Todo lo anterior era para poder leer esto. La acción del Modelo Estándar cabe en cuatro renglones — la versión de recuerdo cabe en uno, y el CERN la vende en tazas — y cada símbolo es un módulo del curso comprimido. Este artículo la recorre renglón a renglón: qué término fabrica qué física, dónde vive cada uno de los ~28 parámetros, y qué preguntas quedan fuera de la línea. Es, deliberadamente, un examen final que se corrige solo.
Los cuatro renglones
La lagrangiana del Modelo Estándar se lee así, con las páginas del curso como diccionario:
| término | qué es | qué fabrica | dónde lo viviste |
|---|---|---|---|
| −¼F² | energía de los campos de gauge | fotón, gluones, W, Z; vértices 3g, 4g, WWγ | III.1, II.7 |
| iψ̄γ^μD_μψ | materia en movimiento | Dirac + las tres fuerzas en una derivada | II.5, III.1 |
| ψ̄Yψφ + h.c. | las Yukawas | masas de fermiones, CKM, PMNS | III.2, II.8, III.4 |
| |Dφ|² − V(φ) | el sector de Higgs | el sombrero, v = 246, m_W y m_Z, el bosón H | III.2, I.7 |
Problema. El término iψ̄γ^μD_μψ no menciona ninguna fuerza… hasta que expandes la derivada covariante (artículo A.2 + módulo III.1). Hazlo para un quark zurdo tipo u.
Resultado. Al multiplicar por iψ̄γ^μψ, cada sumando es un vértice del curso: el término de g_s es el vértice quark-gluón (II.7), el de g contiene el W (toda la interacción débil del II.8: beta, Cabibbo, la V−A entera) y el de g′, combinado con el anterior vía el ángulo de Weinberg, produce el fotón (ieγ^μ del II.6) y el Z con sus g_V y g_A (III.1). Una sola derivada es el catálogo completo de vértices fermiónicos del Modelo Estándar — la universalidad que el curso comprobó mil veces (mismo e para todos, misma g para todos los dobletes) es que no hay más sitios donde esconder un acoplamiento: la simetría de gauge escribe la derivada, y la derivada escribe la física.
Problema. Reparte los parámetros libres del curso (colisionadores/04) entre los cuatro renglones.
Solución. Renglón F²: los tres acoplamientos g_s, g, g′ (y el ángulo θ de QCD, el colado). Renglón iψ̄Dψ: ninguno — la materia en movimiento no tiene diales: todo lo fija la simetría. Renglón Yukawa: la plantilla entera del sabor — 9 masas cargadas + 4 CKM (+ 7–9 del sector neutrino según Dirac/Majorana). Renglón de Higgs: v y λ (o m_W y m_H).
Resultado. 19 clásicos + neutrinos = ~28, y la distribución es elocuente: los renglones dictados por la simetría (F², iψ̄Dψ) casi no tienen números libres; el renglón Yukawa — el único que la simetría no restringe — acapara veintidós (veinte, si los neutrinos son de Dirac). El «problema del sabor» que el curso persiguió desde el Nivel I.8 tiene dirección postal: vive en un solo término de la lagrangiana, el menos elegante de los cuatro. Si hay una puerta al siguiente piso de la física, la cerradura está ahí.
Los silencios de la línea
Tan informativo como lo que la línea dice es lo que calla. No contiene la gravedad (teoría efectiva aparte, con cita en Planck — artículo A.3). No contiene la materia oscura ni la energía oscura: el 95% del inventario cósmico del Nivel I.8 no tiene término. No explica sus propios números (28 diales sin teoría), ni por qué tres familias, ni por qué este grupo de gauge y no otro, ni de qué está hecho el exceso de materia (III.2, III.4: la línea no fabrica universos habitados). Y su término de neutrinos es una casilla pendiente: ¿Yukawa con ν_R, o el término de Majorana que traería consigo el balancín y la leptogénesis? La línea de la taza no es la teoría final — es la mejor caja de resonancia jamás construida para escuchar dónde suena la siguiente.
