Una resistencia de 1 kΩ a 300 K, sin conectar a ninguna fuente y sin que circule ninguna corriente, tiene entre sus bornes una tensión que fluctúa con 4,07 nanovoltios por raíz de hercio. No depende del material, ni de cómo esté fabricada, ni de si es de carbón o de hilo bobinado: depende sólo de R, de T y de kB. Y la potencia que esa resistencia puede entregar a una carga adaptada, −173,975 dBm por hercio a 290 K, ni siquiera depende de R. Ese número aparece en la primera página de todo manual de radiocomunicaciones y es, sin más, física estadística de equilibrio.
La tensión que aparece sola en los bornes de una resistencia, sin fuente ni corriente. A la izquierda, 200 µs de traza muestreada a 2 MS/s; a la derecha, su periodograma junto a la densidad exacta 4kBTR. Mueva R ocho décadas y vigile la lectura en dBm: no se mueve.
R = 1.00 kΩ, T = 300.0 K, banda Δf = 1.00 MHz. Densidad √(4k_BTR) = 4.07 nV/√Hz; V_rms en la banda = 4.07 µV; potencia disponible −173.83 dBm/Hz (−113.83 dBm en la banda). Periodograma sobre 0 bloques, media 0 (exacto: 1). MIRE LAS DOS GRÁFICAS A LA VEZ. La traza de la izquierda parece tener estructura: rachas, silencios, algo que se diría periódico. La de la derecha dice que no hay ninguna frecuencia preferida — el periodograma es plano a lo largo de tres décadas. Su dispersión no baja sola: cada punto de un solo bloque es una estimación con DOS grados de libertad —|X_k|² es exponencial—, o sea con un 100 % de dispersión, y lo único que la baja es el promedio sobre bloques, como 1/√(bloques). Que una señal así de accidentada tenga espectro plano ES la definición de ruido blanco, y es la razón de que 4k_BTR no dependa de la frecuencia.
Qué está medido y qué está calculado, que aquí no es lo mismo. La traza y el periodograma son simulados: ruido gaussiano blanco con semilla fija 20 260 808, muestreado a 2 MS/s en bloques de 1024, con el periodograma promediado bloque a bloque y el número de bloques a la vista. Todo lo demás —la densidad 4kBTR, el Vrms de la banda, la potencia en dBm y la frontera kBT/h— es exacto. Y el Vrms medido de la traza corresponde a la banda de Nyquist completa, 1 MHz, no a la del mando: la cifra del mando es √(4kBTR·Δf) calculada, y mezclarlas sería presentar como medido algo que no se ha medido. Tres cosas que el panel hace visibles y conviene no olvidar: una traza con aspecto de tener estructura puede tener el espectro perfectamente plano; «el ruido de una resistencia» no es un número mientras no se diga la banda; y la potencia disponible no depende de R, valen −173,975 dBm/Hz a 290 K para cualquier resistencia, que es la razón de que ese número aparezca en la primera página de todo manual de radio.
Repartir una fluctuación por frecuencias: Wiener-Khinchin
Hasta ahora una fluctuación tenía un tamaño, σA. Para hablar de ruido hace falta saber además cómo se reparte en el tiempo, y la herramienta es la densidad espectral de potencia. Con el convenio unilateral —el que usa todo el mundo en el laboratorio, con f ≥ 0 en hercios—:
Ese par de fórmulas es el teorema de Wiener-Khinchin: el espectro de una señal estacionaria es la transformada de Fourier de su autocorrelación, y la varianza total es el área bajo el espectro. La segunda igualdad es la que hay que tener presente: σ² es el espectro integrado sobre toda la banda, de modo que hablar del «ruido» de algo sin decir la banda no significa nada.
Aplíquelo al proceso de Ornstein-Uhlenbeck del artículo 03, cuya autocorrelación es σ²e−t/τ. La integral es elemental y da una lorentziana:
Para la esfera en la pinza óptica del artículo 03, fc = 168,5 Hz y Sx(0)1/2 = 1,24 nm/√Hz. Dos consecuencias que se usan a diario y se olvidan a diario:
| Magnitud | Valor | Qué significa |
|---|---|---|
| Fracción de σ² por debajo de fc | 50 % exacto | La mitad del ruido está por encima de la frecuencia de esquina |
| Por debajo de 10 fc | 93,65 % | Una década de más recoge otro 44 % |
| Por debajo de 100 fc | 99,36 % | Hacen falta dos décadas para el 99 % |
| Ancho de banda equivalente Δfeq | 1/4τ = (π/2)fc | El π/2 que se olvida al estimar el ruido de un filtro RC |
La cola de una lorentziana es larguísima. Quien mida el espectro de una pinza óptica hasta fc y calcule la varianza integrando ahí se deja la mitad, y con ella la mitad de la temperatura — o el doble de la rigidez, según cómo lo despeje. Es el error más común de la calibración espectral y no avisa de ninguna manera.
El teorema, ahora con frecuencias
El artículo 01 relacionó la varianza total con la respuesta a un campo constante. La versión completa relaciona cada frecuencia del espectro con la parte disipativa de la respuesta a esa frecuencia. Si se aplica un campo f(t) = f₀cos(ωt) y la respuesta es ⟨A(t)⟩ = Re[χ(ω)f₀e−iωt], con χ(ω) = χ′(ω) + iχ″(ω), entonces en el límite clásico
y χ″ es exactamente la parte que absorbe energía: la potencia media disipada por el campo es ½ωχ″(ω)f₀². El ruido de un sistema a una frecuencia es proporcional a lo que ese sistema disipa a esa frecuencia. Un sistema que no disipa en una banda tampoco hace ruido en ella; uno que disipa mucho, hace mucho. No hay manera de tener lo uno sin lo otro, y de ahí el nombre.
