámicos F, G y H, sus transformadas de Legendre y las relaciones de Maxwell del módulo II.5. El ejemplo resuelto 2 del artículo 02 llegó al efecto Gough-Joule sin escribir ninguna relación de Maxwell, pero eso fue un atajo de ese problema, no una deducción general. Para los potenciales hace falta la energía libre, y la energía libre es F = −kBT ln Z, que no existe todavía.
Y ahora el problema de la microcanónica, que es su virtud llevada demasiado lejos: exige energía exactamente fija. Eso obliga a calcular volúmenes de hiperesferas cada vez, obliga a que el sistema esté aislado —y casi ningún sistema de laboratorio lo está—, y hace que problemas triviales se conviertan en combinatoria pesada. En este módulo no ha aparecido, deliberadamente, ni una sola vez el factor e−E/kBT, ni la letra Z, ni la palabra «baño térmico»: todo eso es la colectividad canónica, y es el módulo III.2. Allí se cambia energía fija por temperatura fija, la combinatoria se convierte en una suma de exponenciales, y la función de partición Z sustituye a Ω como el objeto del que se deriva todo. La equivalencia de las dos descripciones ya está justificada aquí —el pico de anchura ~1/√N del artículo 04— y también están señaladas sus excepciones, que no son pocas. Con Z resuelto, el paramagneto, el oscilador y el fracaso de la equipartición se hacen en una tarde, y a partir de ahí empieza la física estadística de verdad.