Dos ciclistas suben el mismo puerto: mismos julios (mgh). Uno tarda 40 minutos y otro 80 — y la diferencia entre ambos es la magnitud de este artículo. La potencia es el ritmo del trabajo, P = dW/dt, con su forma más útil — y su unidad, el vatio, es la moneda por segundo de toda la física aplicada.
El motor humano, calibrado
Números de referencia que conviene llevar encima: en reposo, tu metabolismo son ~100 W (la bombilla de I.3). Un aficionado en forma sostiene 150–250 W en bici; un profesional del Tour, ~400 W durante una hora (el récord de la hora se cabalga a ~440 W), con picos de sprint de 1800 W. La cifra reina del ciclismo es W/kg: subir un puerto es literalmente P = mgv·pendiente, y a igualdad de vatios gana el ligero — los escaladores puros rondan 6,5 W/kg sostenidos. Con esa fórmula, el puerto se predice con reloj:
Problema. Ciclista + bici = 75 kg, potencia sostenida 300 W, pendiente del 8 %. ¿Velocidad de ascenso? ¿Cuánto tarda en un puerto de 600 m de desnivel?
Solución. Subiendo despacio, el aire apenas cuenta (compruébalo: a 5 m/s, P_aire = ½ρC_dAv³ ≈ 25 W). Casi todos los vatios van contra la gravedad:
Resultado. Y el desnivel se paga a ritmo fijo: v_vertical = P/mg = 0,41 m/s → 600 m en ~25 minutos. Esta cuenta la hacen (al revés) los aficionados con potenciómetro y los directores de equipo con cronómetro: del tiempo de ascensión real se deduce la potencia del rival con precisión incómoda. La física convirtió el puerto en un dinamómetro de 600 m.
El muro cúbico
En llano la gravedad no cobra y manda el aire — y aquí viene el muro. Arrastre F ∝ v² por P = Fv: la potencia contra el aire crece con v³. Para un ciclista típico (C_dA ≈ 0,32 m²), sostener 36 km/h cuesta ~190 W aerodinámicos; 43 km/h (un +20 %), ~330; 50 km/h, ~520 — territorio de profesional lanzado. Cada km/h extra sale más caro que el anterior, sin techo. El interactivo deja tocar el muro — y explica de paso todo el catálogo de la obsesión aerodinámica: cabras de crono, cascos de gota, ir a rueda (chupar rueda ahorra ~30 % de potencia: el deporte entero se estructura alrededor de ese descuento), y por qué tu coche gasta tanto más a 140 que a 100 — el v³ no negocia con nadie.
Ciclista de 83 kg con la bici (C_dA = 0,32 m²). La potencia contra el aire va con v³; la rodadura, con v; la pendiente, con v y sin piedad.
225 W: aficionado en forma. Sube 5 km/h y mira el término del aire: el cubo no negocia. De 36 a 50 km/h la potencia aerodinámica casi se triplica.
El módulo, en limpio. (1) Trabajo = ∫F·dr, y lo trabajado es lo acelerado. (2) Las fuerzas con memoria admiten potencial, y E = ½mv² + U se conserva — la contabilidad del Nivel I, ahora teorema. (3) El mapa U(x) resuelve sin resolver: retornos, valles, y todo mínimo es un muelle ω² = U″/m. (4) La potencia P = Fv pone el reloj — y el aire cobra al cubo. El módulo II.3 vive en el fondo del valle: oscilaciones, con toda su música.
Ejercicios
Un coche de 100 kW y 1500 kg, ¿qué velocidad punta tiene si su C_dA = 0,66 m² y la rodadura cobra F_r ≈ 150 N constantes?
Solución
Punta = toda la potencia contra las resistencias: P = (½ρC_dAv² + F_r)·v — una cúbica que se rinde probando. Con v = 61 m/s: aire = 0,396 × 61² ≈ 1470 N, más 150 de rodadura: 1620 N × 61 ≈ 99 kW ✓. Punta teórica ≈ 61 m/s ≈ 220 km/h (la real queda algo por debajo: la transmisión también cobra). Más instructivo que el número: duplicar la potencia solo sube la punta un ~26 % (2^⅓, porque P ∝ v³ en el límite) — la raíz cúbica es la venganza del muro, y la razón de que los récords de velocidad cuesten potencias absurdas.