Honestidad sobre lo que aquí se demuestra y lo que no. La fórmula enmarcada de arriba se toma como resultado: su deducción —respuesta lineal sobre la evolución de Liouville, perturbando con −f(t)A y promediando sobre el equilibrio no perturbado— es estándar y está en los textos guía del nivel, y este artículo no la rehace. Lo que sí se demuestra aquí, y es lo que el módulo necesitaba, son las dos cosas que siguen: que integrada sobre todas las frecuencias devuelve exactamente la versión estática del artículo 01 —vía Kramers-Kronig, comprobado a doce cifras sobre la partícula en la trampa—, y que aplicada al oscilador sobreamortiguado reproduce la lorentziana que ya se había obtenido por Wiener-Khinchin desde la autocorrelación. Dos caminos independientes que llegan al mismo espectro es la comprobación que sostiene el resto del artículo; la deducción microscópica de la fórmula queda fuera, y se dice.
Y ahora la comprobación que ata este artículo con el 01. Las relaciones de Kramers-Kronig, que sólo expresan causalidad, dan χ(0) = (2/π)∫₀∞χ″(ω)/ω dω. Integrando el teorema sobre todas las frecuencias:
Que es exactamente χ = βσA² del artículo 01. Los dos teoremas son uno: la versión estática es la integral de la dinámica. Comprobado sobre la partícula en la trampa —χ(ω) = 1/(k−iωγ), χ″ = ωγ/(k²+ω²γ²)—, la integral (2/π)∫χ″/ω dω da 1/k a doce cifras, y kBTχ(0) = kBT/k es la varianza que ya conocíamos.
Nyquist, 1928: la resistencia como cavidad
Harry Nyquist dedujo la fórmula del ruido térmico el mismo año en que John Johnson lo midió, y su argumento es de una economía extraordinaria porque no usa ningún modelo del interior de la resistencia. Va así.
Conecte dos resistencias iguales R por una línea de transmisión sin pérdidas de longitud L e impedancia característica R, de modo que todo esté adaptado y no haya reflexiones. En equilibrio, cada resistencia entrega a la otra la misma potencia. Ahora cortocircuite los dos extremos a la vez: la energía que viajaba por la línea queda atrapada, y la línea es una cavidad unidimensional con modos separados Δν = c/2L. En cada intervalo de frecuencia Δν hay 2LΔν/c modos, y por equipartición cada uno lleva kBT. Esa energía tardó un tiempo L/c en llegar desde cada resistencia, de modo que la potencia que cada una entregaba era
La potencia disponible de ruido es kBTΔν y no contiene R. Como una fuente de tensión V con resistencia interna R entrega a una carga adaptada R una potencia ⟨V²⟩/4R, la densidad espectral de la tensión en circuito abierto tiene que ser
Ése es el ruido de Johnson-Nyquist, y la deducción no ha mencionado ni electrones, ni colisiones, ni el material: sólo equipartición y una cuenta de modos. Por eso vale para cualquier cosa que disipe.
| R | √(4kBTR) a 300 K | Vrms en 1 MHz | Corriente in = √(4kBT/R) |
|---|---|---|---|
| 50 Ω | 0,910 nV/√Hz | 0,910 µV | 18,2 pA/√Hz |
| 1 kΩ | 4,07 nV/√Hz | 4,07 µV | 4,07 pA/√Hz |
| 10 kΩ | 12,9 nV/√Hz | 12,9 µV | 1,29 pA/√Hz |
| 1 MΩ | 129 nV/√Hz | 129 µV | 129 fA/√Hz |
| 1 GΩ | 4,07 µV/√Hz | 4,07 mV | 4,07 fA/√Hz |
Las dos columnas extremas contienen el mismo contenido físico visto desde dos sitios, y su producto lo demuestra: vn·in = 4kBT = 1,657×10⁻²⁰ W/Hz para toda R. Subir la impedancia no añade ruido: lo traslada de la corriente a la tensión. Y a 77 K la misma resistencia de 1 kΩ da 2,06 nV/√Hz, un factor √(300/77) = 1,97 mejor — que es la razón por la que se enfrían los preamplificadores y no las resistencias de precisión.
Y una consecuencia que se usa al revés: la termometría de ruido Johnson. En ⟨V²⟩ = 4kBTRΔf, si se conocen R y Δf y se mide ⟨V²⟩, sale T. Y sale sin calibrar contra nada: no hace falta un punto fijo, ni un patrón, ni una curva de un fabricante, porque la única constante de la fórmula es kB, que desde 2019 es exacta por definición. Eso convierte una resistencia en un termómetro primario, y es lo que la hace valiosa precisamente donde los demás termómetros fallan: por debajo de 1 K, donde las escalas prácticas se agotan, y en entornos donde no se puede meter un patrón. El precio es la estadística: la incertidumbre relativa de una medida de potencia de ruido es 1/√(Δf·t), de modo que llegar a una parte en 10⁶ exige Δf·t ≈ 10¹², o sea horas de integración con megahercios de banda. La termometría de ruido es exacta y lenta, y ese compromiso está escrito en la misma fórmula que la hace exacta.
