El espacio de fases trata a q y p casi en pie de igualdad — ¿por qué no mezclarlos? Un cambio (q, p) → (Q, P) que puede enredar posiciones con momentos abre una libertad enorme… y un peligro: la mayoría de los cambios rompen las ecuaciones de Hamilton. Las que las respetan — para cualquier hamiltoniana — son las transformación canónicas, y el criterio de pureza es el corchete de III.2:
Conservar el «uno» estructural es conservar la mecánica entera — incluido Liouville: toda canónica preserva el volumen de fases. La estrategia del módulo: si el problema es difícil en tus variables, cámbialas por unas donde sea trivial. Este artículo fabrica la herramienta; los siguientes la llevan al límite.
Las funciones generatrices: canónicas por construcción
¿Cómo fabricar canónicas sin comprobar corchetes una a una? Con función generatriz — una función mezcla de lo viejo y lo nuevo cuyas derivadas definen el cambio. La variante más usada, S(q, P):
eliges S, y la transformación que induce es canónica por teorema, sin letra pequeña. Ejemplos de calibración: S = qP es la identidad. Y con la otra variante clásica, la que mezcla las dos coordenadas viejas y nuevas — F₁(q, Q), con p = ∂F₁/∂q y P = −∂F₁/∂Q; ojo, es otra función y otras reglas —, F₁ = qQ intercambia posiciones y momentos (Q = p, P = −q: en el espacio de fases, «qué es posición» es una convención rotable — cuesta un vértigo la primera vez, y es el vértigo correcto). La generatriz parece un artilugio; el artículo 02 revelará que la naturaleza tiene una favorita — y que la llevas viendo todo el curso.
Problema. Resuelve el oscilador H = p²/2m + ½mω²q² sin integrar ninguna ecuación diferencial: solo eligiendo variables.
Solución. Busca (Q, P) donde H dependa solo de P. La transformación (fabricada con la generatriz S = ½mωq²·cot Q — compruébala si quieres mancharte):
Las ecuaciones nuevas son un chiste: Ṗ = 0 (P constante) y Q̇ = ω (Q avanza uniforme). Deshaz el cambio y ahí está q(t) = A sen(ωt + φ) — la solución de II.3, obtenida sin resolver nada.
Resultado. El movimiento del oscilador era trivial en las variables correctas: un ángulo que gira a ritmo fijo y una «cantidad de oscilación» P = E/ω que no cambia. Las elipses del retrato de III.2, vistas con estas gafas, son círculos recorridos como relojes. Ese par (ángulo que gira, acción constante) tiene nombre propio y artículo propio: el 03. La moraleja ya es tuya: resolver = encontrar la transformación que trivializa.
Tres órbitas del oscilador con distintas amplitudes. Desliza hacia las variables acción-ángulo: las elipses se vuelven círculos y las tres bolas — que ya giraban solidarias — se revelan como agujas de un mismo reloj.
En (q, p), cada energía traza su elipse — misma forma, distinto tamaño, recorridas al unísono (el isocronismo de II.3).
La dinámica misma es canónica. El giro conceptual favorito de Hamilton: la evolución temporal — llevar cada estado (q₀, p₀) a donde estará en t — es ella misma una transformación canónica (con generatriz… la acción clásica: el artículo 02 cobra esta frase). Evolucionar es cambiar de coordenadas; el tiempo es un contable que remezcla el espacio de fases sin romper nada. De aquí salen Liouville (por eso conserva volumen), los integradores simplécticos (imitan la canonicidad paso a paso) y media geometría del siglo XX.
Ejercicios
Comprueba con el corchete que (Q, P) = (p, −q) es canónica y que (Q, P) = (p, q) — el intercambio «ingenuo», sin signo — no lo es. ¿Qué protege ese signo?
Solución
{Q, P} con la primera: {p, −q} = +1 ✓; con la segunda: {p, q} = −1 ✗. El signo protege la orientación del espacio de fases — el sentido de giro de los relojes de la dinámica (las elipses del oscilador giran todas en el mismo sentido: eso es física, no convención). Una transformación con corchete −1 convertiría todos los flujos en sus espejos temporales. El signo menos de Hamilton, una vez más, cargando con la estructura del mundo.
La transformación de escala Q = λq, P = p/λ es canónica para todo λ (compruébalo). Aplícasela al oscilador y explica qué «gratis» computacional esconde.
Solución
{λq, p/λ} = 1 ✓. Sobre el oscilador, λ = √(mω) lo adimensionaliza: H = (ω/2)(P² + Q²) — el círculo perfecto, sin constantes que arrastrar. Es el «sistema de unidades naturales» como transformación canónica: lo que los físicos hacen al poner m = ω = 1 no es pereza — es elegir la escala canónica donde el problema es geometría pura. Todos los interactivos de este sitio corren en variables así; ahora sabes el permiso formal con el que lo hacen.
¿Por qué «pasar al sistema rotante» (el tiovivo de II.1) es una transformación canónica dependiente del tiempo, y qué le hace a la hamiltoniana? Conéctalo con el H ≠ E del aro giratorio.
Solución
Girar las coordenadas con Ωt mezcla (x, y) y (p_x, p_y) de forma canónica en cada instante — pero al depender del tiempo, la nueva hamiltoniana no es la vieja disfrazada: gana un término −ΩL_z. Ese término es, exactamente, el potencial centrífugo y Coriolis empaquetados: K = E − ΩL_z es el invariante de Jacobi que ordena los puntos de Lagrange (hoja III.1) y el H-que-no-es-E del artículo 01 de Hamilton. Las «fuerzas ficticias» de II.1 eran el precio de una canónica dependiente del tiempo — el formalismo les acaba de dar partida de nacimiento.