La última hoja del curso. Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas — de aritmética de descubrimiento, de máquinas y del oficio del artículo 05. Conversión de cabecera: 1 pb = 10³ fb; radiación por vuelta de un e±: U₀[keV] = 88,5·E⁴[GeV⁴]/ρ[m].
La hoja
A 13,6 TeV, σ(pp → H) ≈ 60 pb y BR(H → γγ) = 0,23%. Para un año bueno del Run 3 (∫L = 60 fb⁻¹): (a) ¿cuántos Higgs se producen? (~3,6 millones). (b) ¿Cuántos H → γγ? (c) Con una eficiencia de selección del 40%, ¿cuántos acaban en el plot — y qué fracción de los Higgs producidos es esa? La moraleja del artículo 02, ahora con tus números.
Pista
N = σ·∫L: cuida las unidades (60 pb = 60.000 fb). Salen ~8.300 γγ y ~3.300 en el plot: una parte por mil de lo producido. El canal de descubrimiento del Higgs tira el 99,9% de los Higgs — y aun así fue el mejor: la escalera de la sección eficaz manda sobre cualquier romanticismo.
(a) Calcula la energía que perdía por vuelta un electrón de LEP2 (E = 104,5 GeV, ρ = 3.096 m): debe darte ~3,4 GeV — ¡un 3% de su energía, cada vuelta! (b) Repite para un protón del LHC (6,8 TeV, ρ = 2.804 m), recordando que U ∝ 1/m⁴: sale ~6 keV. (c) Con estos dos números, justifica: por qué LEP no podía crecer más, por qué el LHC reutilizó su túnel sin ese problema, y por qué el FCC-ee (91 km) puede llegar «solo» hasta el umbral tt̄.
Pista
(b) (m_e/m_p)⁴ = 1/1.836⁴ ≈ 9×10⁻¹⁴. LEP gastaba toda su RF en reponer las pérdidas: cada GeV extra costaba E⁴. El FCC-ee compra con sus 91 km un factor ~3,3 en ρ — que a pérdida fija solo da E ∝ ρ^(1/4), un ×1,35 — y el resto lo pone una planta de RF muchísimo mayor: aun así el tope se queda en ~182,5 GeV por haz (√s ≈ 365 GeV, justo el umbral tt̄). La aritmética del impuesto decide los mapas de carretera de una comunidad entera.
El LHC almacena 2.808 paquetes × 1,15×10¹¹ protones × 2 haces. (a) ¿Cuántos protones en total? (b) Las colisiones los consumen: con σ_tot ≈ 100 mb y L = 2×10³⁴ cm⁻²s⁻¹ en dos puntos de interacción, calcula el ritmo de pérdida y la «vida» del llenado N/(dN/dt): debe darte ~22 horas. (c) Los llenados reales duran ~10–15 h. ¿Qué más mata protones — y por qué aun así conviene «tirar» un haz vivo y rellenar?
Pista
(b) Cada colisión quema un protón de cada haz: dN/dt = 2·σ·L·(nº de IPs) ≈ 8×10⁹ por segundo — ocho mil millones de protones convertidos en física cada segundo. (Finura de operador: la parte elástica de esos 100 mb dispersa a ángulo minúsculo y el protón suele seguir circulando; con la inelástica pura, ~80 mb, saldrían ~28 h.) (c) Gas residual, resonancias de la óptica, halo que roza los colimadores… y la propia L decae al consumirse los paquetes: a las ~12 h, el ritmo de física de un haz cansado pierde contra el de un llenado fresco (más el par de horas de rellenar): la operación del LHC es un problema de optimización continua.
Buscas una partícula nueva y observas cero candidatos con fondo esperado ≈ 0. (a) Estadística de Poisson: ¿cuál es el mayor número medio de sucesos μ compatible al 95% con ver cero? (e^(−μ) = 0,05 → μ = 3). (b) Con ε = 50% y ∫L = 140 fb⁻¹, convierte ese «3» en un límite: σ < 0,043 fb. (c) Traduce: ¿cuántas colisiones pp por cada suceso de esa σ? ¿Y por qué un límite de exclusión es ciencia de primera y no un fracaso — qué mapa dibujan mil límites juntos?
Pista
(b) σ_lim = 3/(ε·∫L). (c) Con σ_inel ≈ 80 mb, una parte en ~10¹⁵: femtobarnios de sensibilidad contra milibarnios de ruido. Las exclusiones son las curvas de nivel del territorio no descubierto: dicen exactamente dónde no está la física nueva y a qué precio se compró saberlo — el «desierto» del fronteras/04 está cartografiado así, límite a límite.
El FCC-ee promete 5×10¹² Z; LEP registró 1,7×10⁷. (a) ¿Cuánto mejora el error estadístico? (√ratio ≈ 540). (b) LEP midió sin²θ_ef = 0,23153 ± 0,00016: ¿qué error puramente estadístico implicaría el tera-Z? (c) Explica por qué ese número es una fantasía sin una revolución paralela en sistemáticos (energía del haz, aceptancias, luminometría, ¡y el error teórico!) — y conecta con la lección del artículo 05: ¿qué se compra con estadística y qué no?
Pista
(b) 0,00016/540 ≈ 3×10⁻⁷: absurdo hoy — el error teórico actual es ~10-100 veces mayor. El tera-Z solo rinde si la teoría calcula a tres lazos electrodébiles y la máquina conoce √s a sub-MeV (resonant depolarization de nuevo, como LEP con las mareas). La estadística compra el derecho a pelear con los sistemáticos; nunca los paga por ti. Es el argumento central del caso científico del FCC-ee — y su mayor riesgo.
El error total de una medida es σ² = σ_est² + σ_sis², con σ_est ∝ 1/√∫L y σ_sis ≈ constante. (a) ¿Cuánta luminosidad extra cuesta bajar el error estadístico a la mitad? (b) Si hoy σ_est = σ_sis, ¿cuánto mejora el error total con ×4 de datos? ¿Y con ×100? (c) Con esta aritmética, justifica dos decisiones reales del programa del LHC: por qué el HL-LHC no es solo «más luminosidad» sino detectores nuevos, y por qué algunas medidas (m_W, sin²θ_ef) puede que nunca mejoren en una máquina hadrónica.
Pista
(b) De √2·σ_sis a √(1,25)·σ_sis: un 21% mejor con ×4; con ×100, apenas un 29% — la pared. (c) Los detectores nuevos (timing, granularidad) atacan σ_sis, que es lo único que queda vivo; y m_W en un pp pelea contra PDFs y escala hadrónica que no bajan con ∫L: por eso el artículo 04 pone esas medidas en la columna del e⁺e⁻. Saber cuándo la estadística deja de comprar es, literalmente, cómo se planifica la próxima máquina.
Fin de la hoja — y de las hojas. Catorce módulos con problemas sin red, más la hoja del taller: si has llegado hasta aquí resolviendo, el curso ya no es del sitio — es tuyo. Queda la trastienda (los anexos A y B) y la costumbre, que es lo que de verdad enseña una hoja de problemas: pelearse un domingo con una cuenta que el lunes parece obvia.