Problema. El nodo de lectura de un píxel de una cámara es un condensador C = 10 fF que se pone a un valor de referencia cerrando un interruptor de resistencia R y se abre después para acumular la carga fotogenerada. ¿Cuánto ruido queda en el condensador al abrir el interruptor? Exprese el resultado en voltios y en electrones. ¿Cómo depende de R?
Solución. Mientras el interruptor está cerrado, el conjunto es un filtro RC alimentado por el ruido de Johnson de R. El espectro de la tensión en el condensador es la densidad 4kBTR filtrada por |1/(1+i2πfRC)|², y su integral es
donde se ha usado que el ancho de banda equivalente de un RC es Δfeq = 1/4RC. R se cancela. Con C = 10 fF a 300 K:
Resultado. Que R se cancele es el resultado, y es equipartición pura: ½C⟨V²⟩ = ½kBT, un grado de libertad con su medio kBT, y da igual por qué camino llegue la energía. Una resistencia grande hace más ruido pero con menos banda, y las dos cosas se compensan exactamente. La consecuencia práctica es dura: no se puede reducir el ruido de reinicio mejorando el interruptor, sólo bajando C o bajando T, y bajar C reduce también la carga máxima que el píxel puede almacenar. Cuarenta electrones de ruido harían inservible cualquier cámara astronómica, donde interesan señales de unos pocos fotones. La salida no es física sino de procedimiento y se llama muestreo doble correlacionado: se lee el nivel de referencia después de abrir el interruptor y se resta del nivel con señal, de modo que la tensión aleatoria que quedó atrapada aparece en las dos lecturas y se va en la resta. Con eso el ruido de un sensor científico baja a uno o dos electrones. Es una de las pocas veces en que se puede burlar un límite de fluctuación-disipación, y la razón por la que se puede es instructiva: ese ruido concreto no se está generando continuamente, está congelado desde que se abrió el interruptor, y lo que está congelado se puede medir y restar. El ruido que sigue llegando —el del amplificador, el de disparo de los fotones— no.
Dónde deja de valer: el factor cuántico
La deducción de Nyquist usó equipartición, o sea kBT por modo. Eso es el límite clásico del número de ocupación del módulo III.3, y falla cuando hν deja de ser pequeño frente a kBT. La fórmula correcta sustituye kBT por la energía media del oscilador, punto cero incluido:
| Frecuencia | Scuántica/SNyquist a 300 K |
|---|---|
| 1 GHz | 1,000 000 |
| 100 GHz | 1,000 02 |
| 1 THz | 1,002 1 |
| 2,17 THz | 1,01 (el primer 1 %) |
| 6,25 THz = kBT/h | 1,082 |
| 10 THz | 1,205 |
A temperatura ambiente la corrección no llega al 1 % por debajo de 2,2 THz, así que para toda la electrónica —radio, microondas, incluso ondas milimétricas— Nyquist es exacta. La frontera kBT/h se desploma al enfriar, y ahí está el aviso:
| Temperatura | kBT/h | Régimen |
|---|---|---|
| 300 K | 6,25 THz | Toda la electrónica es clásica |
| 4 K | 83,3 GHz | Un amplificador de microondas ya la roza |
| 20 mK | 417 MHz | Un circuito de qubits está entero por encima |
En un refrigerador de dilución a 20 mK, un resonador de 6 GHz está catorce veces por encima de la frontera: su ruido no es térmico, es el punto cero, y SV → 2Rhf independiente de la temperatura. Enfriar más no sirve de nada. Ese suelo irreducible es el que fija el límite cuántico estándar de un amplificador de microondas, y explica por qué la métrica del campo dejó de ser «temperatura de ruido» para pasar a ser «fotones de ruido añadidos». Honestidad sobre los límites: a esas frecuencias y temperaturas la propia noción de un baño clásico se agota, la fórmula que aparece arriba es la del espectro simetrizado —y hay más de un convenio, con consecuencias observables en la emisión frente a la absorción—, y ése es ya un tema de óptica cuántica, no de este curso.
Problema. Un espejo de galvanómetro cuelga de una fibra de torsión. Su momento de inercia es I = 10⁻¹² kg·m² y el periodo de torsión, 10 s. Un haz reflejado en el espejo se proyecta sobre una escala a 1 m. ¿Cuánto se mueve el punto luminoso a 20 °C? ¿Y qué se puede medir con eso?
Solución. La constante de torsión sale del periodo, κ = I(2π/T₀)² = 10⁻¹²·(0,628 3)² = 3,948×10⁻¹³ N·m/rad. El espejo es un grado de libertad en un baño a T, así que equipartición da ½κ⟨θ²⟩ = ½kBT:
Un espejo gira θ y el haz reflejado gira 2θ, de modo que en una escala a 1 m el punto se desplaza 2·1,013×10⁻⁴·1 m = 0,203 mm. Y al revés: midiendo ⟨θ²⟩ y conociendo κ y T se despeja kB = κ⟨θ²⟩/T, y con ella NA = R/kB.