Ejercicios
Un último teorema del curso, ahora accesible: en el renglón de las Yukawas, ψ̄_L ψ_R necesita el doblete φ en medio para ser invariante (III.2). Pero ¿por qué los términos fermiónicos aparecen siempre por pares de campos ψ? Conecta con el teorema espín-estadística y con un veterano del Nivel I.
Solución
Los campos fermiónicos anticonmutan (cambiar dos fermiones cambia el signo del estado): un término con un número impar de ψ cambiaría de signo bajo una rotación de 2π — el 720° del módulo II.5 — y no sería ni observable ni invariante Lorentz. De la anticonmutación sale también el principio de Pauli: dos cuantos idénticos en el mismo estado dan un término que es su propio negativo, es decir, cero. El veterano del Nivel I es la tabla periódica entera (y el Δ⁺⁺ que exigió el color, II.7): la química existe porque los campos de materia anticonmutan y los de fuerza no. Espín 1/2 ↔ exclusión; espín entero ↔ acumulación (láseres, condensados): el teorema espín-estadística, regalo de despedida de la teoría de campos.
El término −¼F² parece el más soso, pero para SU(2) y SU(3) esconde F ~ ∂W − ∂W + g·[W,W]: el conmutador añade vértices de tres y cuatro bosones. Recorre el curso y lista qué fenómenos nacieron exactamente de ese conmutador.
Solución
Del [G,G] gluónico: los vértices 3g/4g → antiapantallamiento → libertad asintótica y confinamiento (II.7), los tubos de flujo del Nivel I.3, la Λ vestida que es el 99% de tu masa, los chorros Mercedes. Del [W,W] débil: los vértices WWZ/WWγ medidos en LEP (III.1), la dispersión W_LW_L cuya unitariedad exigió el Higgs (III.2) — el «no-lose theorem» del LHC vivía en un conmutador. La diferencia entre el electromagnetismo (abeliano, fotones que se ignoran) y las otras dos fuerzas (mensajeros que se hablan) es ese corchete: posiblemente el símbolo con más física por carácter de toda la línea.
Cierre del sitio. Escribe — en una frase por renglón — qué le dirías a tu yo de antes del Nivel I sobre cada bloque de la línea. Sin números: solo la idea.
Solución
Una versión posible. F²: «las fuerzas no se postulan — son el precio de exigir simetrías punto a punto, y las que se hablan a sí mismas confinan o casi». iψ̄Dψ: «toda la materia es un solo tipo de ecuación, y una derivada le administra las tres fuerzas sin un solo número libre». Yukawa: «las masas no son propiedad de las partículas: son su fricción con un vacío que eligió, y ahí vive todo lo que no entendemos del sabor». |Dφ|² − V: «el vacío es un condensado con forma de sombrero; su rigidez es la debilidad de la fuerza débil, y su excitación se encontró en 2012». Y la coda del anexo: «debajo de todo no hay bolitas — hay campos, y tú también eres su manera de vibrar». Fin del curso. Las preguntas abiertas quedan donde deben: abiertas, y ahora sabes exactamente dónde.
