Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas y sin soluciones. Aquí no hay trazas que evaluar — para eso está el taller —: hay estructura. Qué transforma cómo, qué se conserva y por qué, y dos números famosos que salen de la ecuación con solo mirarla bien.
La hoja
Bajo paridad, ψ → γ⁰ψ. Clasifica cómo transforman los bilineales ψ̄ψ, ψ̄γ⁵ψ y ψ̄γ^μψ (separa la componente temporal de las espaciales): escalar, pseudoescalar, vector. Con eso, responde: ¿por qué la QED — cuyo vértice es ψ̄γ^μψ·A_μ — no puede violar paridad, y qué tuvo que añadir la interacción débil para violarla?
Pista
Inserta γ⁰ a ambos lados y usa que γ⁰ conmuta consigo mismo, anticonmuta con γⁱ y anticonmuta con γ⁵. El fotón A_μ es un vector genuino: vector×vector = escalar. La débil suma V y A en γ^μ(1−γ⁵) — y el producto cruzado V×A es pseudoescalar: ahí vive el experimento de Wu del I.4.
A partir de la ecuación de Dirac (iγ^μ∂_μ − m)ψ = 0 y de su adjunta i(∂_μψ̄)γ^μ + mψ̄ = 0, demuestra en dos líneas que la corriente j^μ = ψ̄γ^μψ cumple ∂_μ j^μ = 0. ¿Qué cantidad física protege esta ley, y por qué esto «cura» el problema de probabilidades negativas que mató a la ecuación de Klein-Gordon en el artículo 01?
Pista
Calcula ∂_μ(ψ̄γ^μψ) con la regla del producto y sustituye las dos ecuaciones: los términos con m se cancelan. La componente j⁰ = ψ†ψ es definida positiva — eso es lo que Klein-Gordon no podía ofrecer. Conservación + positividad = una densidad de probabilidad (o, tras el artículo 03, de carga) decente.
Escribe la ecuación de Dirac en la base quiral con m = 0 y demuestra que se parte en dos ecuaciones independientes de dos componentes — una para ψ_L y otra para ψ_R — que no se hablan entre sí. ¿Qué papel juega exactamente la masa como «teléfono» entre las dos mitades, y por qué esto convierte la quiralidad en un número cuántico exacto solo para fermiones sin masa?
Pista
En la base quiral, el término iγ^μ∂_μ es diagonal por bloques y el término m es puramente antidiagonal: la masa es literalmente el único acoplamiento L↔R. De ahí la frase del artículo 04 — y del III.2: dar masa es casar quiralidades, y el Higgs es el casamentero.
La interferencia entre las componentes de energía positiva y negativa del paquete de ondas de Dirac produce una oscilación (Zitterbewegung) de frecuencia ω = 2mc²/ħ y amplitud ~ħ/(2mc). Evalúa ambas para el electrón: deben darte ω ≈ 1,6×10²¹ s⁻¹ y ~1,9×10⁻¹³ m. Compara la amplitud con el tamaño del átomo y con el radio del protón. ¿Por qué nadie ha «visto» este temblor en un electrón libre — y qué interpretación moderna le da la QFT del anexo?
Pista
Los dos niveles que interfieren distan 2mc² — la frecuencia es esa energía sobre ħ. La amplitud es media longitud de onda Compton: mil veces menor que un átomo. En QFT la interferencia E<0 se relee como el papel de los pares virtuales e⁺e⁻: el «temblor» es la firma de que un electrón localizado a escala Compton ya no es una partícula, sino un campo (anexo A.1).
En un anillo de almacenamiento, el momento de un muón gira con la frecuencia de ciclotrón y su espín gira un poco más rápido: el desfase crece 2π·(a·γ) por vuelta, con a = (g−2)/2 = 1,166×10⁻³. En el experimento g−2 (γ = 29,3): (a) ¿cada cuántas vueltas el espín «dobla» al momento? Debe darte ~29 vueltas. (b) Comprueba la coincidencia numérica aγ ≈ 1/γ y demuestra que ocurre porque γ se eligió γ = 1/√a — el «γ mágico». (c) ¿Qué problema experimental resuelve exactamente esa elección? (Es la razón de que 29,3 no sea negociable.)
Pista
(a) 1/(aγ). (b) Si γ = 1/√a, entonces aγ = √a = 1/γ. (c) Con γ mágico, el término de los campos eléctricos de enfoque en la precesión se anula: puedes enfocar el haz sin ensuciar la medida. El resultado — a_μ con doce cifras discutidas — está en el II.4 y en fronteras/04.
La ecuación de Dirac necesita cuatro componentes: partícula y antipartícula, cada una con dos espines. Majorana propuso que un fermión neutro puede bastarse con dos: partícula ≡ antipartícula. (a) Explica por qué esta opción está prohibida para el electrón pero abierta para el neutrino. (b) ¿Qué término de masa nuevo permite — sin pareja quiral derecha ordinaria? (c) ¿Qué experimento del III.4 decide la cuestión, y qué proceso vería si Majorana tiene razón?
Pista
(a) Identificar partícula y antipartícula exige carga cero en todo: el electrón tiene carga eléctrica; el neutrino, como mucho, número leptónico — y esa es justo la ley que se sacrifica. (b) El término de Majorana conecta ν_L con su propio conjugado — es la mitad del balancín del III.4.4. (c) La desintegración doble beta sin neutrinos: dos electrones y nada más. Si aparece, este problema habrá sido la página más profética de la hoja.
Fin de la hoja. La ecuación ya no es una fórmula: es un organigrama — qué transforma cómo, qué conserva qué, y dónde se esconden la masa, el espín y la antimateria. Los espinores explícitos, con las manos en la masa, te esperan en el taller de trazas (artículo B.1).