Resultado. Un objeto macroscópico, visible a simple vista, pesado, hecho de 10²⁰ átomos, pasea dos décimas de milímetro sobre una escala porque tiene medio kBT de energía en su grado de libertad de torsión. Eugen Kappler lo fotografió en 1931 durante horas y midió NA con una precisión mejor que la de Perrin, veintitrés años después y con un aparato de vidrio y latón. La lección que hay que llevarse es la del artículo 01 puesta en el sitio más visible posible: la fluctuación no es cosa de lo pequeño, es cosa de la blandura. Lo que decide la amplitud es el cociente kBT/κ, y κ se puede hacer minúsculo con una fibra fina por muy grande que sea el espejo. De ahí que los experimentos más molestados por el ruido térmico del planeta sean los de los detectores de ondas gravitatorias, cuyos espejos pesan cuarenta kilos y cuelgan de suspensiones deliberadamente blandas: la misma fórmula, el mismo medio kBT y una amplitud térmica total de 2,67 pm cuya densidad espectral hay que mantener por debajo de 10⁻¹⁹ m/√Hz a 100 Hz. Los dos números no son comparables sin la banda —se llevan un factor 2,67×10⁷ √Hz—, y confundirlos es exactamente el error contra el que avisa la sección de Wiener-Khinchin: una cifra de ruido sin su banda no significa nada.
Ejercicios
Wiener-Khinchin sobre el proceso que ya conoce. (a) Calcule Sx(f) a partir de C(t) = σ²e−t/τ y compruebe que ∫₀∞S df devuelve σ². (b) Obtenga la frecuencia de esquina y el ancho de banda equivalente Δfeq = 1/4τ, y compruebe que Δfeq = (π/2)fc. (c) Calcule la fracción de la varianza que queda por debajo de fc, de 10 fc y de 100 fc. (d) Invierta la pregunta: ¿hasta qué múltiplo de fc hay que medir para recoger el 99 % de la varianza, y hasta cuál para el 99,9 %? Compare los dos números y diga qué dice ese salto sobre la cola de una lorentziana. (e) Un espectro con fc = 168,5 Hz se mide con un instrumento que corta en 2 kHz. ¿Qué fracción de la varianza recoge, y qué corrección hay que aplicarle?
Solución
(a) 4σ²∫₀∞e−t/τcos(2πft)dt = 4σ²τ/(1+(2πfτ)²). Su integral en f es (4σ²τ)·(1/2πτ)·(π/2) = σ², usando ∫₀∞du/(1+u²) = π/2.
(b) fc = 1/2πτ por definición de la lorentziana. Δfeq es la banda de un filtro ideal que dejara pasar la misma potencia: S(0)·Δfeq = σ², o sea Δfeq = σ²/4σ²τ = 1/4τ. Y (π/2)fc = π/(4πτ) = 1/4τ. El π/2 es un 57 % de más, y quien estime el ruido de un filtro RC usando fc como banda subestima la potencia en ese factor.
(c) La primitiva es arctan(f/fc) normalizada a π/2: arctan(1)/(π/2) = 1/2 exacto; arctan(10)/(π/2) = 93,65 %; arctan(100)/(π/2) = 99,36 %.
(d) Invirtiendo arctan(f/fc)/(π/2) = F se obtiene f/fc = tan(Fπ/2): para F = 0,99 sale 63,7 fc y para F = 0,999, 636,6 fc. Ganar el último 0,9 % de la varianza cuesta un factor diez en ancho de banda, y ganar el siguiente 0,09 % costaría otro factor diez: la cola de una lorentziana decae como 1/f², así que la varianza que queda por encima de F cae sólo como 1/f. Ésa es la razón de que en el laboratorio nunca se integre el espectro medido hasta el final — se ajusta la lorentziana y se usa su primitiva analítica, que no tiene tope.
(e) 2000/168,5 = 11,87 fc, y arctan(11,87)/(π/2) = 94,65 %. La corrección es dividir por 0,946 5, un 5,6 % de más, y hay que aplicarla siempre: el 5 % que se deja una lorentziana truncada en diez veces su esquina no es despreciable cuando se compite por la tercera cifra.
Presupuesto de ruido, que es lo que se hace con esta fórmula. (a) Calcule √(4kBTR) a 300 K para R = 1 kΩ, 100 kΩ y 10 MΩ, y las corrientes de ruido correspondientes; compruebe que vnin = 4kBT en los tres casos. (b) Un amplificador tiene una tensión de ruido propia de 3 nV/√Hz. ¿A partir de qué resistencia de fuente domina el ruido térmico de la fuente sobre el del amplificador? (c) Demuestre que la potencia disponible es kBTΔf y calcule los dBm/Hz a 290 K y a 300 K; ¿por qué el convenio usa 290 y no 300? (d) Un receptor tiene un factor de ruido de 3 dB: obtenga su temperatura de ruido equivalente. (e) Repita el ejemplo resuelto 1 con C = 1 pF y con C = 1 fF, en voltios y en electrones, y diga qué compromiso de diseño impone el resultado.
Solución
(a) 4,07, 40,7 y 407 nV/√Hz; las corrientes, 4,07 pA/√Hz, 407 fA/√Hz y 40,7 fA/√Hz. El producto es 1,657×10⁻²⁰ W/Hz = 4kBT·300 en los tres, porque vnin = √(4kBTR)·√(4kBT/R) y la R se cancela.
(b) Igualando 3 nV/√Hz = √(4kBTR): R = 9×10⁻¹⁸/(4·1,381×10⁻²³·300) = 543 Ω. Por encima de medio kiloohmio el ruido lo pone la fuente y mejorar el amplificador no sirve de nada — que es el cálculo con el que empieza el diseño de cualquier cadena de medida, y la razón de que exista la especificación de «resistencia óptima de fuente».
