El módulo II.2 terminó con una promesa: cerca de cualquier mínimo, U ≈ ½k(x−x₀)² con k = U″(x₀), así que todo lo estable oscila igual que un muelle. Este módulo cobra la promesa. La ecuación del oscilador armónico es F = −kx, es decir:
y su solución — compruébala derivando — es la sinusoide : amplitud A (cuánto), fase φ (desde dónde), y una frecuencia ω que no depende de la amplitud. Esa última propiedad — el isocronismo que Galileo creyó ver en la lámpara de la catedral de Pisa — es la que fundó la relojería: el péndulo pequeño no sabe si oscila mucho o poco; late igual.
El censo de osciladores
Con ω = √(k/m) en la mano, sal a medir el mundo: la suspensión de un coche (375 kg por rueda sobre k ≈ 20 000 N/m) late a 1,2 Hz — el «flotar» de un coche bien tarado, elegido cerca del paso humano; el péndulo de segundos del reloj de pared, a 0,5 Hz; la molécula de H₂ del módulo pasado, a 1,3×10¹⁴ Hz; un edificio alto, a 0,1–0,2 Hz; un cristal de cuarzo de reloj, a 32 768 Hz exactos (2¹⁵: quince divisiones electrónicas por dos y sale el segundo). Veinte órdenes de magnitud de frecuencias, una sola ecuación — la promesa del valle parabólico, cumplida en catálogo.
Problema. Escribe la energía del oscilador en función del tiempo y demuestra que el total no oscila.
Solución. Con x = A cos ωt (y v = −Aω sen ωt):
Resultado. Constante, como manda II.2 — pero mira el reparto: cinética y potencial se intercambian el total dos veces por ciclo, en contrafase perfecta. El péndulo del Nivel I («altura → velocidad → altura») era esto; ahora es un seno cuadrado contra un coseno cuadrado. Y la fórmula E = ½kA² dice algo práctico: la energía va con el cuadrado de la amplitud — doblar el vaivén cuesta el cuádruple, un patrón que reaparecerá en la intensidad de las ondas.
La fase: el reloj interno
La fase φ es el parámetro humilde del trío, y el más profundo: dos osciladores idénticos con fases distintas son el mismo movimiento desincronizado, y toda la física de la interferencia (I.4), de la resonancia (artículo 03) y de los modos acoplados (artículo 04) es gestión de fases. Anticipo en una frase: empujar un columpio es elegir bien φ — la fuerza útil es la que llega 90° adelantada a la posición, es decir, en fase con la velocidad. Quien empuja en fase con la posición no bombea energía: solo cambia la frecuencia. Esa distinción, que parece pedante, es exactamente lo que separa afinar de amplificar — y el artículo 03 la convertirá en la curva de resonancia.
Por qué esta ecuación es «la» ecuación. Cuenta Sidney Coleman que la física teórica consiste en llamar «oscilador armónico» a cosas cada vez más abstractas. No exageraba: el campo electromagnético, las vibraciones de un sólido y los propios campos cuánticos del Particulario se cuantizan como colecciones de osciladores. Lo que aprendas aquí — amplitud, fase, energía ∝ A² — es vocabulario para media física.
Ejercicios
El astronauta de I.2 «se pesaba» oscilando en un muelle. Pon números: el aparato de la ISS tiene k ≈ 605 N/m y el astronauta mide T = 2,4 s. ¿Cuál es su masa (con silla incluida)?
Solución
De T = 2π√(m/k): m = k(T/2π)² = 605 × (0,382)² ≈ 88 kg. Así funciona de verdad el SLAMMD de la estación (restando después los ~20 kg del arnés): masa medida con un cronómetro, sin gravedad ninguna. El isocronismo trabaja de báscula: la amplitud del vaivén no importa — solo el período, y el período solo conoce m y k.
Deduce el período del péndulo simple desde ω² = U″/m, con U(θ) = mgL(1 − cos θ) — y recupera la fórmula del Ejemplario original de la familia: T = 2π√(L/g).
Solución
U″(0) = mgL cos 0 = mgL, pero cuidado con la coordenada: para el ángulo, la «masa» efectiva es el momento de inercia mL² (adelanto legal de II.5). Entonces ω² = mgL/mL² = g/L y T = 2π√(L/g) — sin resolver ninguna ecuación diferencial: leyendo la curvatura del valle del péndulo. La masa se cancela, como toda la vida; y la fórmula solo vale cerca del fondo — la corrección de amplitud (1 + θ₀²/16) del reloj desajustado ya la conoces de la plantilla de esta familia de sitios.
Dos coches idénticos, uno vacío (375 kg/rueda) y uno cargado (500 kg/rueda), pasan el mismo badén. ¿Cuál «flota» más lento? ¿Por qué los coches deportivos llevan suspensiones duras?
Solución
ω = √(k/m): el cargado baja su frecuencia en √(375/500) = 0,87 — flota un 13 % más lento y «blando». El deportivo busca lo contrario: k grande para subir ω y que la carrocería siga al asfalto sin balancearse en las curvas — a costa de transmitir cada bache (los pasajeros son el amortiguador). El confort vive cerca de 1 Hz (el paso humano); la precisión, en 2–3 Hz. Toda suspensión es un compromiso entre este ejercicio y el artículo 02: rigidez elige frecuencia, amortiguación elige carácter.