Anexo completo — y Particulario, terminado. Cuatro piezas de trastienda: el campo como única realidad (las partículas son escalones), la suma de historias como fábrica de las reglas (con el propagador derivado), los infinitos como aviso de escala (y toda teoría como efectiva), y la línea que comprime el curso. Para seguir de verdad: Zee (QFT in a Nutshell) como paseo, Schwartz como curso, Peskin & Schroeder como taller. Del electrón al Higgs — y de la primera cámara de niebla a la taza del CERN. Gracias por leer hasta la última línea, que resultó ser una lagrangiana.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Por qué campos y no partículas | Relatividad + cuántica ⇒ el número de partículas no se conserva, y ninguna función de onda de una partícula describe un par que se crea | art. 01 |
| La frontera, con números | Longitud de Compton ħ/mc = ħc/mc²: electrón 386 fm · protón 0,21 fm · Higgs 1,6×10⁻³ fm. Por debajo, «una partícula» deja de ser un concepto coherente | art. 01, ej. 1 — el protón mide ~0,84 fm, cuatro veces su propia Compton: el «mar» de III.3 no era una metáfora |
| Partícula = escalón | Un campo libre es una colección de osciladores, uno por modo k, con ωk = √(k² + m²); «n cuantos en el modo k» son n partículas de momento k | art. 01, interactivo |
| Tres misterios disueltos | (1) todos los electrones son idénticos porque un estado solo dice cuántos cuantos hay; (2) crear es sumar un entero, no meter una canica; (3) E² = p² + m² es la frecuencia de un oscilador | art. 01, ej. resuelto 1 — paga la relación maestra que II.1 postulaba |
| El inventario | 17 especies de campo: 12 de materia, el fotón, el gluón (ocho componentes de color), W/Z y el de Higgs | art. 01 — todo el zoo de I.2 son sus escalones y sus compuestos |
| El vacío no está vacío | Cada oscilador conserva su ½ħω aunque n = 0: el vacío es el estado fundamental de todos los campos, no su ausencia | art. 01 — la polarización que hace correr α (II.6), el condensado quiral (III.3) y el vacío de Higgs (III.2) cobraban de esa cuenta |
| Casimir | P = π²ħc/(240·d⁴) = 13 Pa a d = 100 nm. La firma delatora es d⁻⁴: pura geometría de modos recortados, sin escala de material | art. 01, ej. resuelto 2 — medido al 1% desde los 2000; la energía del vacío se aprieta con tornillos |
| Y su factura impagable | Sumar ½ħω hasta el recorte de Planck da ~10⁷⁶ GeV⁴ ≈ 2×10¹¹³ J/m³ frente a los ~6×10⁻¹⁰ J/m³ de la energía oscura: ~120 órdenes | art. 01, ej. 3 — el problema de la constante cosmológica de I.8 y fronteras/03, ahora con mecanismo |
| El principio dinámico | Amplitud = suma sobre todas las historias, cada una con fase eiS/ħ. Nada más | art. 02 |
| De dónde sale Newton | Pelota de 100 g a 3 m/s durante 1 s: S/ħ ~ 0,5/1,05×10⁻³⁴ ~ 5×10³³ radianes ⇒ solo sobrevive el entorno de la acción estacionaria. Electrón atómico: S/ħ ~ unidades | art. 02, ej. resuelto 1 — la frontera clásico/cuántico es de acción, no de tamaño |
| De dónde salen los diagramas | Desarrollar en serie el término de interacción: cada término es un diagrama y cada vértice, una potencia del acoplamiento | art. 02 — el «juego» de II.4 era la taquigrafía de una serie de Taylor |
| Leer vértices en la lagrangiana | Cuenta los campos multiplicados y tendrás las patas: g·ABC son tres; λφ⁴ (el autoacoplamiento que persigue el HL-LHC), los cuatro gluones y el WWZZ son cuatro | art. 02, ej. 1 |
| El propagador, derivado | (∂² + m²)G = −δ, en Fourier (−q² + m²)G̃ = −1 ⇒ G̃(q) = 1/(q² − m²). Es la función de Green: el campo como oscilador forzado | art. 02, ej. resuelto 2 — la deuda que II.4 cobraba «porque sí», saldada en tres líneas |
| Y con ella se relee II.4 entero | Breit-Wigner = resonancia del oscilador · canal t = oscilador fuera de su frecuencia · Yukawa e−mr/r = su transformada espacial · «virtual» = dentro de la integral q² no tiene por qué valer m² | art. 02 |