(c) La potencia disponible es ⟨V²⟩/4R = 4kBTRΔf/4R = kBTΔf. En dBm/Hz: −173,975 a 290 K y −173,828 a 300 K. El convenio usa T₀ = 290 K porque da casi exactamente −174,0 y porque es una temperatura ambiente realista para una antena que mira a un entorno terrestre; la diferencia con 300 K son 0,15 dB, despreciable en radio y no en metrología.
(d) Te = T₀(F−1) con F = 103/10 = 1,995: Te = 290·0,995 = 288,6 K. Un receptor con 3 dB de factor de ruido añade tanto ruido como si tuviera una segunda antena a temperatura ambiente — que es la manera intuitiva de leer esa cifra.
(e) √(kBT/C): con C = 1 pF, 64,4 µV y 402 electrones; con C = 1 fF, 2,04 mV y 12,7 electrones. El compromiso está a la vista: en electrones conviene C pequeña (ne ∝ √C), y en voltios conviene C grande (V ∝ 1/√C). Como lo que limita la detección de fotones es el número de electrones y lo que limita el margen dinámico es el voltaje que cabe en el nodo, los sensores científicos van a capacidades pequeñísimas y los de consumo, a capacidades grandes. La misma fórmula recomienda cosas opuestas según qué se quiera medir, y ésa es la mitad del oficio.
Dónde se acaba la física clásica. (a) Compruebe que (hf/2)coth(hf/2kBT) tiende a kBT cuando hf ≪ kBT y a hf/2 cuando T → 0, e identifique el segundo término. (b) Calcule el cociente Scuántica/SNyquist a 300 K en 1 GHz, 1 THz y 10 THz, y encuentre la frecuencia donde la desviación llega al 1 %. (c) Calcule kBT/h a 300 K, 4 K y 20 mK y diga, en cada caso, si un circuito de 6 GHz está en régimen clásico. (d) Para un resonador de 6 GHz a 20 mK, calcule el número medio de fotones térmicos ⟨n⟩ = 1/(ehf/kBT−1) y compárelo con el ½ del punto cero; ¿tiene sentido hablar de «enfriar más» ese circuito? (e) Diseñe la fibra, no repita la del ejemplo. Con el mismo espejo (I = 10⁻¹² kg·m²) y la misma escala a 1 m, ¿qué periodo de torsión haría falta para que el punto luminoso pasease un milímetro entero, o sea cinco veces más que en el montaje de Kappler? Y al revés: con una fibra diez veces más rígida que la suya, ¿cuánto pasea? Con los dos resultados, diga cómo escala la amplitud con el periodo y qué le hace eso a la viabilidad del experimento.
Solución
(a) coth x → 1/x + x/3 para x pequeño, de modo que (hf/2)coth(hf/2kBT) → (hf/2)(2kBT/hf) = kBT. Para T → 0, coth → 1 y queda hf/2, que es la energía de punto cero del modo: no es ruido térmico, es el vacío, y no se puede quitar enfriando.
(b) 1,000 000 (1 GHz), 1,002 1 (1 THz) y 1,205 (10 THz). El 1 % se alcanza en 2,17 THz. Toda la electrónica de radio, microondas y ondas milimétricas cabe holgadamente en el régimen clásico a temperatura ambiente.
(c) 6,25 THz, 83,3 GHz y 417 MHz. Un circuito de 6 GHz es clásico a 300 K (6 GHz ≪ 6,25 THz), está por debajo pero ya no es despreciable a 4 K (6/83,3 = 0,072), y está catorce veces por encima de la frontera a 20 mK: allí no hay régimen clásico en absoluto.
(d) hf/kBT = 6,626×10⁻³⁴·6×10⁹/(1,381×10⁻²³·0,02) = 14,4, de modo que ⟨n⟩ = 1/(e14,4−1) = 5,6×10⁻⁷: hay casi un millón de veces menos fotones térmicos que el ½ del punto cero —el cociente exacto es 0,5/⟨n⟩ = 8,95×10⁵—. Enfriar más no cambia nada medible, y ésa es la definición operativa de haber llegado al suelo cuántico. La métrica útil deja de ser la temperatura y pasa a ser cuántos fotones añade el amplificador por encima de ese ½.
(e) Para 1 mm en una escala a 1 m hace falta θ = 0,5 mrad (el factor 2 de la reflexión), o sea κ = kBT/θ² = 1,619×10⁻¹⁴ N·m/rad, y de T₀ = 2π√(I/κ) sale T₀ = 49,4 s: cinco veces más amplitud exige casi cinco veces más periodo, porque θ ∝ 1/√κ ∝ T₀. Con la fibra diez veces más rígida que la de Kappler, en cambio, √⟨θ²⟩ = 32,0 µrad y el punto pasea 0,064 mm: cae sólo como 1/√10 = 3,16, no como 10. Las dos mitades dicen lo mismo desde los dos lados — la amplitud térmica es obstinada, se mueve como la raíz de la rigidez—, y de ahí la consecuencia práctica: hacerla visible es barato (basta afinar la fibra hasta un periodo de medio minuto) y hacerla invisible es imposible, porque exigiría endurecer la suspensión en factores enormes y el instrumento dejaría de servir para lo que servía.
