La resonancia del Nivel I era una historia; ahora es una función. Añade al oscilador amortiguado una fuerza periódica F₀cos(ωt) y — pasado un transitorio — el sistema baila a la frecuencia que le imponen, con una amplitud que depende de cuán cerca esté ω de la natural ω₀:
Esta curva de resonancia es la protagonista del módulo: un pico centrado en ω₀ cuya altura y estrechez las gobierna el Q del artículo anterior — en resonancia, la amplitud es Q veces la respuesta estática. Un empujón que en estática movería un milímetro mueve, afinado y repetido, un metro si Q = 1000. Ahí caben todas las historias de I.4 — y unas cuantas máquinas.
Amplitud de la respuesta (relativa a la estática, escala logarítmica) según la frecuencia de la fuerza. El pico mide Q de alto y ω₀/Q de ancho — y no está exactamente en ω₀, sino en ω₀√(1−1/2Q²): a Q alto la diferencia no se ve, a Q bajo se ve, y por debajo de Q = 0,71 el pico ya no existe.
En resonancia exacta la amplificación es ×10; a doble o mitad de frecuencia, prácticamente estática. Sube Q y mira el pico crecer y adelgazar a la vez: la ganancia y la exigencia de afinación son la misma cosa — no existe resonancia potente y tolerante. En la copa, Q = 2000 significa un pico dos mil veces más alto y dos mil veces más estrecho: por eso hay que dar la nota clavada para romperla.
La fase, o quién manda aquí
La curva de amplitud tiene una hermana menos famosa y más sabia: la fase de la respuesta respecto de la fuerza. Muy por debajo de ω₀, el oscilador sigue a la fuerza dócilmente (fase ~0°: mueves la mano despacio y el péndulo colgado la acompaña). Muy por encima, responde al revés (180°: agita la mano rápido y el péndulo se queda quieto, moviéndose en contra). Y exactamente en resonancia, 90°: la velocidad — no la posición — va en fase con la fuerza, que es la condición de bombeo máximo del artículo 01. El columpio se empuja cuando pasa por abajo a favor del movimiento: fase de 90° aplicada con las manos. Esta firma de 90° es, además, cómo los experimentales encuentran resonancias sin ver el pico: barre la frecuencia y busca el salto de fase.
Problema. El modo lateral del Millennium Bridge: f₀ ≈ 1 Hz, masa modal ~130 000 kg y un amortiguamiento estructural del 0,5–0,8 % del crítico (lo que Arup midió en 2001), o sea Q ≈ 80. Cada peatón inyecta una fuerza lateral de ~25 N a ~1 Hz, y unos 160 acabaron en fase. Estima la amplitud.
Solución. Fuerza coherente total F₀ ≈ 160 × 25 = 4000 N. Respuesta estática: x_est = F₀/k = F₀/(mω₀²) = 4000/(1,3×10⁵ × 39,5) ≈ 0,8 mm. En resonancia:
Resultado. Seis centímetros — y las crónicas hablan de hasta 7. Una servilleta con tres números redondos reproduce el accidente al 15 %, y conviene saber por qué: el ingrediente que decide no es la fórmula sino el dato. Un puente peatonal apenas disipa — medio punto porcentual del crítico — y ese Q ≈ 80 es lo que convierte 0,8 mm de empujón en 6 cm de balanceo. (Lo que el modelo estático sigue sin captar es la retroalimentación: más balanceo recluta más peatones en fase, subiendo F₀ — el mecanismo que hizo divergir el puente en minutos.) La solución de los ingenieros fue atacar el único factor atacable: bajar Q de ~80 a ~2 (un 20 % del crítico) con amortiguadores viscosos. La misma F₀ produce ahora décimas de milímetro. No se prohibió caminar: se compró olvido.
La resonancia como instrumento. El pico estrecho de un Q alto es un filtro: responde a su frecuencia e ignora el resto. Sintonizar una radio antigua era mover el ω₀ de un circuito hasta clavar la emisora; la resonancia magnética del hospital excita los protones de tu cuerpo exactamente en su frecuencia (y de la altura y anchura del pico se lee tejido); y la báscula más precisa del mundo — el peine de un espectrómetro de masas — pesa moléculas por su frecuencia de resonancia. Q alto: memoria, selectividad, fragilidad. Q bajo: olvido, robustez, sordera. Elegir Q es elegir carácter — y ya tienes el criterio para cada máquina.
Ejercicios
La copa del artículo 02, cuantificada: f₀ = 800 Hz, Q = 2000, y el vidrio rompe si la amplitud del borde supera ~0,1 mm. Si el altavoz produce en el borde una fuerza equivalente a una respuesta estática de 0,1 µm, ¿rompe? ¿Y si desafina un 1 %?
Solución
En clavado: A = Q × 0,1 µm = 0,2 mm — el doble del umbral: rompe (tras los segundos que tarda el transitorio en crecer, como se ve en los vídeos). Desafinado un 1 %: la anchura del pico es ω₀/Q = 0,05 % — a 1 % de distancia estás ~20 anchuras fuera, y la amplitud cae a ~1/40 del pico: 5 µm, ni cosquillas. Conclusión experimental exacta: se necesita sostener la nota clavada — por eso solo lo logran sopranos excepcionales y generadores de señal, y por eso tu ducha no ha roto nunca nada.
¿Por qué la lavadora «baila» solo durante unos segundos del centrifugado — al arrancar y al parar — y no a plena velocidad?
Solución
El tambor desequilibrado es una fuerza periódica de frecuencia variable: al acelerar de 0 a 1200 rpm (20 Hz) cruza la resonancia de la suspensión de la lavadora (~2–5 Hz) — y durante ese cruce la amplitud se dispara: el baile. A plena velocidad está muy por encima de ω₀, en la zona de fase 180° donde la carcasa responde poco (y en contrafase). Es el mismo motivo por el que las turbinas y los motores de avión atraviesan rápido sus «velocidades críticas» en vez de demorarse en ellas: contra una resonancia inevitable, la estrategia es no darle tiempo.
El truco del transitorio: en resonancia exacta, la amplitud no salta a QF₀/k — crece. ¿A qué ritmo, y cuánto tarda la copa del ejercicio 1 en alcanzar su amplitud fatal?
Solución
Mientras la disipación no frena (amplitud pequeña), cada ciclo deposita la misma energía: la amplitud crece linealmente, a razón de x_est·π por ciclo aproximadamente, hasta saturar en Q·x_est con constante de tiempo τ = 2Q/ω₀. Para la copa: τ = 2×2000/(2π×800) ≈ 0,8 s — y llegar a 0,1 mm, que es la mitad de la saturación, le cuesta τ·ln 2 ≈ 0,55 s: el medio segundo largo de nota sostenida que se ve en las demostraciones. La resonancia es potente pero no instantánea: necesita acumular Q ciclos — su memoria es también su tiempo de carga. (Los ingenieros de puentes agradecen cada segundo de ese retardo.)