El secreto que II.5 pospuso: en general, no es paralelo a . La relación completa es matricial, , con el tensor de inercia — una matriz 3×3 cuyos elementos diagonales son los momentos de II.5 y cuyos elementos cruzados (productos de inercia) miden el desequilibrio: cuánto L «se sale» del eje de giro. La buena noticia es un teorema de álgebra: toda matriz simétrica se diagonaliza — todo cuerpo, por retorcido que sea, tiene tres ejes principales perpendiculares donde la vida es simple.
El desequilibrio, tocado con las manos
Gira una barra en diagonal — sujeta por su centro pero inclinada respecto del eje de giro. Cada mitad de la barra describe su círculo, y el momento angular resultante apunta fuera del eje: como el eje lo obliga a girar con la barra, L describe un cono, y dL/dt exige un par — que tus muñecas (o los rodamientos) deben suministrar continuamente. Eso es un producto de inercia no nulo en acción: girar desalineado cuesta par aunque la velocidad sea constante. La rueda de tu coche con 20 gramos de barro en el borde es exactamente esto a 15 Hz: el «desequilibrio dinámico» que zarandea la dirección — y la máquina de equilibrar del taller no hace otra cosa que medir el cono de L y pegar contrapesos hasta diagonalizar tu neumático. Cuarenta euros por un cambio de base.
Problema. Clasifica por sus momentos principales (I₁ ≤ I₂ ≤ I₃): una raqueta, un ladrillo, una peonza, un lápiz y un balón.
Solución. Tres familias. Asimétrico (I₁ < I₂ < I₃): la raqueta y el ladrillo — tres ejes, tres momentos distintos (el ladrillo: canto, tabla y soga; la raqueta: a lo largo del mango, en el plano del cordaje, y perpendicular a él). Simétrico (I₁ = I₂ ≠ I₃): la peonza y el lápiz — un eje de simetría con su momento propio (la peonza «achatada»: I₃ mayor; el lápiz «alargado»: I₃ menor). Esférico (los tres iguales): el balón — cualquier eje es principal, girar es indiferente.
Resultado. Esta clasificación es el índice del módulo: el simétrico da la peonza del artículo 02 (resoluble con elegancia), el asimétrico esconde el teorema de la raqueta del 03 (con sorpresa), y la Tierra — casi esférica pero no del todo — protagoniza el 04. Tres autovalores ordenan toda la dinámica rotacional del universo visible.
Por qué «tensor» y no «matriz». Los números de la matriz cambian si giras tus ejes de referencia, pero el objeto físico — la respuesta inercial del cuerpo — es el mismo: eso es un tensor, una máquina lineal independiente de coordenadas. Es el primer tensor honesto del curso y no será el último de la familia: el de esfuerzos de los fluidos (III.7), el de energía-momento del futuro Gravitario. La receta operativa, en cambio, es siempre la misma de hoy: encuentra los ejes propios y trabaja en ellos — la mitad de la física matemática es diagonalizar a tiempo.
Ejercicios
¿Por qué un neumático puede estar equilibrado «estáticamente» (no rueda solo hacia ningún lado) y aun así vibrar a 120 km/h? Distingue los dos equilibrados con el vocabulario del tensor.
Solución
Estático: el centro de masas está en el eje (ninguna posición pesa más) — se comprueba con la rueda parada. Dinámico: además, el eje de giro es eje principal — productos de inercia nulos. Un contrapeso mal repartido entre las dos caras de la llanta puede dejar el CM centrado (estático ✓) con el tensor torcido (dinámico ✗): L conea, y a 15 vueltas por segundo el par parásito sacude la mangueta. Por eso la máquina del taller hace girar la rueda: los productos de inercia solo confiesan en movimiento.
Para una lámina plana cualquiera, demuestra el «teorema de los ejes perpendiculares»: I_z = I_x + I_y (con z normal a la lámina). Úsalo para sacar gratis los momentos de un disco.
Solución
En una lámina, cada masa tiene z = 0: I_z = Σm(x²+y²) = Σmx² + Σmy² = I_y + I_x, término a término. Para el disco, la simetría exige I_x = I_y, y con I_z = ½MR² (II.5): I_x = I_y = ¼MR² — sin integrar nada. Ese cociente I₃/I₁ = 2 exacto del disco delgado es la semilla del plato de Feynman del artículo 03: guárdalo. Los teoremas de ejes (paralelos, perpendiculares) son la contabilidad rápida del gremio — dos líneas que ahorran integrales dobles.
Los satélites artificiales antiguos se estabilizaban girando. El Explorer 1 (1958, forma de lápiz) entró en órbita girando por su eje largo… y horas después daba volteretas planas. ¿Qué principio — que el tensor solo insinúa y el artículo 03 remata — descubrió la NASA por las malas?
Solución
Girar por el eje de I mínimo (el largo del lápiz) es el estado de máxima energía rotacional a L fijo (E = L²/2I). Las antenas flexibles del Explorer disipaban energía en cada flexión; L se conservaba (sin pares externos) — así que el satélite migró al estado de mínima energía compatible: girar por el eje de I máximo, la voltereta plana. Regla eterna del diseño espacial desde entonces: «rota por tu eje mayor o lleva control activo». Un tensor, una disipación y una conservación bastaron para descolocar al primer satélite americano en su primera noche.