Cierre el círculo: la estática es la integral de la dinámica. (a) Para la partícula sobreamortiguada en una trampa, obtenga χ(ω) = 1/(k−iωγ) resolviendo γẋ + kx = F(t) con F ∝ e−iωt, y separe χ′ y χ″. (b) Compruebe que la potencia media disipada es ½ωχ″(ω)F₀² y que χ″ > 0 para toda ω > 0; ¿qué significaría un χ″ negativo? (c) Calcule (2/π)∫₀∞χ″(ω)/ω dω y compruebe que da 1/k = χ(0). (d) Use el teorema Sx(ω) = (2kBT/ω)χ″(ω) para recuperar la lorentziana del principio del artículo, con cuidado del paso de ω a f y de bilateral a unilateral. (e) Con todo eso, escriba en una frase la relación entre el resultado del artículo 01 y el de éste, y diga cuál de los dos habría bastado para calibrar la pinza óptica y por qué se usan los dos.
Solución
(a) Con x ∝ e−iωt, (−iωγ+k)x = F, luego χ = 1/(k−iωγ) = (k+iωγ)/(k²+ω²γ²): χ′ = k/(k²+ω²γ²) y χ″ = ωγ/(k²+ω²γ²).
(b) La potencia media es ⟨F ẋ⟩, y con F = F₀cos ωt sale ½ωχ″F₀². Que χ″ > 0 significa que el sistema absorbe energía del campo a toda frecuencia, como debe hacer cualquier sistema pasivo. Un χ″ negativo en alguna banda significaría que el sistema entrega energía al campo: es lo que hace un medio con inversión de población, o sea un amplificador o un láser — y en ese caso el teorema de fluctuación-disipación no vale, precisamente porque el sistema no está en equilibrio.
(c) ∫₀∞γ dω/(k²+ω²γ²) = (1/k)·arctan(ωγ/k)|₀∞/1 = π/2k, de modo que (2/π)(π/2k) = 1/k. Y kBT·χ(0) = kBT/k, la varianza del artículo 03.
(d) Sx(ω) = (2kBT/ω)·ωγ/(k²+ω²γ²) = 2kBTγ/(k²+ω²γ²), que es bilateral en ω. Pasar a unilateral en f multiplica por 2 y sustituye ω = 2πf: Sx(f) = 4kBTγ/(k²+(2πf)²γ²), y sacando factor (2πγ)² queda kBT/[π²γ(fc²+f²)] con fc = k/2πγ. La misma lorentziana obtenida antes desde la autocorrelación, ahora desde la respuesta. Los dos factores 2 —el de bilateral a unilateral y el de ω a f— son donde se pierde la mitad de la gente, y la manera de no equivocarse es comprobar siempre que la integral devuelva la varianza conocida.
(e) χ(0) = βσ² es ∫S(ω)dω/2π, o sea que la fluctuación total es el espectro integrado y la susceptibilidad estática es la respuesta integrada. Para calibrar la pinza habría bastado con el resultado estático —medir ⟨x²⟩ y despejar k—, y se usan los dos porque no fallan igual: el método estático necesita la escala del detector en nanómetros y se estropea con cualquier deriva de baja frecuencia, mientras que el espectral separa la deriva del ruido térmico por frecuencias y además da γ como resultado independiente. Dos métodos que se apoyan en el mismo teorema y tienen sistemáticos distintos son mejor que uno, y ésa es la moraleja de método del módulo entero.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa.
Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un
problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una fórmula o una
constante, esta tabla ha fallado. Cada cifra se ha recalculado desde
los datos con scripts/verificar-fluctuaciones.py, no copiado del
párrafo que la enuncia; lo que sale de una raíz o de una integral va refinado
con brentq o quad, y lo único que sale de
una simulación está marcado como tal, con su semilla y su barra de
error.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| El teorema, versión estática | Con H = H₀ − fA: ∂lnZ/∂f = β⟨A⟩, ∂²lnZ/∂f² = β²σA² ⟹ χ = ∂⟨A⟩/∂f = βσA². Única hipótesis: acoplamiento lineal | art. 01 |
