Cerca de un equilibrio, todo sistema mecánico es cuadrático: T = ½ẋᵀTẋ y V = ½xᵀVx, con T y V matrices simétricas (la V es el «hessiano» del potencial — las curvaturas de II.2, ahora en tabla). La manivela de Lagrange produce entonces un sistema lineal cuya solución completa es un problema de autovalores:
Cada autovalor es la frecuencia (al cuadrado) de un modo; cada autovector, su forma — quién se mueve, cuánto y con qué signo. En las coordenadas de los autovectores, el sistema entero se desacopla en osciladores independientes: diagonalizar es resolver. El tensor de inercia de III.4 era este mismo teorema espectral con otro reparto; a estas alturas, el patrón ya es un viejo amigo.
El 2×2 completo, de una vez por todas
Problema. Dos masas m unidas entre sí por un muelle k′ y a las paredes por muelles k. Resuelve con matrices y compara con el «a ojo» de II.3.
Solución. T = m·1 (diagonal) y V con (k+k′) en la diagonal y −k′ fuera. El determinante de V − ω²T se anula en:
Resultado. Los modos de II.3 — simétrico sin estirar el acoplo, antisimétrico pagándolo doble — pero ahora con partida de nacimiento algebraica y sin apelar a la simetría: el método funciona igual con masas distintas y muelles dispares, donde el ojo ya no ve nada. Con k′ = k el cociente de frecuencias es √3 = 1,732 (compruébalo: era el problema 6 de la hoja II.3, los tres carritos, en versión dos). La simetría era una escalera; el álgebra es un ascensor.
Dos regalos del teorema espectral
Primero: las matrices simétricas tienen autovalores reales y autovectores ortogonales — las frecuencias existen y los modos no se mezclan: cualquier movimiento se descompone en modos de forma única (el teorema de Fourier de II.7 era el caso de la cuerda: ahora sabes de qué teorema general era corolario). Segundo: si algún autovalor sale negativo, ω es imaginaria y el «modo» no oscila — huye exponencialmente: acabas de detectar que tu equilibrio era silla, no valle. El mismo cálculo que da las frecuencias hace de test de estabilidad — es la versión matricial del criterio U″ > 0 de II.2, y el análisis con que ingeniería estructural revisa cada puente y cada ala: los «modos de pandeo» son autovalores que cruzan el cero.
El algoritmo del gremio, en cuatro pasos. (1) Encuentra el equilibrio. (2) Expande a segundo orden: matrices T y V. (3) Diagonaliza: frecuencias y formas. (4) Escribe el movimiento como suma de modos con amplitudes de las condiciones iniciales. Este guion resuelve moléculas (artículo 02), cadenas (03), sólidos (04), edificios, alas, puentes y — con los cambios de rigor — los campos cuánticos del Particulario, que son redes de osciladores con los modos rebautizados «partículas». Pocas recetas de cuatro pasos cubren tanta física.
Ejercicios
El péndulo doble linealizado tiene ω± = √((2 ∓ √2)·g/L). Sin resolver nada: ¿qué forma tiene cada modo, y por qué el rápido es «más del segundo péndulo»?
Solución
Modo lento (2−√2): ambos péndulos al unísono, el inferior amplificando suavemente — el conjunto ondula como un látigo perezoso. Modo rápido (2+√2): en contrafase, el de abajo batiendo contra el de arriba — casi todo el movimiento vive en el segundo péndulo, que es el más «suelto». Todo el caos de I.5 ocurre fuera de esta aproximación: a pequeña amplitud, el péndulo doble es este dúo dócil de relojes — la frontera entre ambos regímenes es exactamente donde la linealización revienta. Mismo juguete, dos mundos, y la matriz marca la aduana.
¿Por qué los sismólogos hablan de «los modos de la Tierra»? Tras el terremoto de 2004, el planeta entero «sonó» durante semanas con períodos de hasta 54 minutos. Encaja eso en el guion de cuatro pasos.
Solución
La Tierra es una bola elástica: un sistema de (muchísimos) grados de libertad con su equilibrio y sus matrices — luego tiene espectro discreto de modos normales. El más grave («balón de rugby», ₀S₂) tarda 53,9 minutos por oscilación; el «respirador» radial, 20,5 — y un gran terremoto los excita todos, como un macillo planetario. Medirlos (gravímetros superconductores, semanas de anillo) da información del interior profundo que ninguna onda viajera alcanza: la sismología de modos normales pesa el núcleo con el artículo de hoy. El planeta como campana afinada — y la partitura es un problema de autovalores.
En el 2×2 del ejemplo, haz las masas distintas (m y 3m, muelles iguales). ¿Sobrevive el modo «simétrico» exacto (1,1)? ¿Qué le pasa a la ortogonalidad — respecto a qué producto escalar la promete el teorema?
Solución
No sobrevive: sin simetría, los autovectores se «tuercen» — la masa ligera participa más en el modo rápido, la pesada domina el lento (calcúlalo: ya sabes girar la manivela). Y la ortogonalidad prometida es respecto de la métrica T (aᵀTb = 0), no la euclídea: los modos son perpendiculares pesados por las masas. Es un aviso general del oficio: los teoremas de ortogonalidad siempre llevan su producto escalar bajo el brazo — quien lo olvida descompone mal. (La cuántica hará de esta lección liturgia.)