La presa de las Tres Gargantas turbina hasta 22,5 GW. Traduce a «cascadas de Niágara» (~2400 m³/s cayendo 51 m) y a «Tours de Francia» (400 W por ciclista).
Solución
Niágara: P = ρQgh = 1000 × 2400 × 9,81 × 51 ≈ 1,2 GW — las Tres Gargantas son ~19 Niágaras enchufadas. En ciclistas: 22,5×10⁹/400 ≈ 56 millones de profesionales pedaleando a la vez — más ciclistas que habitantes tiene España. La moraleja de I.3 con esteroides: la energía hidráulica es barata porque la gravedad trabaja gratis y a escala de continente.
¿Por qué los trenes de alta velocidad dedican enormes esfuerzos al diseño del morro… y sin embargo su gran batalla aerodinámica se libra en los túneles?
Solución
En abierto, un AVE a 300 km/h (83 m/s) paga el v³ como todos: del orden de 4–6 MW casi íntegros contra el aire — de ahí el morro y los faldones. Pero en un túnel el tren es un pistón: debe empujar el aire del tubo por delante, el C_dA efectivo se dispara y aparecen ondas de presión (el «boom de túnel» japonés, que obligó a los morros-pico de los Shinkansen). La potencia instalada de un tren se dimensiona por sus túneles, no por su llano. El v³ es implacable; encerrado en un tubo, además, es creativo.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Trabajo | W = ∫ F·dr, integral de línea. El producto escalar filtra: fuerza perpendicular al paso no trabaja | art. 01 |
| Las que nunca trabajan | La normal, la centrípeta (por eso la Luna orbita sin factura en julios) y llevar una maleta por un pasillo horizontal — el gasto del bíceps es fisiológico, no mecánico | art. 01 |
| Teorema trabajo-energía | W_total = ΔE_c = ½mv_f² − ½mv_i². Asciende ½mv² de definición a consecuencia de F = ma | art. 01 |
| Por qué la cinética va con v² | Porque la distancia recorrida durante una aceleración crece con el cuadrado de la velocidad final: frenar y chocar eran un solo teorema | art. 01 |
| La demostración, en dos líneas | dx = v dt ⟹ W = ∫ m(dv/dt)·v dt = m∫v dv. Reconocer una derivada exacta es la herramienta favorita del oficio | art. 01, ej. 1 |
| Energía elástica | W = ∫₀ˣ kx' dx' = ½kx². Con k = 500 N/m: 2,5 J los primeros 10 cm y 7,5 J los diez siguientes — el triple por el mismo decímetro | art. 01, ej. res. 1 |
| Signo del trabajo | Positivo acelera, negativo frena. El rozamiento cobra siempre; la gravedad da cero neto en cualquier lazo que vuelva a su altura | art. 01 |
| Fuerza conservativa | Su trabajo no depende del camino ⟺ es cero en todo circuito cerrado ⟹ admite potencial. El rozamiento suspende las tres pruebas | art. 02 |
| Definición de potencial y su dividendo | W(A→B) = U(A) − U(B): una resta sustituye a una integral | art. 02 |
| Conservación de la energía mecánica | E = ½mv² + U(x) = constante. No es un axioma: es el teorema trabajo-energía reordenado, válido si todo lo que trabaja es conservativo | art. 02 |
| Los dos potenciales canónicos | U = mgh (gravedad cerca del suelo) y U = ½kx² (muelle) | art. 02 |
| La fuerza desde el potencial | F = −dU/dx: apunta cuesta abajo del paisaje, con módulo igual a la pendiente. Dame U y te doy la dinámica | art. 02 |
| Potencial gravitatorio verdadero | U(r) = −GMm/r con la referencia U(∞) = 0. Negativo significa «atrapado» en el pozo | art. 02, ej. res. 1 |