| Simetría de cruce | Los canales cruzados salen del mismo término de la serie: una función única evaluada en regiones distintas de s, t, u | art. 02, ej. 2 — el «detector de errores» de II.6 funcionaba porque comparaba una fórmula consigo misma |
| El tamaño real de la divergencia | δm/m = (3α/2π)·ln(Λ/m): con Λ = MPlanck, 0,18; con Λ = 246 GeV, 0,046. Diecisiete órdenes de recorte mueven la respuesta un factor 4 | art. 03 y ej. 1 — el logaritmo aplana todo: los detalles ultravioleta se desacoplan |
| Por qué es mansa | La simetría quiral obliga a δm ∝ m y solo deja el logaritmo. Sin guardaespaldas, el Higgs: δmH²/mH² ~ 10³² con el mismo recorte | art. 03 — la jerarquía de III.2 y la mansedumbre del electrón son las dos caras del mismo teorema |
| Renormalizar | Reescribir todas las predicciones en función de un puñado de cantidades medidas. Precio: los ~28 números no se predicen, se cobran del experimento | art. 03 — a cambio, el g−2 a doce cifras |
| El running, unificado | α subiendo (II.6), αs bajando (II.7), λ deslizándose hacia el precipicio (III.2), las violaciones de escalado (III.3): un solo mecanismo — logaritmos de vestido resuelto a cada escala | art. 03, interactivo |
| Teoría efectiva | Válida hasta Λ, con lo desconocido empaquetado en operadores suprimidos por potencias de E/Λ. Un acoplamiento con dimensiones de energía negativa es la matrícula | art. 03 |
| Acoplamientos que anuncian su caducidad | [e] = 1: renormalizable, válida hasta donde haga falta · 1/√GF = 293 GeV · 1/√GN = 1,2×10¹⁹ GeV | art. 03, ej. resuelto 1 — a 293 GeV estaba el sector electrodébil ✓ (revolución de 1983 predicha por análisis dimensional); la boda de gravedad y cuántica está citada en Planck |
| Nube de QED contra nube de QCD | α = 1/137 y decrece hacia el infrarrojo: la nube es logarítmica, cosquillas del 18%. αs crece hasta ~1 en ΛQCD: la nube deja de ser corrección y pasa a ser el edificio — el 99% de tu masa | art. 03, ej. 3 — renormalización mansa = correcciones; running desbocado = fenómenos nuevos |
| La línea de la taza | ℒ = −¼FμνFμν + iψ̄γμDμψ + (ψ̄L Y ψR φ + h.c.) + |Dμφ|² − V(φ) | art. 04 — F² → III.1 y II.7 · iψ̄Dψ → II.5 y III.1 · Yukawas → III.2, II.8, III.4 · sector de Higgs → III.2 e I.7 |
| Una derivada con tres fuerzas dentro | Dμ = ∂μ + i gsTaGaμ + i g (σi/2) Wiμ + i g′ (Y/2) Bμ | art. 04, ej. resuelto 1 — el sumando de gs es el vértice quark-gluón (II.7), el de g es toda la débil (II.8) y el de g′ mezclado da el fotón (II.6) y el Z (III.1) |
| Dónde viven los ~28 diales | F²: 3 acoplamientos (más el θ de QCD, el colado) · iψ̄Dψ: ninguno · Yukawa: 22 (9 masas cargadas + 4 CKM + 7–9 del sector neutrino) · Higgs: 2 (v y λ) | art. 04, ej. resuelto 2 — el problema del sabor tiene dirección postal: el único renglón que la simetría no restringe |
| Por qué los fermiones van por pares | Los campos fermiónicos anticonmutan: un término con un número impar de ψ cambiaría de signo bajo una rotación de 2π. De la anticonmutación sale también Pauli | art. 04, ej. 1 — los 720° de II.5, el Δ⁺⁺ que exigió el color (II.7) y la tabla periódica entera |
| El conmutador de F² | F ~ ∂W − ∂W + g[W,W]: de ahí los vértices 3g/4g (antiapantallamiento, libertad asintótica, confinamiento) y los WWZ/WWγ medidos en LEP | art. 04, ej. 2 — la dispersión WLWL cuya unitariedad exigió el Higgs vivía en ese corchete |
| Los silencios de la línea | Ni gravedad, ni el 95% del inventario cósmico, ni por qué tres familias, ni por qué este grupo de gauge, ni el término de neutrinos (¿Yukawa con νR, o Majorana con balancín y leptogénesis?) | art. 04 — no es la teoría final: es la caja de resonancia para escuchar dónde suena la siguiente |