Lagrange trabaja con (q, q̇) — posiciones y velocidades. Hamilton (1833) propone otra pareja: posiciones y momentos conjugados (q, p), con p = ∂L/∂q̇. El cambio de variables ortodoxo es la transformada de Legendre — H = pq̇ − L — y el resultado, la hamiltoniana H(q, p) — que para los sistemas de este curso es, simplemente, la energía total T + V escrita en q y p. Las ecuaciones del movimiento se vuelven un dúo simétrico:
Primer orden, sin segundas derivadas, con q y p en pie de igualdad — casi intercambiables salvo un signo. Ese signo menos, tan modesto, es el motor geométrico de todo el módulo.
La manivela nueva, probada
Oscilador armónico: H = p²/2m + ½kq². Las ecuaciones: q̇ = p/m, ṗ = −kq — el sistema de primer orden que cualquier integrador numérico agradece (los interactivos de este sitio corren sobre esta forma). Péndulo: H = p²/2mL² − mgL cos q, y la pareja sale igual de dócil. ¿Qué se gana respecto a Lagrange? Para calcular, a menudo poco; para pensar, muchísimo: el estado completo del sistema es ahora un punto (q, p) en el espacio de fases, y la dinámica entera es un flujo que arrastra esos puntos. Preguntas que en el idioma de las trayectorias eran incómodas — ¿qué hacen todas las condiciones iniciales a la vez? ¿qué regiones son accesibles? ¿qué se conserva bajo el flujo? — se vuelven geometría a la vista. El artículo 02 dibuja ese escenario; el 04 demuestra su teorema estrella.
Problema. Para la cuenta en el aro giratorio de III.1 (con Ω impuesta), construye H y compárala con la energía.
Solución. De L = ½mR²(θ̇² + Ω²sen²θ) + mgR cos θ: p = mR²θ̇ y
La energía «de verdad» (T + V con la cinética completa) lleva el término de Ω con signo más; H lo lleva con menos: no son iguales. H es aquí la energía en el sistema rotante — la que incluye el potencial centrífugo — y es H, no E, quien se conserva (el motor que mantiene Ω constante mete y saca energía sin tocar H).
Resultado. La regla del oficio: H = T + V cuando las coordenadas no dependen explícitamente del tiempo (ligaduras quietas); con escenarios móviles — aros girados, péndulos acortados, universos en expansión — H sigue generando la dinámica, pero su valor conservado es otra cosa (aquí, el «invariante de Jacobi», el mismo objeto que ordena los puntos de Lagrange de la hoja III.1). Saber qué conserva tu sistema vale más que conservar por inercia la palabra «energía».
La transformada que colecciona ciencias. La Legendre no es exclusiva de la mecánica: es la misma operación que en termodinámica fabrica la entalpía y las energías libres a partir de la energía interna (cambiar volumen por presión, entropía por temperatura: el Termario vivirá de ella), y la que en economía conecta funciones de producción con funciones de coste. Siempre que quieras describir lo mismo con «la pendiente» como variable en vez de «el punto», Legendre es el traductor. Hamilton fue su cliente más ilustre, no su dueño.
Ejercicios
Gira la manivela hamiltoniana para la caída libre (H = p²/2m + mgq) y comprueba que recuperas a Galileo.
Solución
q̇ = p/m, ṗ = −mg: la segunda se integra a p = −mgt (+p₀) y la primera a q = q₀ + p₀t/m − ½gt² — la parábola de I.1, módulo signos de convenio. Nada nuevo, y esa es la comprobación: el formalismo más abstracto del curso reproduce el primer experimento del curso. En física, las torres altas se inspeccionan mirando si abajo siguen estando Galileo y la manzana.
En el espacio de fases del oscilador, demuestra que las trayectorias son elipses — y que todas se recorren en el mismo tiempo, sea cual sea su tamaño. ¿Qué propiedad vieja del curso acabas de redescubrir?
Solución
H = p²/2m + ½kq² = E fija una elipse de semiejes √(2mE) y √(2E/k) — la trayectoria completa del estado. El «reloj» de recorrido: las ecuaciones de Hamilton son lineales y el giro en fases tiene frecuencia ω = √(k/m) independiente de E — el isocronismo de II.3, ahora visto como que todas las elipses giran solidariamente. En III.3 este dibujo se volverá literal: las variables acción-ángulo convierten cada elipse en un círculo y el movimiento en un reloj perfecto. Guarda la imagen.
¿Por qué los integradores numéricos «buenos» para órbitas (simplécticos, como el leapfrog del cañón de Newton de I.1) se construyen sobre la forma hamiltoniana y no sobre F = ma?
Solución
Porque el flujo hamiltoniano tiene estructura que proteger — la que el artículo 04 llamará conservación del volumen de fases — y los integradores simplécticos la respetan exactamente aunque den pasos torpes: sus errores hacen oscilar la energía en vez de acumularla. Un Runge-Kutta genérico, más preciso paso a paso, va sangrando (o inflando) energía y a la vuelta de un millón de órbitas tu planeta cae en espiral por culpa del algoritmo. Las simulaciones del sistema solar de I.5 (Laskar) y toda la dinámica molecular moderna son hamiltonianas por supervivencia: la geometría correcta importa más que el decimal extra.