Módulo I.1 contó la caída de la Luna; este módulo hace las órbitas con todas las de la ley. Empezamos donde empezó la historia: Kepler (1609-1619) leyó en los datos de Tycho tres regularidades — sin saber por qué. Primera: las órbitas son elipses con el Sol en un foco. Segunda: el radio barre áreas iguales en tiempos iguales — el planeta corre más cerca del Sol. Tercera: entre planetas,
Newton demostró después que las tres son consecuencias de F = GMm/r² — el examen final del Nivel III. Aquí toca entenderlas, usarlas y auditarlas.
La auditoría del lector
La tercera ley se comprueba con una división. En unidades de año y unidad astronómica (a de la Tierra = 1, T = 1), a³/T² debe dar 1 para todo el sistema solar:
| Planeta | a (UA) | T (años) | a³/T² |
|---|---|---|---|
| Mercurio | 0,387 | 0,241 | 0,998 |
| Venus | 0,723 | 0,615 | 0,999 |
| Tierra | 1 | 1 | 1,000 |
| Marte | 1,524 | 1,881 | 1,000 |
| Júpiter | 5,203 | 11,86 | 1,001 |
| Saturno | 9,537 | 29,45 | 1,000 |
Cuatro cifras significativas de obediencia, de Mercurio a Saturno — un factor 25 en distancia, un factor 122 en período. Pocas leyes de la naturaleza se dejan verificar así con una calculadora de bolsillo; esta tabla, con números de 1619, es de las páginas más honestas de la historia de la ciencia. Y es útil: mide el período de cualquier cosa que orbite el Sol y tendrás su distancia — así se cartografió el sistema solar antes de poder medir ni una sola distancia absoluta.
Problema. Demuestra que «áreas iguales en tiempos iguales» es exactamente la conservación del momento angular de II.5.
Solución. El área barrida por el radio en dt es el triángulo de base r y altura v_perp·dt: dA = ½r·v_perp·dt. Multiplica y divide por m:
Resultado. Ritmo de barrido = L/2m: constante si y solo si L se conserva — y se conserva, porque la gravedad apunta al Sol y una fuerza central no tiene brazo (τ = 0 respecto del foco). Kepler midió la conservación del momento angular en 1609, 233 años antes de que la magnitud tuviera nombre. El cometa Halley la exhibe a lo bestia: a 0,59 UA del Sol corre a 54 km/s; a 35 UA, a menos de 1 — el perihelio de tres meses y el afelio de décadas son la patinadora de II.5 en versión de 76 años.
Lo que las tres leyes no dicen. Ni por qué elipses, ni por qué a³/T², ni qué vale la constante (que resulta ser 4π²/GM — la tercera ley pesa al Sol, y a cualquier planeta con lunas: así se pesó Júpiter en el siglo XVII). Kepler es fenomenología perfecta esperando teoría — el patrón historia-de-la- física que ya viste con Galileo y la caída. El artículo 02 pone la teoría: energía y momento angular bastan para reconstruir todo el catálogo de órbitas.
Ejercicios
El cometa Halley tiene T = 76 años. Sin más datos: ¿cuál es su semieje mayor? ¿Y hasta dónde llega su afelio, si su perihelio está en 0,59 UA?
Solución
Kepler III: a = T^(2/3) = 76^(2/3) ≈ 17,9 UA. El semieje es el promedio de perihelio y afelio: r_af = 2a − r_per = 35,9 − 0,6 ≈ 35,3 UA — más allá de Neptuno. Una división y una resta sitúan el punto de retorno de un cometa a cinco mil millones de kilómetros: es la fuerza bruta de una buena ley empírica. (Halley hizo esta cuenta en 1705 y citó a su cometa para 1758 — I.5 contó el final.)
La órbita geoestacionaria — la de los satélites que «no se mueven» del cielo — debe tener T = 23 h 56 min (el día sidéreo). Deduce su radio con la versión terrestre de Kepler III, sabiendo que la ISS (r = 6771 km) da una vuelta en 92,4 min.
Solución
Regla de tres keplerianas: (r_G/r_ISS)³ = (T_G/T_ISS)² con T_G/T_ISS = 1436/92,4 = 15,54: r_G = 6771 × 15,54^(2/3) ≈ 42 170 km — 35 800 km de altura, la órbita Clarke donde viven las antenas parabólicas fijas (el valor tabulado es 42 164 km: cuatro cifras con una regla de tres). Nota el método: ni G ni la masa de la Tierra hicieron falta — un satélite conocido calibra a todos los demás. Kepler III es la tabla de conversión período-distancia de cualquier sistema.
Las lunas de Júpiter obedecen su propio Kepler III con otra constante. Ío: a = 422 000 km, T = 1,77 días. Pesa Júpiter en soles.
Solución
La constante vale 4π²/GM: comparar la de Júpiter con la del Sol da masas. En unidades UA-año: a_Ío = 2,82×10⁻³ UA, T = 4,85×10⁻³ años: M_J/M_S = a³/T² = 2,24×10⁻⁸/2,35×10⁻⁵ ≈ 1/1050. Júpiter pesa una milésima de Sol — el valor moderno es 1/1048. Así se pesan planetas, estrellas dobles, agujeros negros (la S2 orbitando Sagitario A* es este ejercicio con 4 millones de soles) y galaxias enteras: todo lo que tenga algo dando vueltas alrededor se pesa con Kepler III. La báscula más usada de la astronomía cabe en una línea.