Orientar un sólido pide tres números, y la elección clásica son los ángulos de Euler: precesión φ (hacia dónde apunta el eje), inclinación θ (cuánto se tumba) y rotación propia ψ (cuánto ha girado sobre sí). Con ellos, la peonza simétrica con gravedad se rinde al método de III.1: su lagrangiana tiene dos coordenadas cíclicas (φ y ψ — ni el azimut ni la fase propia cambian la física), dos monedas de Noether al bolsillo, y el problema entero se reduce a un mapa de energía unidimensional en θ. La maquinaria del curso, cobrando en su problema más famoso.
El mapa de la peonza
Cobradas las dos monedas (p_φ y p_ψ = I₃ω₃, ambas constantes), queda E = ½I₁θ̇² + V_ef(θ): un valle efectivo en la inclinación, con la barrera giroscópica haciendo de pared (tumbar el eje con L_z fijo cuesta cinética de precesión — el pariente exacto de la barrera centrífuga de II.6). La lectura del mapa, ya rutinaria: el fondo del valle es la precesión estacionaria — el eje conea uniforme, con la Ω = mgl/I₃ω₃ que II.5 sacó con las manos, ahora deducida —; las oscilaciones alrededor del fondo son la nutación — el cabeceo que ondula el cono, visible al soltar cualquier peonza antes de que la fricción lo lima — y los puntos de retorno acotan cuánto puede tumbarse. Todo el repertorio visual del juguete, leído en una curva.
Problema. Una peonza lanzada perfectamente vertical «duerme»: gira inmóvil como clavada, hasta que de pronto — sin aviso — despierta y empieza a conear. ¿Qué decide el sueño y qué lo rompe?
Solución. En θ = 0, el valle efectivo puede tener fondo o cima según compitan la gravedad (que tumba) y el giro (que atiesa). El análisis de curvatura — el mismo de la cuenta en el aro — da el criterio exacto:
por encima, la vertical es mínimo (dormida: las perturbaciones oscilan y no crecen); por debajo, cima — y el más mínimo temblor se amplifica en coneo. La fricción con el suelo drena ω₃ lentamente… hasta cruzar el umbral: el «despertar» súbito es una bifurcación de manual, la horquilla de III.1 con la velocidad de giro como parámetro.
Resultado. Para una peonza de juguete el umbral ronda las 10–15 vueltas por segundo: lánzala fuerte y duerme medio minuto; el despertar llega siempre, y siempre «de golpe» — las transiciones no avisan, se cruzan. Un niño con una peonza observa cada tarde el mismo fenómeno que organiza imanes, aros giratorios y vacíos de Higgs. Solo que él no le pone nombre.
El giróscopo, profesionalizado. Quita la gravedad (soporta la peonza por su centro de masas) y la precesión desaparece: el eje se clava en el espacio — es el giróscopo libre, la brújula inercial. Sobre esa terquedad se navegó el siglo XX: los sistemas inerciales de aviones y submarinos integran F = ma a partir de ejes que no giran «porque L se conserva». Y la versión con gravedad tiene su oficio propio: el girocompás fuerza una precesión que solo se anula cuando el eje apunta al norte verdadero (el de rotación terrestre, no el magnético) — los barcos lo llevan desde 1908. La peonza de este artículo, con uniforme.
Ejercicios
La bicicleta sin manos: al inclinarte a la izquierda, la rueda delantera «decide» girar a la izquierda y la bici se endereza sola. Explícalo como precesión — ¿qué par, qué L, qué respuesta?
Solución
La rueda es un giróscopo con L apuntando por su eje. Inclinarse aplica un par gravitatorio que intenta tumbar L — y un giróscopo responde precesando: L gira en horizontal, que para la rueda delantera (libre en la dirección) significa girar el manillar hacia la caída. La trayectoria se curva, la centrífuga endereza, y la bici se salva sola — a cada bache. (Honestidad de II.5 mantenida: los experimentos con bicis de contra-giro muestran que la geometría de la horquilla aporta tanto o más; la precesión es parte del coro, no solista. La estabilidad de la bicicleta sigue generando papers en 2020 — pocas humillaciones tan sanas para la física como un objeto de 1880 sin teoría cerrada.)
¿Por qué las balas y los balones de fútbol americano se lanzan girando por su eje largo — si el Explorer 1 enseñó que ese eje es el «malo»?
Solución
Porque la lección del Explorer exige disipación interna para actuar (energía que baje con L fijo), y una bala rígida en un vuelo de un segundo no tiene ni lo uno ni lo otro: en tiempos cortos, girar por el eje largo es perfectamente estable (es eje principal extremo — el teorema del artículo 03 lo bendice). El giro largo, además, minimiza el momento de inercia y maximiza la rigidez giroscópica por unidad de L frente a los pares aerodinámicos. Regla completa: eje mayor para vivir años en órbita con paneles flexibles; eje menor para volar un segundo hacia la diana. El plazo manda.
El girocompás se orienta al norte de rotación en cualquier barco… pero falla sistemáticamente en vehículos que viajan rápido hacia el este o el oeste. ¿Por qué? (Pista: ¿qué rotación total «ve» el aparato?)
Solución
El girocompás busca el eje de la rotación que experimenta — y esa es la suma de la terrestre (una vuelta al día) más la del propio vehículo alrededor del planeta. Un barco a 20 nudos hacia el este añade su ω orbital a la de la Tierra y el norte aparente se desvía (grados enteros en latitudes altas: la «corrección de velocidad» que los oficiales aplican de tabla). Un avión rápido lo confunde del todo — por eso la aviación saltó a plataformas inerciales completas. Moraleja de todo el módulo: los giróscopos no conocen el norte ni el suelo: solo conocen L — y L es fiel al espacio, no a tus mapas.