| Velocidad de escape | v_e = √(2GM/R) = √(2gR) = 11,2 km/s — los del cañón de Newton, ahora deducidos sin integrar ninguna trayectoria | art. 02, ej. res. 1 |
| Fuerzas sin memoria | ΔE_mec = W_no-cons. No destruyen energía: la exportan fuera de la contabilidad mecánica, a calor | art. 02 |
| Cuándo miente mgh | Vale al ~1 % hasta ~30 km — toda la aviación — y muere en el espacio: para 8 km/s da 3260 km frente a los ~6600 km reales (r = R/(1 − v²/2gR), con v²/2gR = 0,51) | art. 02, ej. 3 |
| Auditar sin geometría | Tobogán de 3 m, niño de 30 kg que llega a 5 m/s: presupuesto mgh = 883 J, cobrado ½mv² = 375 J, al rozamiento 508 J (el 58 %) — sin saber longitud, forma ni μ | art. 02, ej. 2 |
| Mapa U(x), reglas 1 y 2 | Prohibido volar bajo la curva (E por debajo de U exigiría cinética negativa: región inaccesible); en los cruces E = U hay punto de retorno, v = 0 con fuerza no nula | art. 03 |
| Mapa U(x), reglas 3 y 4 | Valles = equilibrio estable, cárcel amable entre dos retornos; cimas = equilibrio inestable, el lápiz de punta | art. 03 |
| Todo mínimo es un muelle | Taylor: U ≈ U(x₀) + ½U″(x₀)(x−x₀)², luego ω = √(U″(x₀)/m). El mundo está lleno de osciladores no porque abunden los muelles, sino porque abundan los mínimos | art. 03 |
| El enlace químico como paisaje | H₂: valle de 4,5 eV (7,2×10⁻¹⁹ J) con mínimo en 0,74 Å. Disociar equivale a ~52 000 K; enlace = valle, vibración = oscilación entre retornos, activación = la cima | art. 03, ej. res. 1 |
| Vibración de H₂, calculada | U″ = 510 N/m y masa reducida 8,4×10⁻²⁸ kg → ω = 7,8×10¹⁴ rad/s, f = 1,24×10¹⁴ Hz. El valor espectroscópico es 1,32×10¹⁴: 6 % de error, todo él anarmonicidad | art. 03, ej. 2 |
| El péndulo leído en el mapa | U(θ) = mgL(1 − cos θ): mínimo estable en θ = 0, máximo inestable en θ = π con U = 2mgL. Por debajo de 2mgL oscila, por encima da molinete, y justo ahí está la separatriz | art. 03, ej. 1 |
| Dilatación térmica | El valle real (Morse) es asimétrico: al subir E el retorno exterior se aleja más de lo que el interior se acerca, y la distancia media crece | art. 03, ej. 3 |
| Potencia | P = dW/dt, y en su forma útil P = F·v. El vatio es la moneda por segundo | art. 04 |
| El motor humano, calibrado | Reposo ~100 W · aficionado en forma 150–250 W · profesional ~400 W durante una hora (récord de la hora ~440 W) · sprint 1800 W · escaladores puros ~6,5 W/kg | art. 04 |
| Subir un puerto | v = P/(mg·sen θ); 75 kg a 300 W al 8 % → 5,1 m/s = 18,4 km/h. Y el desnivel se paga a ritmo fijo: v_vertical = P/mg = 0,41 m/s, 600 m en 25 min | art. 04, ej. res. 1 |
| El muro cúbico | P_aire = ½ρC_dAv³. Ciclista con C_dA ≈ 0,32 m²: 192 W a 36 km/h, 327 W a 43 y 514 W a 50. Ir a rueda descuenta ~30 % | art. 04 |
| Velocidad punta de un coche | P = (½ρC_dAv² + F_r)·v; 100 kW con C_dA = 0,66 m² y 150 N de rodadura → 61 m/s ≈ 220 km/h. Duplicar la potencia solo sube la punta un 26 % (2^⅓) | art. 04, ej. 1 |
| Potencia hidráulica | P = ρQgh; el Niágara (2400 m³/s cayendo 51 m) da 1,2 GW, y las Tres Gargantas (22,5 GW) son ~19 Niágaras — o 56 millones de ciclistas a 400 W | art. 04, ej. 2 |