Dificultad ●○○–●●●, sin soluciones: las pistas señalan el camino y se callan el resultado. La estrategia de la casa: antes de derivar nada, pregúntate si una resta de energías responde — casi siempre sí.
El ejercicio 1 del artículo 03 leyó el péndulo en su curva U(θ) y encontró la energía crítica que separa oscilar de dar vueltas. Ese péndulo colgaba de una varilla. Este cuelga de cadenas, y la diferencia decide el problema. Un columpio de 3 m se suelta desde la horizontal (90°). ¿Velocidad en el punto más bajo? ¿Y desde 45°? ¿Por qué ningún niño consigue «dar la vuelta» impulsándose — y por qué el umbral que te sale no es el del artículo 03?
Pista
Solo cuenta la altura perdida, no el recorrido: escribe h en función de L y del ángulo inicial y la conservación hace el resto (la tensión no trabaja nunca — es perpendicular al movimiento, y esa es la razón por la que puedes ignorar toda la dinámica). Para la vuelta completa, la clave está en qué puede y qué no puede hacer una cadena: una barra empuja, una cadena solo tira. Escribe la segunda ley en la cúspide con esa restricción, saca la velocidad mínima que exige y de ahí la altura de partida necesaria. Compárala con la que un niño alcanza bombeando y tendrás la respuesta.
Una montaña rusa suelta el vagón desde altura H hacia un bucle circular de radio R. Demuestra que H ≥ 2,5R para completarlo, y calcula la g que sufre el pasajero en el punto más bajo si H = 2,5R justo.
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Dos ingredientes que ya tienes: conservación entre la salida y la cúspide del bucle — cuidado con la altura de esa cúspide, que no es R — y la condición de cúspide de II.1 que acabas de usar en el problema anterior. Para la segunda parte, en el punto más bajo la normal tiene que pagar el peso y además la centrípeta, y la velocidad ahí sale de la misma conservación. El número que obtengas es exactamente el argumento contra los bucles circulares: si el radio fuera constante, esa g sería la de todos los pasajeros; con una gota (radio grande abajo, pequeño arriba) el castigo se reparte. Comprueba en qué sentido cambia la cuenta al estrechar el radio superior.
En 2012, Felix Baumgartner saltó desde 39 km. En el vacío habría llegado al suelo a unos 875 m/s; su máximo real fue 377 m/s (1358 km/h, récord y barrera del sonido batida a 28 km de altura). ¿Dónde está la diferencia de energía, y por qué alcanzó su máximo tan arriba en vez de seguir acelerando?
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La primera pregunta es contabilidad pura a lo Joule (I.3): la diferencia entre las dos velocidades no se ha perdido, ha cambiado de titular. Calcúlala por kilo y decide quién se la quedó y en qué forma; después compárala con algo cotidiano para que el número signifique algo. La segunda es la velocidad terminal de II.1 leída con ρ variable: escribe v_t en función de la densidad y pregúntate qué le pasa a v_t según se baja. El salto entero es una persecución entre dos velocidades — identifica cuál alcanza a cuál, dónde se cruzan, y qué ocurre a partir del cruce.
Con la U = −GMm/r que el ejemplo resuelto del artículo 02 dedujo para escapar del todo, calcula ahora lo que cuesta quedarse: el coste energético por kilo de poner algo en órbita baja (h = 400 km, incluyendo la cinética orbital), y compáralo con el precio del kWh doméstico. ¿Qué fracción del escape completo es? ¿Y por qué lanzar cuesta millones si la energía sale a céntimos?
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El coste por kilo tiene dos partidas y es facilísimo olvidar una: hay que subir el objeto y además ponerlo a velocidad orbital. Escribe E/m como suma de ambas y fíjate en cuál domina — el reparto sorprende y dice algo importante sobre qué es realmente difícil de llegar al espacio. Convierte a kWh y compara con tu factura. Para la paradoja, la respuesta no está en este módulo sino en II.4: pregúntate a qué le da energía un cohete además de a su carga útil, y por qué esa factura no crece linealmente con el Δv.
Dos puntos de masa M fijos a distancia 2a (un «asteroide doble» de juguete). Dibuja U(x) para una partícula que se mueve por el eje que los une y por el eje perpendicular mediador. Localiza equilibrios, clasifícalos, y encuentra la frecuencia de oscilación pequeña en el caso estable.
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Escribe U sumando las dos contribuciones y explota la simetría: en el punto medio, por simetría, la primera derivada se anula en cualquier dirección — así que todo el trabajo está en la segunda. Hazlo por separado a lo largo del eje que une las masas y a lo largo del mediador, y compara los signos. Ojo con el mediador: ahí las dos fuerzas tienen componentes que se cancelan y otras que se suman, así que descompón antes de derivar o te saldrá el signo cambiado. Un punto puede ser mínimo en una dirección y máximo en la otra: eso tiene nombre, y es el mismo objeto que sostendrá telescopios en II.6. La frecuencia sale de ω² = U″/m evaluada donde corresponda.
El corazón humano bombea ~5 L/min elevando la presión de la sangre en ~13 kPa (100 mmHg). Calcula su potencia mecánica, compárala con los ~8 W que consume metabólicamente, y estima cuántos julios late en 80 años de vida. Da el resultado en «chocolatinas» (1 MJ) y asómbrate con moderación.
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Potencia hidráulica: mira las unidades y verás que presión × caudal ya son vatios — no hace falta nada más. Convierte el caudal al SI antes de tocar la calculadora, que ahí se pierde media clase. Para el rendimiento, divide por los ~8 W metabólicos y compara con el rendimiento típico de un músculo, que puedes buscar. Y para los 80 años, escribe aparte el orden de magnitud de los segundos que tiene una vida antes de multiplicar: es el factor que hace que un vatio ridículo termine en una cifra que impresiona.
Al terminar esta hoja resuelves con restas lo que antes exigía trayectorias: bucles, saltos estratosféricos, órbitas y corazones. El módulo II.3 baja al fondo del valle que todo mínimo esconde — y le pone música: oscilaciones.