Cierra el módulo el fenómeno que lo generaliza todo. Dos péndulos idénticos unidos por un muelle débil: arranca uno solo y observa — su vaivén mengua mientras el otro despierta, hasta el traspaso completo; y vuelta. El sistema parece complicado, pero esconde dos movimientos simples: los modos normales — y con ellos, la mecánica de todo lo que vibra en compañía: moléculas, puentes y sólidos enteros.
Los dos movimientos que sí son simples
Busca patrones donde todo oscile con la misma frecuencia. Aquí hay dos. El modo simétrico: ambos péndulos a la par, como gemelos — el muelle ni se estira, no pinta nada, y la frecuencia es la del péndulo solo, ω₁ = ω₀. El modo antisimétrico: en contrafase, acercándose y alejándose — el muelle trabaja al máximo y añade rigidez: ω₂ = √(ω₀² + 2k/m), algo mayor. Dos modos, dos frecuencias — y el teorema que lo cambia todo: cualquier movimiento del sistema es una suma de sus modos. El arranque «solo uno» no es un modo: es la superposición mitad-y-mitad de ambos, y como sus frecuencias difieren un poco… los dos sumandos entran y salen de fase: batidos. El traspaso hipnótico de energía es el batido de I.4 tocado por dos péndulos: viaja completa de uno a otro con período 2π/(ω₂ − ω₁) — cuanto más flojo el muelle, más lento y más mágico.
Arranca solo el péndulo oscuro; el muelle (línea de puntos) susurra entre ambos. Lo que ves es el batido entre los dos modos normales — la energía viaja completa de uno a otro y vuelve.
Afloja el acoplamiento y el préstamo se vuelve lento y solemne; apriétalo y es un parpadeo. El período del traspaso es 2π/(ω₂−ω₁): la diferencia entre los dos modos es el ritmo del batido — interferencia de I.4, tocada con madera y cuerda.
Problema. El CO₂ es tres masas en fila (O–C–O) unidas por dos «muelles» C=O. Sin calcular nada, predice sus modos de vibración a lo largo del eje — y por qué uno de ellos calienta el planeta.
Solución. Tres masas en línea, menos la traslación común: dos modos longitudinales. El simétrico: los dos oxígenos se alejan y acercan a la vez del carbono quieto — la molécula «respira». El antisimétrico: los oxígenos van en bloque contra el carbono que va al revés — más rígido, más agudo (7,0×10¹³ Hz frente a 4,0×10¹³). Hay además dos modos de flexión (doblarse, más graves, 2,0×10¹³ Hz).
Resultado. La física climática en una frase: el modo simétrico no altera el reparto de cargas (la molécula respira sin cambiar su «forma eléctrica») y no habla con la luz; el antisimétrico y la flexión sí — y sus frecuencias caen en pleno infrarrojo térmico de la Tierra. El CO₂ absorbe el calor saliente del planeta porque sus modos normales están afinados con él: el efecto invernadero es espectroscopía de osciladores acoplados. Pocas fórmulas de este curso facturan tanto.
De dos a infinitos: el puente a las ondas
El método escala sin miedo: N osciladores acoplados, N modos normales. Una cadena de cien péndulos tiene cien modos — y sus formas son sinusoides muestreadas: el modo más grave, todos casi a la par (media longitud de onda en la cadena); el siguiente, una onda completa… ¿Te suena? Son los armónicos de la cuerda de guitarra de I.4: una cuerda es la cadena con N → ∞, y sus ondas estacionarias son sus modos normales. El círculo del curso se cierra: las ondas del Nivel I eran osciladores acoplados en masa, y el módulo II.7 hará esa conexión con todas las de la ley (y el Nivel III la llevará hasta los fonones de un cristal — el calor de un sólido son sus modos normales contados por la estadística).
El módulo, en limpio. (1) Todo mínimo oscila: x = A cos(ωt + φ), ω = √(k/m), E = ½kA². (2) La fricción apaga con memoria Q — de la copa (10³) al átomo (10⁷) — y el crítico es el retorno perfecto. (3) Forzar afinado amplifica ×Q, con la fase de 90° como firma; forzar desafinado, nada. (4) Lo acoplado se desacopla en modos normales, y el batido es su interferencia. Con esto, la mitad vibrante del universo es tuya. El módulo II.4 vuelve a los golpes: momento, colisiones y cohetes.
Ejercicios
En el experimento de los dos péndulos con muelle flojo, ω₂ − ω₁ = 0,1 rad/s. ¿Cada cuánto se traspasa la energía completa? ¿Qué le pasa al traspaso si los péndulos no son idénticos?
Solución
El batido completo (ida y vuelta de la energía) dura 2π/(ω₂−ω₁) ≈ 63 s; el traspaso a un solo sentido, la mitad. Si los péndulos difieren, los modos dejan de repartirse al 50 % — el modo «casi-simétrico» vive más en un péndulo que en otro — y el traspaso se vuelve incompleto: el primero nunca llega a pararse del todo. La transferencia perfecta exige afinación perfecta: la misma condición de la resonancia, ahora entre iguales. (Los físicos cuánticos del futuro Cuantario llaman a esto oscilaciones de Rabi y lo usan para fabricar puertas lógicas; la mecánica ya lo tenía con cuerda y madera.)
