Newton en serio · Artículo 01

El idioma vectorial

El Nivel II empieza donde el I hizo trampa: el movimiento vive en tres dimensiones, y describirlo exige flechas con álgebra propia. Vectores, derivadas y la sorpresa fundacional: girar es acelerar.

En el Nivel I dijimos «velocidad» y «aceleración» confiando en el contexto. Ahora toca el idioma completo: posición, velocidad y aceleración son vectores — flechas que se suman por componentes — y el cálculo diferencial los conecta: v⃗=dr⃗/dt\vec{v} = d\vec{r}/dt, a⃗=dv⃗/dt\vec{a} = d\vec{v}/dt. La recompensa inmediata: una sola ecuación, F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a}, gobierna las tres dimensiones a la vez — y esconde una sorpresa que el Nivel I solo insinuó.

Prerrequisitos: el Nivel I completo — este módulo lo reconstruye con matemáticas. Derivadas básicas: si no las tienes frescas, cada una se explica al usarla.

Tres ecuaciones por el precio de una

La segunda ley, en serio, es vectorial:

F⃗=m a⃗  ⟺  {Fx=m x¨Fy=m y¨Fz=m z¨\vec{F} = m\,\vec{a} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} F_x = m\,\ddot{x} \\ F_y = m\,\ddot{y} \\ F_z = m\,\ddot{z} \end{cases}

(los puntos son derivadas temporales: x˙=dx/dt\dot{x} = dx/dt, la notación de Newton que usaremos sin pudor). La consecuencia práctica es el principio de independencia: cada componente evoluciona por su cuenta. La gravedad, que solo vive en la componente vertical, no toca a la horizontal — por eso la bala disparada horizontal y la moneda soltada a la vez tocan el suelo a la vez, aunque una recorra 300 metros y la otra ninguno. El artículo 02 exprimirá esta separación hasta la última gota.

La sorpresa: girar es acelerar

Un coche a 120 km/h constantes por una curva, ¿acelera? El velocímetro dice que no; el vector dice que sí: v⃗\vec{v} cambia de dirección, y a = dv/dt no distingue entre cambiar de módulo y cambiar de rumbo. Para el movimiento circular uniforme el cálculo da un resultado exacto y célebre — deriva dos veces r⃗=R(cos⁡ωt,sin⁡ωt)\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t) y obtendrás

a⃗=−ω2r⃗,a=v2R,\vec{a} = -\omega^2 \vec{r}, \qquad a = \frac{v^2}{R},

una aceleración de módulo v²/R apuntando siempre al centro: la aceleración centrípeta. No es una fuerza nueva: es una factura que alguna fuerza real debe pagar. En la rotonda del Nivel I la pagaba el rozamiento; en la órbita de la ISS la paga la gravedad entera (v²/R = 7660²/6,79×10⁶ = 8,6 m/s² — exactamente la g local: la órbita, auditada por componentes).

Ejemplo resuelto 1 · La centrifugadora y el astronauta

Problema. La centrifugadora de entrenamiento de la NASA tiene 8,8 m de brazo. ¿A cuántas vueltas por minuto somete al piloto a 5g?

Solución. Exige a = ω²R = 5g:

ω=5gR=49,058,8=2,36 rad/s  ⇒  2,36×602π≈22,5 rpm.\omega = \sqrt{\frac{5g}{R}} = \sqrt{\frac{49{,}05}{8{,}8}} = 2{,}36\ \mathrm{rad/s} \;\Rightarrow\; \frac{2{,}36 \times 60}{2\pi} \approx 22{,}5\ \mathrm{rpm}.

Resultado. Unas 23 revoluciones por minuto — un giro cada 2,7 segundos: modesto en apariencia, brutal en factura v²/R. La misma cuenta dimensiona el tambor de tu lavadora (23 cm a 1200 rpm: ω = 126 rad/s, a = ω²R ≈ 3650 m/s² — ¡370 g! — por eso la ropa se pega y el agua se va) y las futuras estaciones con «gravedad» rotatoria de la ciencia ficción seria.

La gramática, en limpio. Vectores que se derivan componente a componente; F = ma como tres ecuaciones independientes; y la lección profunda: la aceleración mide todo cambio del vector velocidad — frenar, arrancar y girar son el mismo fenómeno con distinto disfraz. Todo el Nivel II es conjugar este idioma.

Ejercicios

Ejercicio 1

Comprueba la afirmación del texto: deriva dos veces r⃗(t)=R(cos⁡ωt,sin⁡ωt)\vec{r}(t) = R(\cos\omega t, \sin\omega t) y verifica que a = ω²R = v²/R apuntando al centro.

Solución

Primera derivada: v⃗=Rω(−sin⁡ωt,cos⁡ωt)\vec{v} = R\omega(-\sin\omega t, \cos\omega t), de módulo v = ωR y perpendicular a r⃗\vec{r} (tangente, como debe). Segunda: a⃗=−Rω2(cos⁡ωt,sin⁡ωt)=−ω2r⃗\vec{a} = -R\omega^2(\cos\omega t, \sin\omega t) = -\omega^2\vec{r} — módulo ω²R, sentido opuesto al radio: hacia el centro. Y con v = ωR, ω²R = v²/R. Dos derivadas y sale solo: el cálculo hace gratis lo que la geometría del Nivel I solo podía afirmar.

Ejercicio 2

Un tren toma una curva de 1200 m de radio. La normativa limita la aceleración lateral sin peraltar a ~1 m/s². ¿Velocidad máxima? ¿Y por qué el AVE necesita curvas de 7000 m?

Solución

v = √(aR) = √1200 ≈ 35 m/s = 125 km/h. Para 300 km/h (83,3 m/s) con la misma factura: R = v²/a = 6940 m — ahí están los 7000 m del trazado AVE. La aceleración centrípeta crece con v², así que triplicar la velocidad exige multiplicar por nueve el radio (o peraltar, que desvía parte de la factura a la normal — el ejercicio de la rotonda del Nivel I, ascendido a ingeniería civil).

Ejercicio 3

En lo alto de una atracción de «looping» de 8 m de radio, ¿qué velocidad mínima evita que el vagón (y tu desayuno) se despeguen del raíl?

Solución

En la cúspide, gravedad y normal apuntan ambas al centro (abajo). El caso límite es normal cero: la gravedad sola paga la factura, g = v²/R, o sea v = √(gR) = √78,5 ≈ 8,9 m/s (32 km/h). Más despacio, la gravedad «sobra» y el vagón cae del raíl (por eso los loopings reales llevan margen y forma de gota, no de círculo: menos radio arriba, menos velocidad exigida). El criterio v² = gR reaparecerá en las órbitas: la ISS es un looping cuya cúspide dura para siempre.