Trabajo y energía · Artículo 01

El trabajo

La energía del Nivel I era una contabilidad; ahora se convierte en teorema. El trabajo — fuerza por camino, con su integral — y el resultado que lo conecta todo: lo trabajado es lo acelerado.

El Nivel I afirmó que «energía es trabajo embotellado» sin definir trabajo. La definición seria es una integral de línea: el trabajo de una fuerza a lo largo de un camino suma, paso a paso, la componente de la fuerza en la dirección del paso:

W=∫caminoF⃗⋅dr⃗.W = \int_{\text{camino}} \vec{F}\cdot d\vec{r}.

El producto escalar hace el filtrado: fuerza perpendicular al movimiento no trabaja. De ahí tres sorpresas legales: la normal nunca trabaja (el suelo no te da energía), la centrípeta tampoco (girar es gratis en julios — por eso la Luna orbita desde hace eones sin factura), y cargar una maleta por un pasillo horizontal es trabajo mecánico cero, por mucho que tu bíceps proteste (su gasto es fisiológico: mantener tensión muscular quema ATP sin mover el peso — tu cuerpo es un motor que consume incluso al ralentí).

El teorema que paga todo

Integra F = ma a lo largo del camino y — dos líneas de cálculo, hazlas en el ejercicio 1 — sale el teorema trabajo-energía:

Wtotal=ΔEc=12mvf2−12mvi2.W_{\text{total}} = \Delta E_c = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2.

El trabajo neto sobre un cuerpo es exactamente su cambio de energía cinética. Esto asciende el ½mv² del Nivel I de definición a consecuencia de las leyes de Newton — y explica por fin por qué la cinética va con v²: porque la distancia recorrida durante una aceleración crece con el cuadrado de la velocidad final. Frenar desde doble velocidad exige cuadruplicar la distancia (I.2) porque hay que extraer cuádruple energía con la misma fuerza: dos módulos del Nivel I eran un solo teorema.

Ejemplo resuelto 1 · El muelle, integrado

Problema. ¿Cuánto trabajo cuesta comprimir 10 cm un muelle de k = 500 N/m? ¿Y de 10 a 20 cm?

Solución. La fuerza crece por el camino (F = kx), así que hay que integrar de verdad:

W=∫0xkx′ dx′=12kx2=12×500×0,12=2,5 J.W = \int_0^x kx'\,dx' = \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2} \times 500 \times 0{,}1^2 = 2{,}5\ \mathrm{J}.

Resultado. 2,5 J el primer decímetro — y de 10 a 20 cm: ½k(0,2² − 0,1²) = 7,5 J, el triple. El muelle cobra cada vez más caro el mismo centímetro: la energía elástica ½kx² es cuadrática porque la fuerza es lineal. Este patrón integral-de-lo- lineal-da-cuadrático es el mismo del ½mv² y del ½gt² de Galileo: tres caras del área de un triángulo.

El signo importa. Trabajo positivo acelera; negativo frena. El rozamiento siempre trabaja en negativo (fuerza opuesta al paso, en cada paso); la gravedad trabaja en positivo al bajar y en negativo al subir — y en cero neto en cualquier camino que vuelva a su altura. Esa última frase, que parece inocente, es la llave del artículo 02: hay fuerzas cuyo trabajo no depende del camino, y con ellas se construye toda la maquinaria de potenciales.

Ejercicios

Ejercicio 1

Demuestra el teorema trabajo-energía en una dimensión: parte de W = ∫F dx con F = m(dv/dt) y cambia de variable.

Solución

El truco del oficio: dx = v dt, así que

W=∫mdvdt v dt=m∫v dv=12mvf2−12mvi2.W = \int m\frac{dv}{dt}\,v\,dt = m\int v\,dv = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2.
Dos líneas, como prometido. La maniobra dv/dt·v = d(½v²)/dt — reconocer una derivada exacta — es la herramienta favorita de la mecánica analítica: la reencontrarás fabricando la conservación de la energía en el artículo 02 y los potenciales efectivos en II.6.

Ejercicio 2

Un coche de 1500 kg frena de 120 a 60 km/h. Un peatón dice: «ha perdido la mitad de su energía». Corrígelo con el teorema, y explica qué distancia de frenada corresponde a cada mitad.

Solución

Ha perdido tres cuartos: la cinética va con v², y pasar de 120 a 60 deja solo (60/120)² = 1/4. Con fuerza de frenado constante, el trabajo es F·d: los tres cuartos primeros de la energía se extraen en los tres cuartos primeros de la distancia — frenar de 120 a 60 consume tanta distancia como de 60 a 0 tres veces. Es la aritmética que las campañas de tráfico intentan contar: el último tramo de velocidad es el barato; el primero, el que mata.

Ejercicio 3

La Luna lleva 4500 millones de años con la gravedad terrestre tirando de ella. ¿Cuánto trabajo neto ha hecho esa fuerza sobre la órbita (casi circular)? ¿Qué habría pasado con cualquier otro resultado?

Solución

Prácticamente cero: en una órbita circular la gravedad es perpendicular al movimiento en todo punto — producto escalar nulo, trabajo nulo, cinética constante. Cualquier otro resultado sería catástrofe acumulada: un trabajo neto positivo sostenido habría acelerado la Luna hasta escapar; negativo, la habría hecho caer. La estabilidad de las órbitas es el producto escalar protegiéndolas julio a julio. (La historia fina — mareas que sí intercambian energía y alejan la Luna 3,8 cm al año — espera en II.6.)