El principio dinámico de la teoría cuántica de campos cabe en una frase de Feynman: para ir de A a B, la naturaleza no elige camino — suma todos, cada uno con una fase igual a su acción en unidades de ħ. De esa única frase salen tres cosas que el curso usó sin justificar: por qué el mundo macroscópico obedece a Newton, por qué las amplitudes se organizan en diagramas con vértices g (módulo II.4), y por qué cada línea interna cobra exactamente 1/(q² − m²). Este artículo las deriva las tres.
La suma sobre historias
La receta de la integral de caminos es democrática y escandalosa: la partícula va por todos los caminos, incluidos los absurdos, y cada uno aporta un número complejo de módulo uno, eiS/ħ. Nada más. Toda la física está en la interferencia — y la primera sorpresa es que la mecánica clásica entera es un patrón de interferencia:
Cada camino posible entre A y B aporta una flechita de igual longitud y fase S/ħ (su acción en unidades de ħ). Aquí están encadenadas, del camino más desviado por un lado al más desviado por el otro, con el clásico en el centro. Sube el dial — hacia acciones grandes comparadas con ħ — y mira quién sobrevive a la suma.
Régimen cuántico: la acción es comparable a ħ, casi todas las flechas apuntan parecido y todos los caminos cuentan. Así viven el electrón en el átomo o los dos caminos del interferómetro del módulo III.4: la naturaleza no elige trayectoria.
Problema. Estima S/ħ para una pelota de 100 g lanzada a 3 m/s durante un segundo, y para un electrón atravesando un átomo. ¿Quién tiene «trayectoria»?
Resultado. Cinco mil quintillones de radianes de fase: desviarse un pelo del camino clásico cambia la fase millones de veces 2π y las flechas vecinas se aniquilan — solo sobrevive el entorno del camino de acción estacionaria: Newton es el patrón de interferencia de la cuántica. El electrón atómico: S/ħ ~ unas pocas unidades (por eso el átomo necesita orbitales, no órbitas). La frontera clásico/cuántico no es de tamaño sino de acción — y el interactivo es exactamente este ejemplo con el dial al 10³³ imaginario.
De la suma a los diagramas
Para campos, «camino» significa historia completa del campo, y la acción S contiene dos tipos de término (el artículo 04 los verá en la lagrangiana real): los libres (cuadráticos — osciladores del artículo 01) y las interacciones (productos de tres o más campos, con un coeficiente pequeño: g, e…). La integral con solo los términos libres se resuelve exacta; la interacción se trata como perturbación, desarrollando la exponencial en serie de potencias de g. Y aquí ocurre el milagro contable del módulo II.4: cada término de la serie es un diagrama. Orden g: un vértice. Orden g²: dos vértices unidos por líneas internas. El «juego» de dibujar diagramas era la taquigrafía de una serie de Taylor — cada vértice trae su factor g porque literalmente es una potencia del coeficiente de interacción, y el hierro de que «todo lo no prohibido es obligatorio» (Nivel I.4) es que la serie contiene todos los términos que el álgebra permite.
Problema. Las líneas internas del módulo II.4 cobraban 1/(q² − m²) «porque sí». Derívalo: el propagador es la función de Green del campo libre — la respuesta del campo a un golpe puntual, (∂² + m²)G(x) = −δ(x). Resuélvela en el espacio de momentos.
Resultado. Tres líneas. El propagador es la respuesta del campo a una sacudida, y su forma es la del oscilador forzado que todo estudiante conoce: respuesta ∝ 1/(ω² − ω₀²), gigante en resonancia. Todo el módulo II.4 se relee de golpe: el «polo» de la Breit-Wigner es la resonancia del oscilador-campo, el canal t lejos del polo es el oscilador forzado fuera de su frecuencia, y la regla de Yukawa (alcance 1/m) es la transformada espacial de esta misma función. Una línea interna es «virtual» simplemente porque dentro de la integral q² no tiene por qué valer m²: el campo responde a todas las frecuencias, pero prefiere la suya.
Ejercicios
En el modelo ABC del módulo II.4 la interacción era un término g·ABC en la acción. ¿Por qué eso implica exactamente el vértice de tres patas — y qué término harían falta para un vértice de cuatro? Encuéntralo en el Modelo Estándar (pista: módulo III.2).
Solución
La serie perturbativa baja del exponente el término g·ABC tantas veces como vértices: cada aparición consume un cuanto de cada campo A, B y C — tres patas, ni una más. Un vértice de cuatro exige un producto de cuatro campos: el Modelo Estándar tiene varios — el λφ⁴ del potencial de Higgs (el ¼λh⁴ de ruptura/01: ¡el autoacoplamiento que el HL-LHC persigue es un vértice de cuatro Higgs!), los vértices de cuatro gluones (el término F² no abeliano) y el WWZZ. Leer vértices en la lagrangiana es literal: cuenta los campos multiplicados y tendrás las patas — la gramática completa llega en el artículo 04.
La simetría de cruce (módulo II.6: Compton y aniquilación, misma amplitud con patas giradas) era «un detector de errores» sin explicación. Con la fábrica a la vista, ¿de dónde sale?
Solución
Del origen común: los dos procesos vienen del mismo término de la serie perturbativa — la misma integral con los mismos campos — y solo difieren en qué patas externas se leen como entrantes o salientes (partícula que entra = antipartícula que sale, la lección de Feynman-Stückelberg del módulo II.5). No hay dos amplitudes que casualmente coincidan: hay una función única evaluada en regiones distintas de s, t, u. El «detector de errores» funcionaba porque comparar canales cruzados es comparar una fórmula consigo misma.
¿Por qué la serie de diagramas converge tan bien en QED (α = 1/137) y tan mal en QCD a baja energía (α_s ~ 1)? ¿Y qué herramienta del curso esquiva la serie por completo?
Solución
La serie ordena por potencias del acoplamiento: con α = 1/137 cada orden aporta ~1% del anterior (por eso el g−2 se calcula a doce cifras, módulo II.4); con α_s ~ 1 a la escala Λ, todos los órdenes pesan igual y la expansión es papel mojado — la libertad asintótica (II.7) delimita exactamente dónde la fábrica de diagramas funciona. La escapatoria no perturbativa del curso es el retículo (III.3): evaluar la integral de caminos entera, numéricamente, por Montecarlo — sin serie, sin diagramas. Las dos mitades de QCD del curso eran, en el fondo, dos maneras de atacar la misma integral.
Lo que llevas. Una sola receta — sumar historias con fase S/ħ — produce: la mecánica clásica (interferencia estacionaria, S/ħ ~ 10³³ para una pelota), los diagramas (serie de Taylor en el acoplamiento: vértice = término de interacción), y el propagador 1/(q² − m²) (función de Green: el campo como oscilador forzado). Las reglas del módulo II.4 ya tienen fábrica. Pero la fábrica tiene un defecto de serie: al sumar sobre todo, algunas integrales dan infinito. El artículo 03 cuenta por qué eso no mató la teoría — y por qué entenderlo cambió la idea misma de qué es una teoría física.