| Sus cuatro casos (las tres deudas del curso, saldadas). Ojo al β: las tres primeras parejas usan χ = βσ_A² porque el campo entra como βf; la de la energía usa la identidad de la generatriz ∂²lnZ/∂f_ex² = σ_A², sin β, porque ahí el campo ya es β | (M, H) ⟹ χ = βΣr⟨s₀sr⟩c [III.5]; (N, µ) ⟹ σN²/⟨N⟩ = nkBTκT [III.3]; (−E, β) ⟹ σE² = kBT²CV [III.2]; (V, −p) ⟹ σV² = kBTVκT | art. 01; ejerc. 1 |
| Tercer cumulante y asimetría | κ₃ = −∂³lnZ/∂β³ = kB²T³(2CV + T∂CV/∂T). Gas ideal: κ₃/σ³ = √(8/3N). Dos niveles: ε³x(1−x)/(1+x)³ con x = e−βε, máximo en βε = ln(2+√3) = 1,316 96 | art. 01; ejerc. 1 |
| Anchura relativa | σE/U = √(kB/C). La C decide: gas monoatómico √(2/3N) —1,05×10⁻¹² (1 mol), 8,16×10⁻² (100 átomos)—; sólido 1/√(3N) —5,77×10⁻³ con 10⁴ átomos—; agua líquida (C = 9,08 NkB) 1,82×10⁻⁶ en 1 µm³. Asimetría = 2√(kB/C), o sea el mismo 1/√N ⟹ el pico es gaussiano | art. 01 |
| Fluctuación de temperatura | σE = √(kBT²C), σT = T√(kB/C). Aviso: T no es un observable mecánico; es δE/C. Au de 10 nm (30 900 átomos, C = 1,28×10⁻¹⁸ J/K): ±0,963 K a 293,15 K, o sea 1/√(3N) | art. 01 |
| Microcalorímetro | σE(100 mK, 1 fJ/K) = 73,3 meV; FWHM = 2√(2ln2)σ = 2,354 8σ = 173 meV; E/ΔE = 34 700 a 6 keV. Con C de Debye, σE ∝ T5/2. Para 1 eV FWHM a 100 mK: C = 33,5 fJ/K | art. 01; ejerc. 2 |
| Fluctuación de densidad | σN²/⟨N⟩ = nkBTκT: gas ideal 1 (Poisson), agua 20 °C 0,062 (16 veces más silenciosa), Hg 6,58×10⁻³. CO₂ van der Waals en la isocora crítica: κT = 9b²/2aε ⟹ 4,89 (ε = 10⁻¹), 44,9 (10⁻²), 445 (10⁻³), 4445 (10⁻⁴). Campo medio: γ = 1, subestima frente al 1,237 del Ising 3D | art. 01; ejerc. 3 |
| Tiempo de correlación integrado | error² = (σ²/n)·2τint, τint = ½ + Σt≥1ρ(t), nef = n/2τint. Serie independiente ⟹ τint = ½. τ ∝ Lz, z ≈ 2,17 (Metropolis 2D) ⟹ coste ∝ L4,17: doblar L cuesta ×18 | art. 01 |
| SIMULADO (Metropolis 2D, semilla 20 260 808, L = 32, 3000+10⁶ barridos, muestreo cada barrido) | 0,8 Tc: ⟨|m|⟩ = 0,954 43, σ = 0,014 74, τint = 1,330 ± 0,009, error 2,40×10⁻⁵. Tc: ⟨|m|⟩ = 0,655 93, σ = 0,173 3, τint = 43,6 ± 1,4, error 1,62×10⁻³. Cociente 67 ± 1 ≈ 11,8 × 5,7: dispersión × ralentización crítica. No es universal: crece con L, porque τ ∝ Lz | art. 01 |
| Einstein 1905 (I): la relación | Corriente nula en un campo + exponencial barométrica ⟹ D = µkBT. El campo desaparece del resultado. Primera relación de fluctuación-disipación escrita | art. 02 |
| Einstein 1905 (II): la difusión | Ecuación maestra con φ(Δ) simétrica ⟹ ∂n/∂t = D∂²n/∂x² con D = ⟨Δ²⟩/2τ; solución gaussiana ⟹ ⟨x²⟩ = 2Dt (por eje), 4Dt en el plano, 6Dt en el espacio | art. 02 |
| Stokes-Einstein | D = kBT/6πηa y Drot = kBT/8πηa³; Drot/D = 3/4a², sin kB, T ni η. Esfera de 1 µm en agua 20 °C: D = 0,4286 µm²/s, γ = 9,44×10⁻⁹ kg/s, √⟨x²⟩(1 s) = 0,926 µm (1D), 1,309 (2D), 1,604 (3D); Drot = 1,286 rad²/s (1 rad² en 0,389 s) | art. 02 |
| Radios hidrodinámicos (uso al revés) | a = kBT/6πηD. Lisozima (D = 1,06×10⁻¹⁰ m²/s): 2,02 nm; seroalbúmina (6,1×10⁻¹¹): 3,51 nm. Cociente 1,74 frente a M1/3 = 1,69. No es una dimensión geométrica | art. 02; ejerc. 2 |
| Contar átomos | NA = 2RTt/(3πηa⟨r²⟩) con datos planos; con la fórmula de un eje sale la mitad. Error relativo de ⟨r²⟩ en 2D = 1/√n ⟹ n = 83 para el 11 %, 400 para el 5 %. NA ∝ 1/a: el radio manda | art. 02 |
| La velocidad que no existe | vap = √(4D/Δt) diverge como Δt−1/2: 1,31 µm/s (1 s), 41,4 (1 ms), 1310 (1 µs). Velocidad térmica √(kBT/m) = 1966 µm/s | art. 02 |
| El cruce balístico | τp = m/γ. Sílice 1 µm en agua: 111 ns, recorrido vtτp = 0,22 nm (menor que una molécula de agua). En aire, esfera de 3 µm: 54,6 µs y 20,7 nm, 95 veces más | art. 02; art. 03 |
