Sin gravedad ni pares, la rotación libre del sólido obedece las ecuaciones de Euler — F = ma escrito en los ejes principales del cuerpo:
Su análisis de estabilidad cabe en una línea de III.2 (linealiza alrededor de girar por cada eje) y dicta el teorema del eje intermedio: girar por el eje de I máximo o mínimo es estable; girar por el intermedio, inestable — cualquier desviación crece exponencialmente y el cuerpo ejecuta una voltereta periódica. Toda raqueta, mando de tele, libro o tuerca lo demuestra al primer lanzamiento — y el interactivo integra las ecuaciones para que lo veas sin recoger nada del suelo.
Ecuaciones de Euler integradas en vivo para un cuerpo 1 : 2 : 3, con una perturbación del 2 % — el pulso de cualquier lanzamiento real. Las barras son las tres componentes de ω en ejes del cuerpo.
El intermedio: mira ω₂ invertirse periódicamente — cada inversión es la voltereta de la tuerca de Dzhanibekov, nacida de un 2 % de imperfección. Inestable no es errático: es una separatriz recorrida con puntualidad.
El susto de Dzhanibekov
En 1985, el cosmonauta Vladímir Dzhanibekov aflojó una tuerca de mariposa en la Salyut 7 y la vio salir girando… y dar una voltereta limpia cada pocos segundos, con metrónomo, sin que nadie la tocara. Alarmado — ¿y si la Tierra hacía lo mismo? — el hallazgo se guardó con discreción soviética durante años. La respuesta tranquilizadora es el propio teorema: la tuerca giraba por su eje intermedio (los «brazos» de la mariposa lo garantizan) y ejecutaba las volteretas periódicas de Euler — inestabilidad, sí; misterio, ninguno: Poinsot lo había geometrizado en 1834. La Tierra, girando por su eje de I máximo, está en el caso estable — y el margen es el artículo 04. Cuando los vídeos de la tuerca llegaron a internet, el «efecto Dzhanibekov» renació como enigma viral; tu curso de mecánica lo tenía resuelto con 150 años de antelación. (El vídeo en microgravedad sigue siendo el mejor espectáculo del teorema: búscalo — o juega con el interactivo, que integra lo mismo.)
Problema. Feynman cuenta en sus memorias que vio un plato volar en la cafetería de Cornell, bamboleándose mientras giraba — y que del cociente entre bamboleo y giro salió, dice, todo lo demás. Para un disco delgado (I₃ = 2I₁, ejercicio 2 del artículo 01), calcula ese cociente.
Solución. Disco casi plano girando casi por su eje de simetría: las ecuaciones de Euler linealizadas dan una precesión libre del eje (el bamboleo) con frecuencia Ω_b = (I₃/I₁ − 1)·ω₃… vista desde el cuerpo; vista desde la cafetería, el bamboleo va a
dos bamboleos por cada giro, exacto, cortesía del cociente 2 del disco delgado.
Resultado. (Feynman recordaba la relación al revés en el libro — los físicos llevan décadas divirtiéndose con la errata del maestro; la medida da 2, como aquí.) Lo serio de la anécdota: jugando con esa precesión libre «sin importancia», Feynman se reenganchó a la física del espín del electrón — «todo el asunto del Nobel», escribió, «empezó en aquel plato». La rotación libre del sólido no era un tema menor: era el calentamiento.
Por qué dos estables y uno no (la imagen que no se olvida). Con L fijo, la energía E = L²/2I obliga al vector ω (en ejes del cuerpo) a vivir en la intersección de dos elipsoides — el de energía y el de momento angular. Cerca de los ejes extremo (I máx, I mín), esas intersecciones son circuitos minúsculos alrededor del eje: quedarse cerca es obligatorio. Cerca del intermedio, las intersecciones son dos grandes «aspas» que se cruzan en él (una separatriz esférica — la de III.2, ahora en la bola de direcciones): cualquier desviación viaja por el aspa hasta el otro lado del cuerpo — la voltereta — y vuelve. Geometría de Poinsot: la inestabilidad como autopista dibujada sobre una esfera.
Ejercicios
Haz el experimento (con un libro cerrado con una goma, no con tu móvil): lánzalo girando por sus tres ejes y clasifica lo observado. ¿Por qué la voltereta del eje intermedio parece «periódica y limpia» si nace de una inestabilidad exponencial?
Solución
La desviación crece exponencialmente solo al principio: después el sistema recorre su separatriz esférica — se aleja del eje intermedio, pasa por la voltereta y regresa al entorno del eje (por el otro lado), donde vuelve a escapar… Es la misma estructura que el péndulo en la separatriz de III.2: trayectoria homoclina, casi periódica, con el tiempo entre volteretas dependiendo logarítmicamente de la imperfección del lanzamiento. Inestable no significa errático: significa que no puedes quedarte — pero adónde vas está perfectamente cartografiado.
¿Por qué los teléfonos móviles son especialmente propensos al teorema (pregúntale a cualquier pantalla rota), y qué gimnasta lo explota a propósito?
Solución
Un móvil es el sólido asimétrico perfecto: tres dimensiones bien distintas, tres momentos bien separados — y el lanzamiento natural («voltearlo» para mirarlo) es justo alrededor del eje intermedio, el que cruza la pantalla a lo ancho. Media voltereta extra no solicitada = aterrizaje de canto. Los gimnastas y saltadores de trampolín usan la misma física al revés: el «twist» tardío — añadir giro longitudinal en mitad de un mortal sin tocar nada — se siembra con una asimetría de brazos que arranca la deriva del eje intermedio. El gato de II.5 giraba con L = 0 por geometría; el gimnasta contorsiona su tensor en vuelo. Mismo módulo, más lycra.
Explica la cadena completa del Explorer 1 (ejercicio 3 del artículo 01) con las herramientas de este artículo: ¿por qué acabó exactamente en voltereta plana y no en otro estado?
Solución
A L fijo, la energía rotacional E = L²/2I es un menú: girar por el eje largo (I mínimo) es el plato más caro; por el corto (I máximo), el más barato. Las antenas flexibles cobraban comisión en cada oscilación (disipación interna) y la energía solo podía bajar: el sistema resbaló por el menú — pasando por el desorden del eje intermedio — hasta el fondo absoluto: la rotación plana. Estable por el teorema (eje de I máximo) y además mínimo global: de ahí no se sale sin par externo. Todo satélite, asteroide y grano de polvo interestelar con algo que flexionar acaba igual: el universo está lleno de cuerpos girando «a lo plano» porque el teorema de la raqueta, más una pizca de fricción interna, no da otra opción.