Las fuerzas con memoria

Sube 100 m en teleférico o por el sendero de doce curvas: la gravedad te cobra exactamente lo mismo — mgh, el camino le da igual. El rozamiento es lo contrario: cada metro de sendero suma factura. Las del primer tipo son fuerza conservativas, y su premio es enorme: se les puede asignar una energía potencial U(r) — un número por punto del espacio — que despacha con una resta lo que costaba una integral.

Prerrequisitos: artículo 01 — el trabajo como integral y su teorema.

La definición y el dividendo

Si el trabajo de F no depende del camino, define U en cada punto como el trabajo cambiado de signo que hace F desde un origen de referencia. Entonces, para cualquier trayecto, $W_{A\to B} = U(A) - U(B)$ , y el teorema trabajo-energía del artículo 01 se convierte, agrupando, en la joya del módulo:

E = \tfrac{1}{2}mv^2 + U(x) = \text{constante}.

La conservación de la energía mecánica no es un axioma: es el teorema trabajo-energía reordenado, válido mientras todas las fuerzas que trabajan sean conservativas. Los dos ejemplos canónicos: la gravedad cerca del suelo, U = mgh, y el muelle, U = ½kx². Y la versión inversa es igual de útil — conocida U, la fuerza se recupera derivando:

F = -\frac{dU}{dx}:

la fuerza apunta cuesta abajo del potencial, con módulo igual a la pendiente. Esta sola línea reescribirá la mecánica entera en el Nivel III: dame el paisaje U y te doy la dinámica.

Ejemplo resuelto 1 · La gravedad de verdad y la velocidad de escape

Problema. Lejos del suelo, U = mgh miente. Con la ley completa F = −GMm/r², halla U(r) y deduce la velocidad de escape terrestre.

Solución. Integra la fuerza desde el infinito (referencia U(∞) = 0):

U(r) = -\frac{GMm}{r}.

Escapar es llegar a r → ∞ con v ≥ 0. Conservación entre la superficie y el infinito:

\tfrac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \;\Rightarrow\; v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR} \approx 11{,}2\ \mathrm{km/s}.

Resultado. Los 11,2 km/s del cañón de Newton (I.1), ahora deducidos en tres líneas — sin integrar ninguna trayectoria: la energía no pregunta por el camino. Nota el pozo: U negativa significa «atrapado»; escapar es comprar con cinética la subida hasta el cero. Esta imagen del pozo gravitatorio gobernará las órbitas de II.6 y, en su día, los agujeros negros del Gravitario.

Las que no tienen memoria

¿Y el rozamiento? Su trabajo depende del camino (doble sendero, doble factura) y además es siempre negativo: no existe U posible. Las fuerzas no conservativas no destruyen energía — la exportan fuera de la contabilidad mecánica, a calor (I.3, Joule). La regla profesional completa es: $\Delta E_{\text{mec}} = W_{\text{no cons}}$ — la energía mecánica cambia exactamente en lo que trabajen las fuerzas sin memoria. Con eso, la estrategia universal de este curso: separa las fuerzas en conservativas (van al potencial) y el resto (van a la factura), y el problema se resuelve con álgebra de sumas y restas.

El criterio del circuito. ¿Cómo saber si una fuerza es conservativa? Prueba del circuito cerrado: si el trabajo en todo lazo es cero, lo es. La gravedad lo pasa (subir y bajar devuelve todo); el rozamiento lo suspende (todo lazo cobra). En el Nivel III el criterio se volverá diferencial (rotacional nulo) y en el Fotonario electromagnético tendrá letra pequeña gloriosa — pero la idea es esta.

Ejercicios

Ejercicio 1

Comprueba la maquinaria: deriva U = −GMm/r y recupera la fuerza; deriva U = ½kx² y recupera la del muelle. ¿Qué significa el signo en cada caso?

Solución

F = −dU/dr = −GMm/r² (atractiva: apunta hacia r decreciente, cuesta abajo del pozo) y F = −kx (restauradora: siempre contra el desplazamiento, hacia el fondo de la parábola). En ambos casos la fuerza empuja hacia el mínimo del potencial — los cuerpos «ruedan cuesta abajo del paisaje U». Esa metáfora es literal en el interactivo del artículo 03, y es la intuición que hay que llevarse: la naturaleza busca los valles.

Ejercicio 2

Un niño de 30 kg baja por un tobogán de 3 m de altura y llega abajo a 5 m/s. ¿Cuánta energía se llevó el rozamiento? ¿Qué fracción?

Solución

Presupuesto: mgh = 30 × 9,81 × 3 = 883 J. Cobrado en cinética: ½ × 30 × 25 = 375 J. La diferencia — 508 J, el 58 % — es W_no-cons: calor en el pantalón y el tobogán. Nota que no hizo falta saber nada del tobogán (longitud, forma, μ): la contabilidad energética factura por totales. Es el patrón de uso diario: potencial menos cinética igual a pérdidas, sin geometría.

Ejercicio 3

¿A qué altura llega un proyectil lanzado hacia arriba a 8 km/s — con mgh y con la U(r) verdadera? Moraleja sobre cuándo miente cada fórmula.

Solución

Con mgh: h = v²/2g = 3260 km — ya sospechoso, es media Tierra. Con U = −GMm/r: ½v² = GM(1/R − 1/r) da r = R/(1 − v²R/2GM)... con v²/2gR = (8/11,2)² = 0,51: r = R/0,49 ≈ 2R — altura de una Tierra entera (≈ 6500 km), el doble que la fórmula plana. mgh asume g constante y sobreestima el coste de subir lejos: vale al 1 % hasta ~30 km (¡toda la aviación!), y muere en el espacio. Regla práctica: mgh es la tarifa local; −GM/r, la global. Saber qué aproximación vives es — otra vez — la primera pregunta del oficio.