Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones: la pista da el camino, nunca el resultado. Consejo de la casa: identifica primero ω₀ y Q de cada sistema — casi todos los enunciados se rinden con esos dos números.
Un saltador de 80 kg queda colgado de una cuerda elástica que se estira 8 m con su peso en reposo. ¿Con qué período rebota tras el salto? ¿Y con qué frecuencia oscilaría un saltador de 40 kg en la misma cuerda?
Pista
El estiramiento estático te regala k sin saber nada de la cuerda: iguala peso y fuerza elástica en reposo. Pero hay un atajo mejor que ni siquiera pasa por k: sustituye esa relación en el período del muelle cargado y te quedará una fórmula que reconocerás de otro sistema de este mismo módulo — y con ella el período no depende de la masa, solo del estiramiento. Para el saltador ligero, la trampa: k es una propiedad de la cuerda y no cambia; lo que cambia es la masa, y con ella el estiramiento. Decide primero si la frecuencia sube o baja y solo después calcula.
Misma suspensión que el ejercicio 3 del artículo 01, mismo cruce de resonancia que la lavadora del ejercicio 2 del artículo 03 — pero aquí el mando de frecuencia lo llevas tú en el pie derecho, y eso cambia la pregunta. Un coche con suspensión de f₀ = 1,2 Hz entra en un tramo de badenes separados 12 m. ¿A qué velocidad se vuelve intransitable el tramo? ¿Conviene pasarlo más despacio o más deprisa que eso?
Pista
Los badenes no fuerzan a una frecuencia fija: fuerzan a v/d, de modo que la velocidad es tu perilla de frecuencia. Impón la condición de resonancia y despeja v — y pásalo a km/h, que es la unidad en la que puedes opinar. Para la segunda pregunta, vuelve a la curva de respuesta del artículo 03 y mira qué hay a cada lado del pico: hay dos respuestas técnicamente válidas y una de ellas es ilegal, lo que explica por qué las ordenanzas municipales eligen la separación entre badenes que eligen.
Un sismógrafo es una masa colgada de un muelle muy blando (f₀ = 0,05 Hz) con la pluma unida a la caja. Explica con la curva de fase por qué registra fielmente sacudidas de 1 Hz — y qué registraría de un balanceo lentísimo de 0,01 Hz.
Pista
No calcules amplitudes: lee la curva de fase. Sitúa cada frecuencia respecto de ω₀ (cuántas veces por encima o por debajo) y para cada régimen pregúntate quién se mueve realmente en el espacio y quién arrastra a quién. El cambio de punto de vista es todo el problema: la pluma no dibuja el movimiento absoluto de la masa, dibuja la diferencia entre masa y caja. Regla de oro para comprobarte: en uno de los dos regímenes la masa se comporta casi como un sistema inercial, y en el otro masa y caja son casi un solo cuerpo. Decide cuál toca a cada frecuencia y la conclusión sobre qué instrumento es un sismógrafo se escribe sola.
Taipei 101 aparece dos veces en el módulo — en el ejercicio 3 del artículo 02 como argumento («comprar olvido») y en el ejercicio 3 del artículo 04 como colocación («cuelga arriba del todo») — y las dos sin un solo número. Aquí se le pasa la factura. El amortiguador: una esfera de 660 t colgada como péndulo, sintonizada al modo fundamental del edificio (~0,15 Hz). ¿Qué longitud tiene el péndulo? El edificio pesa ~700 000 t: ¿qué fracción de masa hace falta para «robar» la energía del modo?
Pista
El período lo tienes por la frecuencia de sintonía y la longitud sale de despejar en la fórmula del péndulo simple. Comprueba el resultado con las fotos del edificio: la esfera ocupa varios pisos, y la altura de un piso la puedes estimar. La segunda pregunta es una división y no tiene misterio; lo interesante es el si. Relee el traspaso de energía por batido del artículo 04 y pregúntate qué le ocurre a ese traspaso si el amortiguador se desafina un 10 %: ahí está la moraleja del módulo entero y la razón de que estos aparatos lleven ajuste fino y mantenimiento.
Perfora (con permiso) un túnel recto de polo a polo. Dentro de la Tierra homogénea, la gravedad crece linealmente con r: g(r) = g·r/R. Demuestra que quien salte al túnel ejecuta un movimiento armónico, calcula su período — y compáralo con el de la órbita rasante de I.1.
Pista
Que la fuerza sea proporcional a −r es la firma del oscilador: no hace falta resolver nada, basta identificar la constante recuperadora por unidad de masa y leer ω² de ahí. Un detalle que despista y conviene entender: la ley lineal que te dan sale de que la cáscara de masa que queda por encima de ti no tira — solo cuenta la esfera interior. Cuando tengas T, compáralo con el período de la órbita rasante de I.1 y no te conformes con «coincide»: escribe las dos expresiones una debajo de la otra y verás por qué tenía que coincidir. De regalo: repite el argumento para un túnel recto que no pase por el centro y comprueba si el período cambia — el resultado es el que hace famoso a este problema.
El ejemplo resuelto del artículo 04 predijo los modos del CO₂ sin calcular nada, por simetría. Aquí está el mismo sistema en madera y con las tres masas iguales, y toca sacarle las frecuencias. Tres carritos iguales en fila, unidos por dos muelles iguales, sobre riel sin fricción. Encuentra sus tres modos normales — dos de ellos aún sin resolver ninguna ecuación — y sus frecuencias. Empareja después cada uno con su análogo del CO₂ y explica por qué la correspondencia funciona para las formas y falla para las frecuencias.
Pista
Clasifica por paridad respecto del carrito central: en un sistema con simetría especular los modos son simétricos o antisimétricos, nunca una mezcla. Enumera los patrones compatibles con cada paridad y verás que quedan muy pocos candidatos. Segundo atajo: el momento total se conserva, así que en cualquier modo con ω ≠ 0 el centro de masas tiene que quedarse quieto — eso te fija el carrito central en cuanto decides qué hacen los extremos. Para las frecuencias no montes ningún determinante: mete cada patrón en la ecuación de Newton de un carrito bien elegido; si el patrón es de verdad un modo, la aceleración sale proporcional al desplazamiento con la misma constante para los tres. Y para el CO₂, empareja por forma, no por frecuencia.
Al terminar esta hoja puedes tarar un puenting, esquivar resonancias municipales, entender un sismógrafo al revés y desmontar un rascacielos con péndulo. El módulo II.4 cambia el vals por el golpe: momento, colisiones y la ecuación del cohete.