Con E = ½mv² + U(x) constante, la gráfica de U(x) se vuelve un oráculo: la distancia vertical entre la raya E y la curva U es la cinética en cada punto. Donde se cruzan, v = 0: punto de retorno, el móvil rebota. Donde U tiene un mínimo, hay equilibrio estable — un valle donde quedarse a oscilar. Este artículo enseña a leer el mapa; el interactivo deja recorrerlo con una canica.
La lectura en cuatro reglas
(1) Prohibido volar bajo la curva: E < U exigiría cinética negativa — la región es inaccesible. (2) Rebote en los cruces: E = U es v = 0 con fuerza no nula: retorno. (3) Valles = cárceles amables: entre dos puntos de retorno el móvil oscila para siempre (sin fricción). (4) Cimas = navajas: en un máximo el equilibrio existe pero cualquier soplo lo deshace — el lápiz de punta. Con estas cuatro reglas se lee de un vistazo cualquier sistema unidimensional: muelle (parábola perfecta, oscilación eterna), pozo gravitatorio (−1/r: órbitas ligadas bajo cero, escape sobre cero — el ejemplo resuelto de ayer, ahora en imagen), y la molécula del ejemplo de hoy.
Elige paisaje y sube o baja la energía total. Los puntos marcan los retornos (E = U): entre ellos, movimiento permitido; bajo la curva, territorio prohibido.
La parábola perfecta: dos puntos de retorno simétricos a cualquier energía. Oscilación eterna e idéntica — el patrón de todo fondo de valle.
Problema. El potencial entre los dos átomos de H₂ tiene un valle de profundidad 4,5 eV (7,2×10⁻¹⁹ J) con mínimo en 0,74 Å. Lee el mapa: ¿qué es vibrar, qué es disociar, y por qué el calor rompe moléculas?
Solución. El valle es el enlace. Una molécula con poca energía sobre el fondo está ligada: sus dos átomos oscilan entre dos puntos de retorno — eso es la vibración molecular, y su frecuencia (~10¹⁴ Hz: infrarrojo) sale de la curvatura del fondo del valle. Subir la temperatura es subir la raya E: a ~50 000 K de energía equivalente (4,5 eV), la raya supera el borde del valle y los átomos se separan sin retorno — disociación.
Resultado. Química leída en un dibujo de mecánica: enlace = valle, vibración = oscilación entre retornos, reacción = saltar de un valle a otro, energía de activación = la cima que separa ambos. Medio Termario y medio Cuantario futuro caben en este mapa — de momento, clásicamente.
La curvatura del valle: un anticipo con premio
Cerca de cualquier mínimo x₀, Taylor (el teorema, no el libro) aproxima U por una parábola: U ≈ U(x₀) + ½U″(x₀)(x−x₀)². Compárala con el muelle ½kx²: todo valle es un muelle efectivo con k = U″(x₀), y el fondo de cualquier pozo oscila con
Esta línea es la explicación — prometida en I.2 — de por qué el mundo está lleno de osciladores: no porque abunden los muelles, sino porque abundan los mínimos, y de cerca todos son parabólicos. El módulo II.3 vivirá entero de esta fórmula.
El método gráfico, en limpio. Dibujar U, trazar E, leer: regiones permitidas, retornos, valles y cimas — el comportamiento cualitativo completo sin resolver ninguna ecuación diferencial. Cuando en el Nivel III el «x» sea un ángulo, una distancia radial o una coordenada abstracta, el mapa seguirá funcionando idéntico. Pocas herramientas rinden tanto por tan poco.
Ejercicios
El péndulo tiene U(θ) = mgL(1 − cos θ). Localiza sus equilibrios, clasifícalos y encuentra la energía crítica que separa «oscilar» de «dar vueltas de campana».
Solución
U′ ∝ sen θ = 0: equilibrios en θ = 0 (mínimo: estable — el péndulo colgando) y θ = π (máximo: inestable — el péndulo invertido, el lápiz de punta). La cima vale U(π) = 2mgL: con E < 2mgL hay dos puntos de retorno y el péndulo oscila; con E > 2mgL no hay cruce — θ crece sin retorno: molinete. La frontera E = 2mgL es una trayectoria infinita que «llega» a la cima en tiempo infinito — la separatriz, celebridad del espacio de fases del Nivel III. Todo el repertorio del péndulo, en una curva y una raya.
Usa ω = √(U″/m) para estimar la frecuencia de vibración de H₂: U″ ≈ 510 N/m en el mínimo, masa reducida ≈ la mitad de un protón (8,4×10⁻²⁸ kg). Compara con el infrarrojo prometido.
Solución
ω = √(510/8,4×10⁻²⁸) ≈ 7,8×10¹⁴ rad/s, o sea f = ω/2π ≈ 1,2×10¹⁴ Hz — y el valor espectroscópico real de H₂ es 1,32×10¹⁴ Hz: la parábola del fondo del valle clava el resultado con un 6 % de error (el resto es la anarmonicidad — la asimetría del valle — que solo importa lejos del fondo). Nota lo asombroso del método: la constante de muelle de un enlace químico — 510 N/m, la de un muelle de taller — medida leyendo curvaturas. La espectroscopía es mecánica de valles.
¿Por qué las moléculas se dilatan al calentarse — es decir, por qué la distancia media entre átomos crece con la energía — si el valle parabólico es simétrico?
Solución
Porque el valle real no es simétrico: como muestra el interactivo (perfil Morse), la pared interior (átomos apretados) es un muro casi vertical y la exterior, una cuesta suave. Al subir E, el punto de retorno exterior se aleja mucho más de lo que el interior se acerca: el centro de la oscilación migra hacia fuera — la molécula, en promedio, se alarga. La dilatación térmica de tu termómetro es la asimetría de un potencial interatómico, ampliada por 10²³. Un fenómeno de andar por casa que la parábola perfecta no puede explicar: a veces la física está en el defecto de la aproximación.