Los relojes de péndulo de Huygens, colgados de la misma viga, acababan latiendo en contrafase exacta — lo observó en 1665, convaleciente y aburrido. Explícalo con el vocabulario del artículo.
Solución
La viga es el muelle de acoplamiento: cada reloj sacude ligeramente la pared del otro. De los dos modos, el antisimétrico mueve menos la viga (las sacudidas se cancelan) y disipa menos; el simétrico la zarandea y se amortigua más rápido. Con el tiempo, la energía del modo simétrico muere y sobrevive el antisimétrico: contrafase espontánea. Es selección natural de modos por disipación — el mismo mecanismo que sincroniza luciérnagas, marcapasos celulares y (con el signo contrario, en fase) a los peatones del Millennium. Huygens lo llamó «simpatía extraña»; hoy se llama sincronización, y tiene su propia literatura.
Sin cálculo: ¿cuántos modos normales tiene un edificio de 40 plantas modelado como 40 masas apiladas sobre muelles? ¿Cuál teme el sismólogo, y qué forma tiene?
Solución
Cuarenta (por dirección de balanceo). El que importa es casi siempre el fundamental — el más grave: todo el edificio meciéndose a la vez, máxima amplitud arriba, la «media longitud de onda» de la cadena. Es el de mayor masa participante y el que cae en las frecuencias que el terremoto excita con más energía. La regla f ≈ 10/N del ejercicio de I.4, que ahora sabes de dónde sale, da 0,25 Hz para estas cuarenta plantas: por debajo de la banda sísmica dominante de 0,5–2 Hz, que es la de los edificios de cinco a veinte alturas. Un rascacielos se salva por lento. Los modos altos existen — el edificio también puede vibrar «en S» — pero mueven menos masa y disipan antes. El amortiguador de Taipei 101 cuelga arriba del todo por esto: donde el modo fundamental baila más, ahí se le roba mejor la energía.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Ecuación del oscilador armónico | ẍ = −ω²x con ω = √(k/m); solución x(t) = A·cos(ωt + φ) | art. 01 |
| Isocronismo | ω no depende de la amplitud. Es la propiedad que fundó la relojería y la que permite pesar con un cronómetro | art. 01 |
| Energía del oscilador | E = ½mv² + ½kx² = ½kA², constante. Cinética y potencial se intercambian el total dos veces por ciclo, y E va con el cuadrado de la amplitud | art. 01, ej. res. 1 |
| Censo de frecuencias | Edificio alto 0,1–0,2 Hz · péndulo de segundos 0,5 Hz · suspensión de coche ~1,2 Hz · cuarzo de reloj 32 768 Hz (2¹⁵) · molécula de H₂ 1,3×10¹⁴ Hz | art. 01 |
| Suspensión de un coche | 375 kg por rueda sobre k = 20 000 N/m → ω = 7,30 rad/s, f = 1,16 Hz. Cargar hasta 500 kg baja la frecuencia ×√(375/500) = 0,87 | art. 01, ej. 3 |
| Pesar sin gravedad | m = k(T/2π)²; el SLAMMD de la ISS con k = 605 N/m midiendo T = 2,4 s → 88 kg | art. 01, ej. 1 |
| Péndulo simple desde la curvatura | U(θ) = mgL(1 − cos θ) con U″(0) = mgL y «masa» efectiva mL² ⟹ ω² = g/L, T = 2π√(L/g), sin resolver ninguna ecuación diferencial | art. 01, ej. 2 |
| La fase, y quién bombea | La fuerza útil es la que va en fase con la velocidad, 90° adelantada a la posición. Empujar en fase con la posición no bombea energía: solo cambia la frecuencia | art. 01 |
| Oscilador amortiguado | mẍ = −kx − bẋ ⟹ x(t) = A·e^(−γt/2)·cos(ω′t + φ) | art. 02 |
| Factor de calidad | Q = ω₀/γ = 1/(2ζ) — en la práctica, cuántas oscilaciones caben en la agonía | art. 02 |
| Los tres regímenes | Subamortiguado (oscila menguando) · crítico, b² = 4mk, ζ = 1, Q = 0,5: el retorno más rápido posible sin rebasar · sobreamortiguado (vuelve arrastrándose, sin una sola oscilación) | art. 02 |
| Dónde se tara cada cosa | En el crítico: aguja de báscula, brazo de disco duro, puerta de ascensor. El amortiguador de un coche, deliberadamente por debajo: ζ ≈ 0,25, Q ≈ 2 | art. 02 |
| Tiempos característicos | Amplitud: τ = 2Q/ω₀ · Energía: τ_E = Q/ω₀. Regla memorizable: en Q/2π oscilaciones la energía cae a 1/e (un 37 %) | art. 02 |
