Toma una cuerda tensa (tensión T, masa por metro μ) y aplica F = ma al elemento entre x y x+dx: la fuerza restauradora es la curvatura local (una cuerda recta no siente nada; una curvada, sí — las tensiones de los extremos dejan de cancelarse). El resultado es la ecuación de ondas:
Léela con las gafas del curso: «acelera según lo curvado que estés» — un F = ma por punto, infinitos osciladores acoplados de II.3 en el límite continuo. Y su milagro: cualquier forma f(x − vt) la satisface — los pulsos viajan sin deformarse, a la velocidad que fijan la rigidez (T) y la inercia (μ) del medio. La promesa del Nivel I, cobrada con derivadas parciales.
La fórmula del lutier
Problema. La cuerda La de una guitarra: 110 Hz con L = 64,8 cm y μ = 5,2 g/m. ¿Qué tensión soporta?
Solución. El fundamental pone media longitud de onda en la cuerda: λ = 2L = 1,30 m, así que v = λf = 143 m/s, y
Resultado. Unos 11 kg colgando de cada cuerda — seis cuerdas, ~60 kg de tirón permanente sobre la tapa: por eso las guitarras llevan varetaje interno y por eso dejarlas «afinadas de más» las arquea. El piano lo lleva al extremo: ~230 cuerdas a 700–900 N suman ~18–20 toneladas — el arpa interior es un puente de hierro fundido, y lo es desde 1825 exactamente por esta fórmula. La música de cuerda es ingeniería estructural que suena.
Afinar es resolver v = √(T/μ)
La fórmula tiene tres mandos y los instrumentos usan los tres. Tensión: la clavija — más tirante, más agudo (f ∝ √T: afinar un semitono, +5,9 % en f, exige +12 % de tensión). Longitud: el traste — mitad de cuerda, octava arriba; la escala de doceava raíz de dos está serigrafiada en el mástil. Densidad μ: el entorchado — las cuerdas graves van forradas de alambre para subir μ sin convertirse en cables imposibles de tensar: la sexta cuerda suena dos octavas bajo la prima, y con la misma longitud y tensión eso exige ×16 en μ — porque f va con 1/√μ, no con 1/μ. Un vistazo al clavijero, al mástil y al grosor de las cuerdas es un repaso completo de la ecuación de ondas.
La ecuación que no sabe de cuerdas. La misma estructura ∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x² gobierna el sonido en el aire (v = √(presión elástica/densidad): los 343 m/s por fin deducibles), las ondas sísmicas, las olas largas, la luz (con campos en vez de alturas — el Fotonario la escribe con E y B) y, cuantizada, los campos del Particulario. Aprendida una vez, leída en todas partes: es la ecuación más reutilizada de la física, y acabas de deducirla con el F = ma del módulo I.1.
Ejercicios
Un escalador golpea la cuerda tensa de un teleférico de 200 m y el pulso vuelve en 4 s. La cuerda pesa 1,2 kg/m. ¿Qué tensión soporta el cable? (Técnica real de inspección.)
Solución
Ida y vuelta 400 m en 4 s: v = 100 m/s, y T = μv² = 1,2 × 10⁴ = 12 000 N — una tonelada y pico de tirón, medida con un golpe y un cronómetro. Los técnicos de remontes y los montadores de puentes colgantes usan literalmente este método (con acelerómetros por cronómetro): la ecuación de ondas como dinamómetro de campo. Compárese con el muelle-báscula de I.2: medir fuerzas siempre acaba siendo medir tiempos o longitudes.
¿Por qué un nudo (masa puntual extra) en una cuerda de tender hace que el pulso llegue más tarde, y por qué la niebla «espesa» no cambia la velocidad del sonido casi nada?
Solución
El nudo sube la μ local: v = √(T/μ) cae en ese tramo — el pulso se demora (y algo se refleja: artículo 03). La niebla, en cambio, apenas toca ni la elasticidad ni la densidad del aire (las gotas son masa, pero poquísima: gramos por metro cúbico contra 1200 g del propio aire): v cambia por debajo del 1 %. Lo que sí notas de la niebla es absorción y dispersión — el sonido llega igual de rápido pero más sordo. Distinguir «qué toca la v» de «qué toca la amplitud» es leer la ecuación con soltura.
La cuerda Mi aguda (330 Hz) y la Mi grave (82,5 Hz) de una guitarra miden lo mismo y soportan tensiones parecidas. ¿Qué cociente de μ las separa? ¿Y por qué no se fabrica la grave simplemente más gorda de nailon macizo?
Solución
f ∝ √(T/μ)/2L: a T y L iguales, μ ∝ 1/f² — un factor (330/82,5)² = 16. Nailon macizo dieciséis veces más denso por metro sería un cable de 4 mm: rígido como una vara, con armónicos falsos (la rigidez propia se suma a la T y desafina los modos altos — la «inarmonicidad» que ya sufren los pianos). El entorchado resuelve el dilema: alma flexible + camisa metálica pesada = μ alta con rigidez baja. Cada cuerda grave es un pequeño teorema de ingeniería de materiales al servicio de √(T/μ).