| Ecuación de Langevin | m v̇ = −γv + ξ, ⟨ξ(t)ξ(t′)⟩ = 2Bδ(t−t′). Equipartición ⟹ B = γkBT: el ruido y el rozamiento no son independientes | art. 03 |
| Lo que sale de ella, exacto | ⟨v(0)v(t)⟩ = (kBT/m)e−|t|/τp; Green-Kubo D = ∫₀∞⟨vv⟩dt = kBT/γ; ⟨x²⟩ = 2D[t − τp(1−e−t/τp)]. En t = τp, ⟨x²⟩/2Dt = e⁻¹; el 99 % en 100 τp | art. 03 |
| Fokker-Planck (Smoluchowski) | ∂P/∂t = −∂J/∂x, J = −(V′/γ)P − D∂P/∂x. Balance detallado J = 0 ⟹ P ∝ e−V/γD, que es Boltzmann si y sólo si γD = kBT. Con D → 2D el estacionario existe igual, a 586,3 K | art. 03 |
| Trampa óptica (Ornstein-Uhlenbeck) | σ∞ = √(kBT/k), σ²(t) = (kBT/k)(1−e−2t/τk), τk = γ/k, fc = k/2πγ. k = 1/10/100 pN/µm ⟹ σ = 63,6/20,1/6,36 nm y τk = 9,44/0,944/0,094 4 ms; fc(10 pN/µm) = 168,5 Hz | art. 03 |
| Kramers | r = [√(V″min|V″max|)/2πγ]·e−ΔV/kBT. Pozo cuártico V₀[(x/L)²−1]²: V″ = 8V₀/L² y 4V₀/L² ⟹ prefactor √32·V₀/2πγL². Error frente al exacto: 12 % con 2 kBT, 2 % con 20. Esfera 0,5 µm, L = 200 nm: τ = 3,08 s (5 kBT), 228 s (10), 29 días (20) | art. 03 |
| Superparamagnetismo | τ = τ₀eKV/kBT. Diez años con τ₀ = 1 ns ⟹ KV/kBT = 40,3. Con K = 2×10⁵ J/m³ a 300 K: V = 834 nm³, cubo de 9,41 nm, esfera de 11,7 nm. Encoger el diámetro un 10 % ⟹ hora y media (÷55 000). A 700 K: 17,3 y 31,6 ms | art. 03 |
| Wiener-Khinchin | SA(f) = 4∫₀∞C(t)cos(2πft)dt, σA² = ∫₀∞S df. Lorentziana: S = 4σ²τ/[1+(2πfτ)²]; Δfeq = 1/4τ = (π/2)fc. Fracción bajo Δf = (2/π)arctan(Δf/fc): 50 % exacto en fc, 93,65 % en 10 fc, 99,36 % en 100 fc; el 99 % exige 63,7 fc y el 99,9 %, 636,6 | art. 04 |
| El teorema, versión dinámica | En el convenio unilateral de este módulo, SA(f) = (4kBT/ω)χ″(ω) con ω = 2πf (forma bilateral en ω: SA(ω) = (2kBT/ω)χ″); potencia disipada ½ωχ″f₀². Con Kramers-Kronig χ(0) = (2/π)∫χ″/ω dω ⟹ σA² = kBTχ(0): la versión estática ES la integral de la dinámica | art. 04 |
| Nyquist | Cuenta de modos + equipartición ⟹ potencia disponible P = kBTΔf, sin R ⟹ SV = 4kBTR. A 300 K: 0,910 (50 Ω), 4,07 (1 kΩ), 12,9 (10 kΩ), 129 nV/√Hz (1 MΩ). in = √(4kBT/R) y vnin = 4kBT = 1,657×10⁻²⁰ W/Hz | art. 04 |
| Potencia de ruido en dBm | −173,975 dBm/Hz a 290 K (T₀ de convenio); −173,828 a 300 K. Temperatura de ruido Te = T₀(F−1): 3 dB ⟹ 288,6 K | art. 04; ejerc. 2 |
| Ruido kTC | ⟨V²⟩ = 4kBTR·(1/4RC) = kBT/C: R se cancela (equipartición del condensador). 10 fF ⟹ 644 µV = 40,2 electrones; 1 pF ⟹ 64,4 µV = 402 e⁻; 1 fF ⟹ 2,04 mV = 12,7 e⁻. Se elimina con muestreo doble correlacionado | art. 04 |
| Límite cuántico | SV = 4R(hf/2)coth(hf/2kBT) → 4kBTR (hf ≪ kBT) y → 2Rhf (T → 0, punto cero). A 300 K la desviación llega al 1 % en 2,17 THz y al 10 % en 6,92 THz. Frontera kBT/h: 6,25 THz (300 K), 83,3 GHz (4 K), 417 MHz (20 mK) | art. 04 |
| Kappler 1931 | ½κ⟨θ²⟩ = ½kBT ⟹ √⟨θ²⟩ = √(kBT/κ). I = 10⁻¹² kg·m², T₀ = 10 s ⟹ κ = 3,948×10⁻¹³ N·m/rad, 101 µrad, 0,203 mm en una escala a 1 m. La fluctuación es cosa de la blandura, no del tamaño | art. 04 |
| Termometría de ruido Johnson | Termómetro primario: la única constante es kB, exacta desde 2019. Incertidumbre relativa 1/√(Δf·t) ⟹ una parte en 10⁶ exige Δf·t ≈ 10¹². Exacta y lenta | art. 04 |
| Lo que este módulo NO cierra | El régimen fuera de equilibrio: J ≠ 0 en Fokker-Planck. Las «temperaturas efectivas» de los sistemas activos no son temperaturas —ajustan la varianza y no predicen la tasa de Kramers—. La memoria hidrodinámica de un líquido denso hace que la autocorrelación caiga como t−3/2 y no exponencialmente: Langevin no la contiene. Y los convenios del espectro cuántico simetrizado, que es óptica cuántica. Todo eso empieza en el III.7 | arts. 03 y 04 |