| Escala de Q | Coche ~2 · columpio ~20 · Millennium Bridge ~80 · copa de cristal ~2000 · diapasón ~10⁴ · cuarzo ~10⁵ · átomo ~10⁷. Calidad es literalmente resistirse a callar | art. 02 · art. 03 |
| Cuánto canta cada cosa | τ = 2Q/ω₀: copa (800 Hz, Q = 2000) → 0,8 s y ~300 oscilaciones útiles; diapasón (440 Hz, Q = 10⁴) → 7 s | art. 02, ej. res. 1 |
| Contar botes es medir Q | Criterio «hasta el 10 % de amplitud»: 1 bote → ζ = 0,34, Q = 1,5 (amortiguador nuevo) · 1,5 botes → ζ = 0,24, Q ≈ 2 (sano) · 5 botes → ζ = 0,07, Q ≈ 7 (al taller). Ojo: «Q/2π oscilaciones» cuenta hasta 1/e de energía, no hasta que deja de verse | art. 02, ej. 1 |
| Péndulo de Foucault del Panteón | 67 m → T = 2π√(L/g) = 16,4 s (f = 0,061 Hz). Seis horas de museo son ~1300 oscilaciones y piden Q ≈ 8000: se consigue con masa grande y un empujón electromagnético oculto en la base | art. 02, ej. 2 |
| Por qué se busca Q bajo en zona sísmica | Porque la energía la mete el suelo y perderla es exactamente lo que quieres: Q alto es memoria larga y las sacudidas se suman. Taipei 101 cuelga 660 t para comprar olvido | art. 02, ej. 3 |
| Curva de resonancia | A(ω) = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + γ²ω²) | art. 03 |
| La amplificación ES Q | En resonancia la amplitud vale Q veces la respuesta estática F₀/k. Con Q = 1000, un empujón que en estática movería 1 mm mueve 1 m | art. 03 |
| Anchura del pico | Δω/ω₀ = 1/Q. Con Q = 2000, desafinar un 1 % son 20 anchuras y la amplitud cae a ~1/40 del pico | art. 03, ej. 1 |
| La fase como firma experimental | Muy por debajo de ω₀, 0° (el sistema sigue a la fuerza); muy por encima, 180° (responde al revés); exactamente en resonancia, 90°. Se buscan resonancias barriendo y mirando el salto de fase | art. 03 |
| La copa, cuantificada | f₀ = 800 Hz, Q = 2000, rotura a ~0,1 mm de amplitud del borde. Una respuesta estática de 0,1 µm da 0,2 mm en resonancia y rompe; desafinada un 1 %, 5 µm y ni cosquillas | art. 03, ej. 1 |
| El transitorio | La amplitud no salta a Q·x_est: crece con constante τ = 2Q/ω₀. La copa llega a la mitad de la saturación en τ·ln 2 = 0,55 s. La resonancia necesita acumular ~Q ciclos | art. 03, ej. 3 |
| Millennium Bridge, con fórmula | f₀ ≈ 1 Hz, masa modal 1,3×10⁵ kg y ζ = 0,5–0,8 % ⟹ Q ≈ 80. Con 160 peatones × 25 N = 4000 N: x_est = F₀/(mω₀²) = 0,78 mm y A = Q·x_est = 6 cm (las crónicas dan 7). El arreglo bajó Q de ~80 a ~2 | art. 03, ej. res. 1 |
| Cruzar una resonancia | La lavadora baila solo mientras atraviesa los ~2–5 Hz de su suspensión camino de los 20 Hz del centrifugado. Contra una resonancia inevitable, la estrategia es no darle tiempo | art. 03, ej. 2 |
| Modos normales | Patrones en los que todo oscila con la misma frecuencia. Dos péndulos acoplados: simétrico con ω₁ = ω₀ (el muelle no trabaja) y antisimétrico con ω₂ = √(ω₀² + 2k/m) | art. 04 |
| El teorema que lo cambia todo | Cualquier movimiento del sistema es una suma de sus modos; N osciladores acoplados dan N modos normales | art. 04 |
| Batidos entre modos | Arrancar «solo uno» es mitad y mitad de los dos modos: la energía viaja de uno a otro con período 2π/(ω₂ − ω₁). Con Δω = 0,1 rad/s, 63 s. Si los péndulos no son idénticos, el traspaso deja de ser completo | art. 04, ej. 1 |
| Modos del CO₂ | Flexión 2,0×10¹³ Hz · simétrico 4,0×10¹³ Hz · antisimétrico 7,0×10¹³ Hz. El simétrico no altera el reparto de cargas y no habla con la luz; los otros dos caen en el infrarrojo térmico de la Tierra — el efecto invernadero es espectroscopía de modos normales | art. 04, ej. res. 1 |
| El puente a las ondas | Una cuerda es la cadena acoplada con N → ∞, y sus ondas estacionarias son sus modos normales. Un edificio de N plantas tiene N modos por dirección, y el que importa es el fundamental | art. 04 · art. 04, ej. 3 |
| Sincronización de Huygens (1665) | El modo antisimétrico mueve menos la viga común y disipa menos: sobrevive él, y los relojes acaban en contrafase. Selección de modos por disipación | art. 04, ej. 2 |